基于離散變量優化的航天器質量特性配平方法

郭璠 田娜 陳向東 張正峰

（北京空間飛行器總體設計部，北京 100094）

1 引言

質量特性配平設計是航天器總體設計的關鍵環節之一，減少配平使用配重的質量能夠有效減少航天器整器質量。航天器為降低姿態控制的難度，提高控制的準確性，須進行質量特性配平工作，即通過在航天器結構上安裝一定量的配重，將航天器的質量、質心、轉動慣量或慣性積調配到一定的目標范圍內。由于受運載火箭推力的限制，質量一直是航天器設計中重要的約束條件之一。隨著航天器系統愈加復雜，質量呈現不斷增長的趨勢，減重迫在眉睫；而減少配平使用的配重安裝量是航天器減重的重要途徑之一［1］。

航天器質量特性配平存在兩個難點：一是耦合性，受航天器構形布局的約束，預留的配重安裝位置有限，且可能呈現既不均勻又不對稱的狀態，將導致X、Y、Z 三個方向質心（或轉動慣量）在配平時發生耦合，即每一塊配重都會同時影響航天器質心（或轉動慣量）的三個方向坐標；二是離散性，配平使用的配重塊一般預先加工，配平時采用多個配重塊組合安裝完成，因此可使用的配重質量離散。

目前，傳統的航天器質量特性配平方法仍通過多次的質量特性測試［2］與配平計算相結合確定。但由于耦合性和離散性問題，測試須憑經驗，通過修正配重安裝位置及質量逐方向、反復修正三個坐標值才能使質心逼近目標值，而每次修正都不可避免地帶來配平計算、配重實施及測量的工作量，不但耗時耗力，而且修正過程中的配重質量很可能逐步增加，給航天器減重工作帶來困難。

最優化方法是一種能夠有效解決配平優化的方法，國內已有相關研究［3-6］，但均有不足。文獻［3］通過Insight-fd優化軟件解決了配平的耦合性問題，但不能解決離散性問題；文獻［4］通過查表法解決了配平耦合性和離散性問題，但需要窮舉所有配重塊組合安裝的形式，復雜航天器配平計算的工作量很大，不能解決實際問題。

本文為解決質量特性配平的耦合性和離散性兩個難點，提出一種利用序列二次規劃＋分支定界的離散變量優化方法尋求配平設計的最優解，介紹了優化函數建立過程和離散變量優化方法原理及實現，并通過實際算例表明該方法可直接獲得質量最優的配平方案，較傳統方法大大降低了配重質量及安裝時間，可獲得最優的配平布局及配重質量，有效避免了重復配平的操作，提高了總裝配平工作的效率（本文的質量特性僅指質量和質心，轉動慣量可以按照類似的方式計算）。

2 配平優化初始條件分析

在解決航天器質心配平問題之前，應明確如下條件，作為配平問題優化的初始條件。所有位置參數均在同一參考坐標系下給出。

（1）航天器進行配平前，需完成了一次初始的質量特性測試，獲取配平前整器質量Mo，質心在整器坐標系下的位置向量Po＝［xo，yo，zo］T，其中xo，yo，zo分別為質心在整器坐標系下的三個坐標分量。

（2）航天器進行總裝設計的過程中，會在結構上預留多處配重安裝位置，同時設計與配重安裝孔相匹配的配重塊，備選配重塊質量一般有多種選擇，典型的配重安裝方式如圖1所示，以下參數在配平前已知：①配重點在整器坐標系下的位置向量Pi＝［xi，yi，zi］T（i＝1，2，…，l），其 中xi，yi，zi分別為配重點在整器坐標系下的三個坐標分量，i為配重點序列，配重點共l個；②備選配重質量mz，z 為配重塊序列，z ＝1，2，…，n，種類數n 一般通過人為預先確定；③同一配重點安裝的配重塊的線密度DA，DA＝mZ／d，d 為 配 重 塊 厚 度；④隔 熱 墊 厚 度dt；⑤配重安裝用緊固件套數（i＝1，2，…，l）和單套緊固件質量ms，設ms為常量（常用緊固件M5鈦合金內六角螺釘，60mm 與20mm 兩種長度規格質量差僅2.6g，可忽略）。

圖1 典型航天器配重安裝形式Fig.1 Typical installation form of balance mass on spacecraft

對配重點i，可得該點配重質量Mi和質心位置向量：

（3）配重安裝質量一般有上限不超過Mst，即0≤Mi≤Mst。

3 配平優化問題構建

有約束最優化方法的思想是通過探索變量值，在同時滿足不等式和等式約束的條件下使目標函數取得最小值。優化問題的一般形式為

式中：a為不等式約束函數的個數，b為等式約束函數的個數。

質心配平優化目標為安裝配重的總質量最小，優化約束一般有如下幾種形式：

（2）Y 方向質心位置Py不大于ry；

（3）Z 方向質心位置Pz不大于rz。

綜上，可建立質心位置配平優化問題的優化函數：

式中：Q 為優化變量集合，表示在各配重點每種配重塊個數的集合，共有n×l個獨立分量，所有變量均為整數；Px，Py，Pz為配重安裝后航天器質心坐標：

4 優化方法選擇

若假設式（5）的優化變量Q 中的所有分量均可取實數，則式（5）為一個典型的非線性約束最優化問題，常用序列二次規劃法（Sequential Quadratic Programming，SQP）求解。

