機械臂反演非奇異終端的神經(jīng)滑模控制*

賈育秦，胡曉雄（1.呂梁學院礦業(yè)系 呂梁，033001）（.太原科技大學機械工程學院 太原，03004）

機械臂反演非奇異終端的神經(jīng)滑模控制*

賈育秦1，2，胡曉雄2
（1.呂梁學院礦業(yè)系 呂梁，033001）（2.太原科技大學機械工程學院 太原，030024）

為了解決具有外部干擾以及建模誤差的多關節(jié)機械臂的軌跡跟蹤問題，提出了一種機械臂反演非奇異終端的神經(jīng)滑模控制方法。采用非奇異終端的滑模面，基于反演方法以及滑模控制的原理，設計了反演滑模控制器。針對由于外部干擾以及建模誤差引起的反演滑模控制系統(tǒng)中不確定的因素上界，設計了徑向基（radial basis function，簡稱RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡的自適應律，對不確定因素上界進行了在線估計，并對控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性使用了Lyapunov定理進行證明。仿真分析結(jié)果表明，所提出的方法不僅可以減少系統(tǒng)中存在的抖振現(xiàn)象，而且具有較好的軌跡跟蹤性能和較強的魯棒性。

反演控制；神經(jīng)網(wǎng)絡；滑模控制；非奇異終端

引 言

滑模變結(jié)構(gòu)控制在實際的控制系統(tǒng)中應用十分廣泛，尤其在不確定的非線性系統(tǒng)的控制中占有重要地位，原因是其對某一類的參數(shù)變化與有界的干擾具有相當強的魯棒性，且被控對象不需要具有精確的數(shù)學模型［1-3］。反演設計的方法對具有參數(shù)的嚴格反饋形式的非線性系統(tǒng)給予了遞推的步驟，使控制系統(tǒng)全局的穩(wěn)定性有了保證［4］。終端滑模控制使控制系統(tǒng)擁有有限時間收斂的優(yōu)點，然而當控制系統(tǒng)的狀態(tài)逼近0時，對于存在于控制律中的狀態(tài)負指數(shù)，其將使得控制量接近于無窮大，造成奇異點［5］。因此，設計了非奇異終端的滑模控制［6-9］。文獻［10］對空間機器人的軟硬性抓取使用滑模控制進行了分析。文獻［11］為了提高對外部干擾的魯棒性以及機械臂的跟蹤性能，針對電動機驅(qū)動的機械臂設計了積分反演滑模控制。文獻［12］對參數(shù)不確定的柔性機械臂設計了神經(jīng)滑模控制。文獻［13］為了使非奇異終端的滑模控制的局限性有所改善，使用模糊控制調(diào)節(jié)的滑模控制的切換增益。文獻［14］對機械臂的軌跡跟蹤設計了滑模控制。以上控制方法都得到了比較好的控制精度和動態(tài)性能。

筆者將滑模控制、反演控制以及神經(jīng)網(wǎng)絡進行結(jié)合，提出了反演非奇異終端的神經(jīng)滑模控制方法。該方法汲取了反演控制以及滑模控制的優(yōu)點，并且設計了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的自適應控制器，從而實現(xiàn)對外部干擾以及建模誤差的自動跟蹤，削弱了控制系統(tǒng)中存在的抖振現(xiàn)象，并使用Lyapunov定理對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行證明。

1 建立系統(tǒng)模型

圖1為2關節(jié)的機械臂示意圖。其中：q1與q2為機械臂L1，L2旋轉(zhuǎn)的角度；機械臂L2可以圍繞O2（關節(jié)點）旋轉(zhuǎn)；機械臂L1可以圍繞O1（關節(jié)點）旋轉(zhuǎn)。

對具有2個旋轉(zhuǎn)關節(jié)點的剛性機械臂進行分析，其動力學方程為

其中：u為控制力矩；ρ（t）為外部的干擾與建模的誤差；d（t）為外部的干擾；ΔM（q），ΔC（q，˙q）˙q，ΔG（q）為建模誤差。

q（關節(jié)角的位置矢量）能夠非常好地跟蹤qd（指定的關節(jié)角位置矢量）是機械臂軌跡跟蹤的控制目標的主要要求。

圖1 2關節(jié)機械臂示意圖Fig.1 2 joint manipulator diagram

2 反演非奇異終端的神經(jīng)滑模控制器

2.1 反演非奇異終端的滑模控制

非奇異終端的滑模面定義為

其中：y為關節(jié)角的位置矢量。

對關節(jié)位置的跟蹤偏差定義為

其中：yd為期望值，且yd擁有2階導數(shù)。

虛擬控制項定義為

其中：λ1＞0。

選取Lyapunov函數(shù)

選取Lyapunov函數(shù)選取控制律為

其中：ˉρ（t）為不確定因素的上界。

定理1式（1）表示的動力學方程為式（1）的2階機械臂，式（10）表示非奇異終端的滑模面。若u= u0+u1+u2+u3為反演的滑模控制律，其中u0，u1，u2，u3如式（13）～（16）所示，則系統(tǒng)可以逐漸達到穩(wěn)定點。

選取Lyapunov函數(shù)

把式（12）代入式（17），得

可見，設計的反演非奇異終端的滑模控制系統(tǒng)具有穩(wěn)定性。

2.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的控制器

在實際的控制系統(tǒng)中，通常設計RBF網(wǎng)絡來逼近ˉρ（t）（不確定性上界），原因是ˉρ（t）很難確定，RBF網(wǎng)絡系統(tǒng)輸入X=（e，˙e）T（跟蹤路徑的偏差與偏差的變化率），輸出為ˉρ（t）（參數(shù)上界估計值），則

