學生解題思維的暴露策略

劉萍

摘 要：數學選擇題在高中各種考試中不僅是常見的題型，而且還占有三分之一的比重，可見其重要性。然而，它在存在著諸多優勢的同時也存在著諸多缺陷，特別是它的解答只有結果而沒有過程，其中怎樣暴露學生“問題解決”的思維過程，是教師迫切需要解決的一個難題。本文就學生解題思維的暴露進行了實踐探究，提出了幾點暴露學生思維的方法。

關鍵詞：數學選擇題;學生思維;調查時機

一、問題的提出

暴露學生的解題思維，不僅僅對教師的教學指導有意義，對學生的學習反思更有促進作用。數學選擇題是當今各類考試中的重要題型，在高考中它占整張試卷總分的三分之一，具有考試容量大、批閱方便、評分客觀等優勢。但由于選擇題提供了4個備選答案，解答時又不需要寫出完整的過程，所以也存在著多方面的缺陷。第一，易掩蓋學生的知識缺陷。有的時候學生沒能比較有把握地解答問題，就隨便蒙一個答案，教師也沒辦法發現其真正掌握了多少內容。第二，易助長學生的思維惰性。對于稍微難一點的問題，學生不作深入探究就“想當然”地下結論，教師也不知道其究竟有沒有花時間探究過這個內容。第三，不易如實反饋教學信息。如思考方法準確但是計算錯誤這樣的問題，對于真實地暴露學生的思維是不公正的，因為“問題解決”重要的是看學生的思維方法、思維方向是否準確，掌握知識的重點是方法而不是計算答案。

這些缺陷存在的主要原因在于選擇題的解答只呈現了結果而沒有暴露學生解答的過程。因此，補救的唯一措施就是教師要把學生的思維過程及時地給予暴露、展示。這就需要我們對學生的解題思維進行調查。只有通過調查，學生的知識及思維缺陷才會充分暴露，教師收到最直接、最真實的信息，根據這些信息組織教學，才能做到有的放矢。

二、調查的目的與依據

調查學生的解題思維，目的就是為了了解學生對知識點的掌握情況，為教師后續教學提供最可靠的依據。同時也可以促進學生對自己的發揮情況、知識點的掌握情況進行一次有依據的反思。

美國心理學家布魯姆在掌握學習理論中指出，“許多學生在學習中未能取得優異成績，主要問題不是學生智慧能力欠缺，而是由于未得到適當的教學條件和合理的幫助造成的”，教師“如果提供適當的學習條件，大多數學生在學習能力、學習速度、進一步學習動機等多方面就會變得十分相似”。對學生的解題思維進行及時、有目標、有針對性的調查，就是為學生提供這種適合自己的學習條件以及合理的幫助。特別是在數學選擇題的教學中，學生解決每個問題時的思考風格是不一樣的，教師很難一一判別他們的思考過程是否完整或者正確，那么教師就應當針對學生解題的具體情況提供適合的條件幫助學生。

調查題目及調查對象的選擇取決于學生對題目的解答情況。

三、調查的時機

準確地把握學生思維誤區的調查時機，即哪些題目須對學生進行解題思維的調查，哪些題目不需要重新講解，這不僅僅關系到提高課堂教學效率的問題，更是減輕學生課業過重負擔的一個有效途徑。因為及時的思維調查可以使學生在“問題解決”過程中知己知彼，事半功倍。實踐表明，當下列情況出現時就應對學生的解題思維進行調查。

1.試題答案明顯趨向于某一“陷阱”時須思維調查

數學選擇題的幾個選擇支，是制卷（題）教師明顯地根據學生“有可能”出現的思維錯誤情況而安排的。如果試題的得分錯誤基本傾向于某一選擇支時，那么教師就應該好好地反思自己平時的教學情況：“課堂教學中有沒有真正幫助學生落實了知識點？”

例：設α、β是實系數方程x2-2kx+k+6=0的兩個根，求（α-1）2+（β-1）2的最小值是：（A）-■;（B）8;（C）18;（D）不存在。

評卷時發現很多學生都選擇了（A）。調查其原因：

利用韋達定理得α+β=2k，αβ=k+6，∴（α-1）2+（β-1）2=（α+β）2-2αβ-2（α+β）+2=4k2-6k-10=4（x-■）2-■.一般學生一看到這個二次三項式里面有個-■，也就不深入分析了，毫不猶豫地選了（A）。這正是“問題解決”思維受到制卷教師的“誘導”而滑入了陷阱，不去考慮變量k隱含的允許值范圍所出現的問題。事實上，由于原方程有兩個實數根，所以判別式△=4k2-4（6+k）=4k2-4k-24≥0，得k≥3或k≤-2，從而不難得出本題正確選擇為（B）。這就是教師在平時的教學中對于運用“韋達定理”要注意“根的判別式”強調得不夠所致。

