機械臂反演非奇異終端的神經滑模控制*

賈育秦，胡曉雄（1.呂梁學院礦業系 呂梁，033001）（.太原科技大學機械工程學院 太原，03004）

機械臂反演非奇異終端的神經滑模控制*

賈育秦1，2，胡曉雄2
（1.呂梁學院礦業系 呂梁，033001）（2.太原科技大學機械工程學院 太原，030024）

為了解決具有外部干擾以及建模誤差的多關節機械臂的軌跡跟蹤問題，提出了一種機械臂反演非奇異終端的神經滑模控制方法。采用非奇異終端的滑模面，基于反演方法以及滑模控制的原理，設計了反演滑模控制器。針對由于外部干擾以及建模誤差引起的反演滑模控制系統中不確定的因素上界，設計了徑向基（radial basis function，簡稱RBF）神經網絡的自適應律，對不確定因素上界進行了在線估計，并對控制系統的穩定性使用了Lyapunov定理進行證明。仿真分析結果表明，所提出的方法不僅可以減少系統中存在的抖振現象，而且具有較好的軌跡跟蹤性能和較強的魯棒性。

反演控制；神經網絡；滑模控制；非奇異終端

引 言

滑模變結構控制在實際的控制系統中應用十分廣泛，尤其在不確定的非線性系統的控制中占有重要地位，原因是其對某一類的參數變化與有界的干擾具有相當強的魯棒性，且被控對象不需要具有精確的數學模型［1-3］。反演設計的方法對具有參數的嚴格反饋形式的非線性系統給予了遞推的步驟，使控制系統全局的穩定性有了保證［4］。終端滑模控制使控制系統擁有有限時間收斂的優點，然而當控制系統的狀態逼近0時，對于存在于控制律中的狀態負指數，其將使得控制量接近于無窮大，造成奇異點［5］。因此，設計了非奇異終端的滑模控制［6-9］。文獻［10］對空間機器人的軟硬性抓取使用滑模控制進行了分析。文獻［11］為了提高對外部干擾的魯棒性以及機械臂的跟蹤性能，針對電動機驅動的機械臂設計了積分反演滑模控制。文獻［12］對參數不確定的柔性機械臂設計了神經滑模控制。文獻［13］為了使非奇異終端的滑模控制的局限性有所改善，使用模糊控制調節的滑模控制的切換增益。文獻［14］對機械臂的軌跡跟蹤設計了滑模控制。以上控制方法都得到了比較好的控制精度和動態性能。

筆者將滑模控制、反演控制以及神經網絡進行結合，提出了反演非奇異終端的神經滑模控制方法。該方法汲取了反演控制以及滑模控制的優點，并且設計了RBF神經網絡的自適應控制器，從而實現對外部干擾以及建模誤差的自動跟蹤，削弱了控制系統中存在的抖振現象，并使用Lyapunov定理對系統的穩定性進行證明。

1 建立系統模型

圖1為2關節的機械臂示意圖。其中：q1與q2為機械臂L1，L2旋轉的角度；機械臂L2可以圍繞O2（關節點）旋轉；機械臂L1可以圍繞O1（關節點）旋轉。

對具有2個旋轉關節點的剛性機械臂進行分析，其動力學方程為

其中：u為控制力矩；ρ（t）為外部的干擾與建模的誤差；d（t）為外部的干擾；ΔM（q），ΔC（q，˙q）˙q，ΔG（q）為建模誤差。

q（關節角的位置矢量）能夠非常好地跟蹤qd（指定的關節角位置矢量）是機械臂軌跡跟蹤的控制目標的主要要求。

圖1 2關節機械臂示意圖Fig.1 2 joint manipulator diagram

2 反演非奇異終端的神經滑模控制器

2.1 反演非奇異終端的滑模控制

非奇異終端的滑模面定義為

其中：y為關節角的位置矢量。

對關節位置的跟蹤偏差定義為

其中：yd為期望值，且yd擁有2階導數。

虛擬控制項定義為

其中：λ1＞0。

選取Lyapunov函數

選取Lyapunov函數選取控制律為

其中：ˉρ（t）為不確定因素的上界。

定理1式（1）表示的動力學方程為式（1）的2階機械臂，式（10）表示非奇異終端的滑模面。若u= u0+u1+u2+u3為反演的滑模控制律，其中u0，u1，u2，u3如式（13）～（16）所示，則系統可以逐漸達到穩定點。

選取Lyapunov函數

把式（12）代入式（17），得

可見，設計的反演非奇異終端的滑模控制系統具有穩定性。

2.2 RBF神經網絡的控制器

在實際的控制系統中，通常設計RBF網絡來逼近ˉρ（t）（不確定性上界），原因是ˉρ（t）很難確定，RBF網絡系統輸入X=（e，˙e）T（跟蹤路徑的偏差與偏差的變化率），輸出為ˉρ（t）（參數上界估計值），則