4.1 序列二次規劃法

SQP法是求解非線性最優化問題的一類有效算法［7］，具有超線性收斂速度。SQP法通過拉格朗日函數將原有約束問題轉化為無約束問題：

式中：x 為優化變量；gu（x）為優化約束函數；λ 為約束函數加權因子。

利用擬牛頓法來近似構造Hessian矩陣，建立二次規劃子問題：

式中：d ＝x-x（k）；Hk＝?2L（x（k），λ（k）），為式（8）的Hessian矩陣［8］。

對于給定初始值（x（k），Hk）（k＝0），求解式（8）求得其目標函數在x（k）處的一個下降方向dk并進行一維搜索，求得迭代步長αk；而后采用BFGS修正，使Hk＋1保持正定；令x（k＋1）＝x（k）＋αkdk，k＝k＋1，持續迭代計算，直至dk＝0，得出最優解。

4.2 序列二次規劃與分支定界的離散變量優化方法

當Q 可取實數時，利用SQP法易求得每個配重點的最優配質量。但實際情況中，配重塊個數必須為整數，直接運用SQP 法求得最優Q 值往往是小數，如對結果直接進行圓整，將很可能偏離最優解。

分支定界法是求解整數規劃常用的一種方法，其核心思想是對有約束條件的所有可行解空間進行搜索，把全部可行的解空間不斷分割為越來越小的子集（稱為分支），并為每個子集內的解計算一個上界（稱為定界）。在每次分支后，對凡是界限超出已知可行解值的那些子集不再做進一步分支（稱為剪枝），許多子集就可以不予考慮，從而縮小了搜索范圍。

本文將分支定界法與SQP 法相結合使用求解符合整數約束條件的最優解，利用SQP求解優化變量的實數解，同時利用分支定界法縮小求解空間，直至SQP法求得的最優解為整數。算法流程如下：

（1）SQP 求解：忽略整數約束條件，利用SQP法將原問題按連續變量問題求最優解，如果最優解其中至少有一個變量為非整數q（i），明確其整數部分和小數部分：

（2）分支：構造2個子問題，在原目標函數和約束條件的基礎上，一個問題增加約束，另一個問題增加約束

（3）定界與剪枝：通過不斷分支與求解各個子問題來不斷修正上界完成定界。上界由已經得到的可能最優整數解（子問題中符合整數條件的目標函數值最小者）確定。通過將不可能存在最優解的子問題舍棄完成剪枝。求解每個子問題時會出現以下幾種情況：①子問題無可行解，則此問題不需繼續分支，該子問題被剪枝；②得到一個整數解，則此問題不需繼續分支，該子問題被剪枝。若該整數解在目前得到的所有整數解中最優，則將其定為新的上界；③得到一個非整數解，若該子問題目標函數值大于等于已得到的上界時，則該子問題被剪枝，否則繼續向下分支。

（4）重復步驟①、②、③，對產生的每個子問題不斷分支并求解由分支產生的新子問題，直至求得一個近似整數解為止。

利用MATLAB軟件為平臺，本文開發了質心配平設計優化程序，整個算法的流程見圖2。

圖2 算法實現流程Fig.2 Flow chart of the algorithm

5 配平計算實例

某航天器總裝設計中要求進行橫向質心配平，配平要求見表1，配重布局見圖3，備選配重、緊固件等參數見表2。

表1 某航天器質量特性及配平目標Table 1 Mass properties of a spacecraft and target of mass balancing

圖3 某航天器可選配重點布局示意圖Fig.3 Optional potision of balance mass on a spacecraft

測試人員進行3次嘗試配平，最終配平設計方案詳見表3和圖4，運用本文優化方法，經1次優化運算（計算時間514.3s）的配平設計方案詳見表4，獲得的配重布局如圖5所示（圖中黑色實點代表安 裝緊固件位置）。

表2 某航天器配平設計約束條件Table 2 Restriction of mass properties balancing

表3 使用傳統配平方法獲得的配重方案Table 3 Scheme of mass balancing using traditional method

圖4 傳統配平方法配重布局Fig.4 Distribution of balance mass using traditional method

表4 本文提出的配平方法獲得的配重方案Table 4 Scheme of mass balancing using discrete variables optimization

對兩種方法的結果進行對比，詳見表5，可知利用本文算法進行配平方案設計可直接獲得最終配平方案，配平不需進行多次嘗試，且在滿足橫向質心配平目標的同時，配重總質量較人工配平減小了3.62kg，表明優化后的配平方案設計更為合理。

圖5 本文配平方法配重布局（＋Z 側板配重布局）Fig.5 Distribution of balance mass using discrete variables optimization

表5 兩種方案結果比較Table 5 Contrast of two schemes

6 結論

本文運用最優化方法，建立了質心位置配平的目標函數，提出了利用一種序列二次規劃＋分支定界的離散變量優化方法獲得配重設計方案的最優可行解，本文方法較目前傳統質量特性配平方法有如下優勢：

（1）根據配平目標僅需經過一次優化計算，即可獲得最優配重設計方案，與傳統配平方法需逐方向進行配平相比，能夠解決配平耦合性問題，同時大大降低采用傳統配平方法需多次進行配平計算、配重調整、質量特性測試的工作量，避免了重復配平實施帶來的總裝風險；

（2）考慮了配平過程中配重塊和緊固件的質量呈離散性的實際因素，優化結果可直接用于實際工程應用；

（3）可適用于多種質量特性配平相關的約束條件，例如單個配重質量，配重總質量，配重點位置，配平質心范圍，轉動慣量、慣性積等，可完成諸如質心、轉動慣量、甚至慣性積的配平；

（4）提高了航天器配平工作的效率，縮短了航天器的研制周期。

（References）

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