2.試題的整體得分率偏底時須思維調查

試題中的某一個題目的得分率偏底，就意味著學生在解答此題時存在著較嚴重的知識和方法上的錯誤，此時就應該在出錯的學生當中選取代表進行調查，了解是屬于解題時的思維方向性錯誤還是屬于計算過程中的技術性錯誤。

例：如果|cosθ|=■（■<θ<3π），那么sin■的值等于：（A）-■;（B）■;（C）-■;（D）■。

在高三的一次單元測試中我們發現，有近15℅的學生選（D），錯誤明顯在于符號。

經過分析認為產生錯誤的原因有二：一是粗心大意，沒有考慮符號;二是分不清應該是θ所在象限的符號還是■所在象限的符號。但是作為高三學生，不應該有這么多的學生犯這種錯誤。于是我們對出錯的學生進行了調查，并且如愿以償地收集到了多數學生的錯誤解法。他們的錯誤過程如下：

先根據條件■<θ<3π得出2π+■<θ<2π+π，但在實際操作時去掉2π而成了：■<θ<π，這個方法在判斷θ的象限時是正確的，故得cosθ=-■，然后在■<θ<π兩邊同除以2得：■<■<■從而選（D）。

可見學生出錯的根源在于式子■<θ<π，他們把與已知條件有相同象限的■<θ<π錯誤地等同于已知條件，造成兩邊除以2后出錯。針對學生暴露的思維缺陷，我們作了針對性的講評，使學生認識到了在實際操作時去掉2π的危害。

3.試題的得分率與試題的難度不符時須思維調查

教師認為較難的試題而學生的得分率比較高的時候，就應對全體學生進行調查，要求他們寫出具體的解答過程，用以判斷到底是自己做出來的還是蒙的，也就是是真做對了還是是假做對了，是否有蒙混或者作弊現象等。

例：等差數列|an|，|bn|的前n項和分別是sn和Tn，若■=■，則■■等于：（A）■;（B）■;（C）1;（D）■。

對這個題目的解答進行了調查，結果是全班45人的答案全部正確，而解法只有一個人對的。這個例子告訴我們，如果對不正常的高得分率感到滿足的話，將會失去發現學生的錯誤的機會，學生也會在“正確”的鼓勵下強化他們的錯誤方法。

4.試題的解答在個別學生身上出現異常時須思維調查

一個不難的選擇題，恰好被一個成績好的學生做錯了，或一個難題恰巧又被成績差的學生做對了。這就產生了學生解答的異常情況。對這些學生進行調查，常可發現學生的缺陷或閃光點。

例：設函數f（x）滿足f（x+1）+f（x-1）=2x2-8x+8，f（x+1）-f（x-1）=4x-8，且f（x），-■，f（x-1）成等差數列，則x的值為：（A）2;（B）3;（C）2或3;（D）2或-3。

此題班中只有5個學生解錯，但其中有一位學生的成績很好，且她在所選的答案旁打有“？”。針對這種異常情況，我們對對這個學生進行了調查，學生先說了她在考試時的做法：

∵f（x+1）+f（x-1）=2x2-8x+8，f（x+1）-f（x-1）=4x-8，∴f（x-1）=x2-6x+8……（1）又∵f（x），-■，f（x-1）成等差數列，∴f（x）+f（x-1）=-1，把（1）代入解得f（x）=-x2+6x+9……（2），在（2）中用x-1代替x得：f（x-1）=-（x-1）2+6（x-1）-9，聯合（1）解得x=-3和x=-4。顯然這個答案選擇支中沒有。但是在考試時又沒有過多的時間細想，看到（D）中有-3，故而選（D），并在旁邊打了“？”。