其中：φi（X）為高斯函數(shù)；?WT為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的權值。其中：bi為節(jié)點i的神經(jīng)元寬度；ci為網(wǎng)絡第i個節(jié)點的中心矢量。

定理2式（1）表示的動力學方程為式（1）的2階機械臂，式（10）表示非奇異終端的滑模面。若u= u0+u1+u2+u3為反演非奇異終端的神經(jīng)控制律，其中u0，u1，u2，u3如式（13）～（16）所示，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的控制器的輸出為ˉρ（t）。

假設1 W*TΦ（X）-ˉρ（t）=ε（X）為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡最優(yōu)權值W*符合的條件，且‖ε（X）‖＜ε1。

假設2 ˉρ（t）-‖ρ（t）‖＞ε0＞ε1為不確定因素上界符合的條件，則系統(tǒng)可以逐漸達到穩(wěn)定點。

選取Lyapunov函數(shù)

其中：~W=W*-?W。

則

適應算法的在線調(diào)整權值可以設計為

則

通過假設1和假設2獲得‖ε（X）‖-（ˉρ-‖ρ（t）‖）＜ε1-ε0，即˙V＜0成立。

因此，設計的反演非奇異終端的神經(jīng)滑模控制系統(tǒng)具有穩(wěn)定性。

3 系統(tǒng)仿真

2關節(jié)的機械臂系統(tǒng)其動力學數(shù)學模型為

反演非奇異終端的滑模控制仿真結(jié)果如圖2所示。反演非奇異終端的神經(jīng)滑模控制如圖3所示。系統(tǒng)的跟蹤誤差的相軌跡圖如圖4所示。其中：q2（t）為關節(jié)2實際角位移的運行軌跡；u2（t）為關節(jié)2的控制輸入；r2（t）為關節(jié)2的期望角位移的運行軌跡；q1（t）為關節(jié)1的實際角位移的運行軌跡；u1（t）為關節(jié)1的控制輸入；r1（t）為關節(jié)1的期望角位移的運行軌跡。

當從初始狀態(tài)到跟蹤誤差小于0.02 r/min以后，反演非奇異終端的神經(jīng)滑模控制器的輸出抖振范圍為［-0.540 5，2.707 6］（N·m）與［-2.551 7，2.405 2］（N·m），反演非奇異終端的滑模控制關節(jié)1，2輸出的抖振范圍為［-11.323 4，4.419 52］（N·m）與［-11.077 1，10.332 2］（N·m）。

當從初始狀態(tài)到跟蹤誤差小于0.02 r/min時，別從［-11.323 4，4.419 52］（N·m）與［-11.077 1，10.332 2］（N·m）減小到了［-0.540 5，2.707 6］（N·m）與［-2.551 7，2.405 2］（N·m）。同時，與反演非奇異終端的滑模控制的軌跡跟蹤誤差速度相比，反演非奇異終端的神經(jīng)滑模控制的軌跡跟蹤誤差速度比較快，所需時間分別從1.775 2 s與1.833 4 s減少到了1.506 2 s與1.569 8 s。

圖2 反演非奇異終端滑模控制Fig.2 Inversion of the non-singular terminal sliding mode control

圖3 反演非奇異終端神經(jīng)滑模控制Fig.3 Inversion of the non-singular terminal neural sliding mode control

圖4 跟蹤誤差相軌跡圖Fig.4 Phase trajectory tracking error

反演非奇異終端的神經(jīng)滑模控制關節(jié)1，2需要的時間為1.506 2 s與1.569 8 s，反演非奇異終端的滑模控制關節(jié)1，2需要的時間為1.775 2 s與1.833 4 s。

可見，反演非奇異終端的神經(jīng)滑模控制器輸出的抖動顯然減小了許多，關節(jié)1，2輸出抖振范圍分

4 結(jié)束語

提出了一種反演非奇異終端的神經(jīng)滑模控制的方法，解決了具有外部干擾以及建模誤差的機械臂軌跡跟蹤存在的問題，該方法也適于解決多關節(jié)機械臂軌跡跟蹤問題。為了實現(xiàn)對外部干擾以及建模誤差的自動跟蹤，設計了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的自適應律。采用Lyapunov定理證明了反演非奇異終端的神經(jīng)滑模控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真分析結(jié)果表明，該方法不僅可以削弱控制系統(tǒng)中存在的抖振現(xiàn)象，且具有較好的軌跡跟蹤性能，使得對于外部干擾以及建模誤差等因素的魯棒性得到了較大的提高。

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TH122；TP273

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.04.014

賈育秦，男，1954年12月生，教授、碩士生導師。主要研究方向為現(xiàn)代制造技術。曾發(fā)表《基于小波分析的超精密數(shù)控加工過程誤差控制策略》（《機床與液壓》2006年第6期）等論文。E-mail：tyhmijyq@163.com

簡介：胡曉雄，男，1988年9月生，碩士研究生。主要研究方向為現(xiàn)代制造技術。

E-mail：hxx0903@163.com

*國家自然科學基金資助項目（51205224）；國家重點基礎研究發(fā)展計劃（“九七三”計劃）資助項目（2013CB035802）；國家高技術研究發(fā)展計劃（“八六三”計劃）資助項目（2012AA091103）；國家科技支撐計劃資助項目（2012BAI07B04）；中央高校基本科研業(yè)務費專項資金資助項目（TD2011-25）；中國博士后科學基金資助項目（201104597）

2013-06-15；

2013-08-12