其中：φi（X）為高斯函數；?WT為RBF神經網絡的權值。其中：bi為節點i的神經元寬度；ci為網絡第i個節點的中心矢量。

定理2式（1）表示的動力學方程為式（1）的2階機械臂，式（10）表示非奇異終端的滑模面。若u= u0+u1+u2+u3為反演非奇異終端的神經控制律，其中u0，u1，u2，u3如式（13）～（16）所示，RBF神經網絡的控制器的輸出為ˉρ（t）。

假設1 W*TΦ（X）-ˉρ（t）=ε（X）為RBF神經網絡最優權值W*符合的條件，且‖ε（X）‖＜ε1。

假設2 ˉρ（t）-‖ρ（t）‖＞ε0＞ε1為不確定因素上界符合的條件，則系統可以逐漸達到穩定點。

選取Lyapunov函數

其中：~W=W*-?W。

則

適應算法的在線調整權值可以設計為

則

通過假設1和假設2獲得‖ε（X）‖-（ˉρ-‖ρ（t）‖）＜ε1-ε0，即˙V＜0成立。

因此，設計的反演非奇異終端的神經滑模控制系統具有穩定性。

3 系統仿真

2關節的機械臂系統其動力學數學模型為

反演非奇異終端的滑模控制仿真結果如圖2所示。反演非奇異終端的神經滑模控制如圖3所示。系統的跟蹤誤差的相軌跡圖如圖4所示。其中：q2（t）為關節2實際角位移的運行軌跡；u2（t）為關節2的控制輸入；r2（t）為關節2的期望角位移的運行軌跡；q1（t）為關節1的實際角位移的運行軌跡；u1（t）為關節1的控制輸入；r1（t）為關節1的期望角位移的運行軌跡。

當從初始狀態到跟蹤誤差小于0.02 r/min以后，反演非奇異終端的神經滑模控制器的輸出抖振范圍為［-0.540 5，2.707 6］（N·m）與［-2.551 7，2.405 2］（N·m），反演非奇異終端的滑模控制關節1，2輸出的抖振范圍為［-11.323 4，4.419 52］（N·m）與［-11.077 1，10.332 2］（N·m）。

當從初始狀態到跟蹤誤差小于0.02 r/min時，別從［-11.323 4，4.419 52］（N·m）與［-11.077 1，10.332 2］（N·m）減小到了［-0.540 5，2.707 6］（N·m）與［-2.551 7，2.405 2］（N·m）。同時，與反演非奇異終端的滑模控制的軌跡跟蹤誤差速度相比，反演非奇異終端的神經滑模控制的軌跡跟蹤誤差速度比較快，所需時間分別從1.775 2 s與1.833 4 s減少到了1.506 2 s與1.569 8 s。

圖2 反演非奇異終端滑模控制Fig.2 Inversion of the non-singular terminal sliding mode control

圖3 反演非奇異終端神經滑模控制Fig.3 Inversion of the non-singular terminal neural sliding mode control

圖4 跟蹤誤差相軌跡圖Fig.4 Phase trajectory tracking error

反演非奇異終端的神經滑模控制關節1，2需要的時間為1.506 2 s與1.569 8 s，反演非奇異終端的滑模控制關節1，2需要的時間為1.775 2 s與1.833 4 s。

可見，反演非奇異終端的神經滑模控制器輸出的抖動顯然減小了許多，關節1，2輸出抖振范圍分

4 結束語

提出了一種反演非奇異終端的神經滑模控制的方法，解決了具有外部干擾以及建模誤差的機械臂軌跡跟蹤存在的問題，該方法也適于解決多關節機械臂軌跡跟蹤問題。為了實現對外部干擾以及建模誤差的自動跟蹤，設計了RBF神經網絡的自適應律。采用Lyapunov定理證明了反演非奇異終端的神經滑模控制系統的穩定性。仿真分析結果表明，該方法不僅可以削弱控制系統中存在的抖振現象，且具有較好的軌跡跟蹤性能，使得對于外部干擾以及建模誤差等因素的魯棒性得到了較大的提高。

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TH122；TP273

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.04.014

賈育秦，男，1954年12月生，教授、碩士生導師。主要研究方向為現代制造技術。曾發表《基于小波分析的超精密數控加工過程誤差控制策略》（《機床與液壓》2006年第6期）等論文。E-mail：tyhmijyq@163.com

簡介：胡曉雄，男，1988年9月生，碩士研究生。主要研究方向為現代制造技術。

E-mail：hxx0903@163.com

*國家自然科學基金資助項目（51205224）；國家重點基礎研究發展計劃（“九七三”計劃）資助項目（2013CB035802）；國家高技術研究發展計劃（“八六三”計劃）資助項目（2012AA091103）；國家科技支撐計劃資助項目（2012BAI07B04）；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（TD2011-25）；中國博士后科學基金資助項目（201104597）

2013-06-15；

2013-08-12