考試后她又得到了另一種解法：在（1）中用x代替（x-1）得f（x）=（x+1）2-6（x+1）+8，聯合（2），解得x=2和x=3。但是她不能判斷哪一種解法是對的。其他學生也有做了方法一因沒有答案改做方法二的。做對了但仍不能判別第一種解法的錯誤所在。這時學生在解答此題時最主要的錯誤被發現了：那就是學生分不清變量與未知數的關系。事實上，（2）中的x是未知數，盡管“未知”但是此時實質上就是一個常數，故（2）式只對某些常數成立，所以不能用（x-1）代替x。而（1）中的x是變量，故（1）式對任意x成立，所以可用x代替（x-1），由此可以判斷解法二的正確性。為了更徹底地消除學生中存在的這種錯誤，可對如何分辨變量與未知數作了專題復習。

四、調查的方式

思維調查分直接和間接兩種。直接調查，主要針對少部分學生檢測結果特別反常的時候，教師可以通過面對面地詢問，了解該生的解題思路、產生錯誤的原因。間接調查，主要可以通過以下兩種方法進行：一個是教師在試卷上寫上評語，要求學生在另外的作業紙上寫出當時解題的思路。對于有新意的解題方法，教師要都要表揚，鼓勵學生把自己當時的思考方法表述清楚，以便在班級里面進行推廣;對于錯誤比較嚴重的學生，要告訴他怎樣把當時自己的思考方法、推理思路寫出來，并分析產生這個錯誤的原因。二是教師制訂比較規范的表格（如圖），發到學生手中，讓他們自己根據考試的具體情況進行認真地填寫，然后教師根據他們的填寫情況進行匯總分析，再有針對性地對學生進行分別輔導。也可以選擇比較典型的根據錯誤進行全班性講解，分析的重點是要求學生知道產生錯誤的原因以及補救、矯正的方法。

■

不管用何種方法調查，一定要及時。以桑代克為代表的聯結學習認為，凡是一種刺激——反應的聯結產生的是滿意的反應，則學習者樂于重復這種反應（獎賞律）;反之，凡是這種聯結引起的是煩惱的反應，則學習者力求避免這一反應（懲罰律）。有機體只有了解了學習結果，練習才能起作用。聯結派的學習理論主要強調某種刺激與某種反應之間建立聯系、聯結的過程，強調外部強化和獎賞在學習中的作用。這在調查學生的解題思維上給我們的啟示是：其一，學生產生錯誤的思維調查一定要及時，讓學生看見自己的最終結果，才能根據這個結果來調整自己;其二，信息的反饋一定要有效，調查的目的一定要成為某種刺激作用于學生;其三，要在內容和形式等方面上對解題錯誤的調查進行不斷地調整，以達到最優最有效的學習反饋效果。

參考文獻：

[1]朱智賢，林崇德.思維發展心理學[M].北京：北京師范大學出版社，1986.

[2]唐紹友.試論數學客觀題的負面效應[J].數學通報，1996（9）.

[3]潘玉進.建構主義理論及其在教育上的啟示[J].東北師大學報（哲學社會科學版），2000（4）.

3.試題的得分率與試題的難度不符時須思維調查

教師認為較難的試題而學生的得分率比較高的時候，就應對全體學生進行調查，要求他們寫出具體的解答過程，用以判斷到底是自己做出來的還是蒙的，也就是是真做對了還是是假做對了，是否有蒙混或者作弊現象等。

例：等差數列|an|，|bn|的前n項和分別是sn和Tn，若■=■，則■■等于：（A）■;（B）■;（C）1;（D）■。

對這個題目的解答進行了調查，結果是全班45人的答案全部正確，而解法只有一個人對的。這個例子告訴我們，如果對不正常的高得分率感到滿足的話，將會失去發現學生的錯誤的機會，學生也會在“正確”的鼓勵下強化他們的錯誤方法。

4.試題的解答在個別學生身上出現異常時須思維調查

一個不難的選擇題，恰好被一個成績好的學生做錯了，或一個難題恰巧又被成績差的學生做對了。這就產生了學生解答的異常情況。對這些學生進行調查，常可發現學生的缺陷或閃光點。

例：設函數f（x）滿足f（x+1）+f（x-1）=2x2-8x+8，f（x+1）-f（x-1）=4x-8，且f（x），-■，f（x-1）成等差數列，則x的值為：（A）2;（B）3;（C）2或3;（D）2或-3。

此題班中只有5個學生解錯，但其中有一位學生的成績很好，且她在所選的答案旁打有“？”。針對這種異常情況，我們對對這個學生進行了調查，學生先說了她在考試時的做法：

∵f（x+1）+f（x-1）=2x2-8x+8，f（x+1）-f（x-1）=4x-8，∴f（x-1）=x2-6x+8……（1）又∵f（x），-■，f（x-1）成等差數列，∴f（x）+f（x-1）=-1，把（1）代入解得f（x）=-x2+6x+9……（2），在（2）中用x-1代替x得：f（x-1）=-（x-1）2+6（x-1）-9，聯合（1）解得x=-3和x=-4。顯然這個答案選擇支中沒有。但是在考試時又沒有過多的時間細想，看到（D）中有-3，故而選（D），并在旁邊打了“？”。

考試后她又得到了另一種解法：在（1）中用x代替（x-1）得f（x）=（x+1）2-6（x+1）+8，聯合（2），解得x=2和x=3。但是她不能判斷哪一種解法是對的。其他學生也有做了方法一因沒有答案改做方法二的。做對了但仍不能判別第一種解法的錯誤所在。這時學生在解答此題時最主要的錯誤被發現了：那就是學生分不清變量與未知數的關系。事實上，（2）中的x是未知數，盡管“未知”但是此時實質上就是一個常數，故（2）式只對某些常數成立，所以不能用（x-1）代替x。而（1）中的x是變量，故（1）式對任意x成立，所以可用x代替（x-1），由此可以判斷解法二的正確性。為了更徹底地消除學生中存在的這種錯誤，可對如何分辨變量與未知數作了專題復習。

四、調查的方式

思維調查分直接和間接兩種。直接調查，主要針對少部分學生檢測結果特別反常的時候，教師可以通過面對面地詢問，了解該生的解題思路、產生錯誤的原因。間接調查，主要可以通過以下兩種方法進行：一個是教師在試卷上寫上評語，要求學生在另外的作業紙上寫出當時解題的思路。對于有新意的解題方法，教師要都要表揚，鼓勵學生把自己當時的思考方法表述清楚，以便在班級里面進行推廣;對于錯誤比較嚴重的學生，要告訴他怎樣把當時自己的思考方法、推理思路寫出來，并分析產生這個錯誤的原因。二是教師制訂比較規范的表格（如圖），發到學生手中，讓他們自己根據考試的具體情況進行認真地填寫，然后教師根據他們的填寫情況進行匯總分析，再有針對性地對學生進行分別輔導。也可以選擇比較典型的根據錯誤進行全班性講解，分析的重點是要求學生知道產生錯誤的原因以及補救、矯正的方法。

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不管用何種方法調查，一定要及時。以桑代克為代表的聯結學習認為，凡是一種刺激——反應的聯結產生的是滿意的反應，則學習者樂于重復這種反應（獎賞律）;反之，凡是這種聯結引起的是煩惱的反應，則學習者力求避免這一反應（懲罰律）。有機體只有了解了學習結果，練習才能起作用。聯結派的學習理論主要強調某種刺激與某種反應之間建立聯系、聯結的過程，強調外部強化和獎賞在學習中的作用。這在調查學生的解題思維上給我們的啟示是：其一，學生產生錯誤的思維調查一定要及時，讓學生看見自己的最終結果，才能根據這個結果來調整自己;其二，信息的反饋一定要有效，調查的目的一定要成為某種刺激作用于學生;其三，要在內容和形式等方面上對解題錯誤的調查進行不斷地調整，以達到最優最有效的學習反饋效果。

參考文獻：

[1]朱智賢，林崇德.思維發展心理學[M].北京：北京師范大學出版社，1986.

[2]唐紹友.試論數學客觀題的負面效應[J].數學通報，1996（9）.

[3]潘玉進.建構主義理論及其在教育上的啟示[J].東北師大學報（哲學社會科學版），2000（4）.

3.試題的得分率與試題的難度不符時須思維調查

教師認為較難的試題而學生的得分率比較高的時候，就應對全體學生進行調查，要求他們寫出具體的解答過程，用以判斷到底是自己做出來的還是蒙的，也就是是真做對了還是是假做對了，是否有蒙混或者作弊現象等。

例：等差數列|an|，|bn|的前n項和分別是sn和Tn，若■=■，則■■等于：（A）■;（B）■;（C）1;（D）■。

對這個題目的解答進行了調查，結果是全班45人的答案全部正確，而解法只有一個人對的。這個例子告訴我們，如果對不正常的高得分率感到滿足的話，將會失去發現學生的錯誤的機會，學生也會在“正確”的鼓勵下強化他們的錯誤方法。

4.試題的解答在個別學生身上出現異常時須思維調查

一個不難的選擇題，恰好被一個成績好的學生做錯了，或一個難題恰巧又被成績差的學生做對了。這就產生了學生解答的異常情況。對這些學生進行調查，常可發現學生的缺陷或閃光點。

例：設函數f（x）滿足f（x+1）+f（x-1）=2x2-8x+8，f（x+1）-f（x-1）=4x-8，且f（x），-■，f（x-1）成等差數列，則x的值為：（A）2;（B）3;（C）2或3;（D）2或-3。

此題班中只有5個學生解錯，但其中有一位學生的成績很好，且她在所選的答案旁打有“？”。針對這種異常情況，我們對對這個學生進行了調查，學生先說了她在考試時的做法：

∵f（x+1）+f（x-1）=2x2-8x+8，f（x+1）-f（x-1）=4x-8，∴f（x-1）=x2-6x+8……（1）又∵f（x），-■，f（x-1）成等差數列，∴f（x）+f（x-1）=-1，把（1）代入解得f（x）=-x2+6x+9……（2），在（2）中用x-1代替x得：f（x-1）=-（x-1）2+6（x-1）-9，聯合（1）解得x=-3和x=-4。顯然這個答案選擇支中沒有。但是在考試時又沒有過多的時間細想，看到（D）中有-3，故而選（D），并在旁邊打了“？”。

考試后她又得到了另一種解法：在（1）中用x代替（x-1）得f（x）=（x+1）2-6（x+1）+8，聯合（2），解得x=2和x=3。但是她不能判斷哪一種解法是對的。其他學生也有做了方法一因沒有答案改做方法二的。做對了但仍不能判別第一種解法的錯誤所在。這時學生在解答此題時最主要的錯誤被發現了：那就是學生分不清變量與未知數的關系。事實上，（2）中的x是未知數，盡管“未知”但是此時實質上就是一個常數，故（2）式只對某些常數成立，所以不能用（x-1）代替x。而（1）中的x是變量，故（1）式對任意x成立，所以可用x代替（x-1），由此可以判斷解法二的正確性。為了更徹底地消除學生中存在的這種錯誤，可對如何分辨變量與未知數作了專題復習。

四、調查的方式

思維調查分直接和間接兩種。直接調查，主要針對少部分學生檢測結果特別反常的時候，教師可以通過面對面地詢問，了解該生的解題思路、產生錯誤的原因。間接調查，主要可以通過以下兩種方法進行：一個是教師在試卷上寫上評語，要求學生在另外的作業紙上寫出當時解題的思路。對于有新意的解題方法，教師要都要表揚，鼓勵學生把自己當時的思考方法表述清楚，以便在班級里面進行推廣;對于錯誤比較嚴重的學生，要告訴他怎樣把當時自己的思考方法、推理思路寫出來，并分析產生這個錯誤的原因。二是教師制訂比較規范的表格（如圖），發到學生手中，讓他們自己根據考試的具體情況進行認真地填寫，然后教師根據他們的填寫情況進行匯總分析，再有針對性地對學生進行分別輔導。也可以選擇比較典型的根據錯誤進行全班性講解，分析的重點是要求學生知道產生錯誤的原因以及補救、矯正的方法。

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不管用何種方法調查，一定要及時。以桑代克為代表的聯結學習認為，凡是一種刺激——反應的聯結產生的是滿意的反應，則學習者樂于重復這種反應（獎賞律）;反之，凡是這種聯結引起的是煩惱的反應，則學習者力求避免這一反應（懲罰律）。有機體只有了解了學習結果，練習才能起作用。聯結派的學習理論主要強調某種刺激與某種反應之間建立聯系、聯結的過程，強調外部強化和獎賞在學習中的作用。這在調查學生的解題思維上給我們的啟示是：其一，學生產生錯誤的思維調查一定要及時，讓學生看見自己的最終結果，才能根據這個結果來調整自己;其二，信息的反饋一定要有效，調查的目的一定要成為某種刺激作用于學生;其三，要在內容和形式等方面上對解題錯誤的調查進行不斷地調整，以達到最優最有效的學習反饋效果。

參考文獻：

[1]朱智賢，林崇德.思維發展心理學[M].北京：北京師范大學出版社，1986.

[2]唐紹友.試論數學客觀題的負面效應[J].數學通報，1996（9）.

[3]潘玉進.建構主義理論及其在教育上的啟示[J].東北師大學報（哲學社會科學版），2000（4）.