正交異性鋼橋肋—橋面板焊縫裂紋的三維斷裂力學分析

張高楠+石廣玉+王曉丹

摘要： 正交異性鋼橋的肋橋面板焊縫處的疲勞裂紋是典型的三維裂紋問題，但是現在普遍采用平面應變二維裂紋模型對其進行斷裂力學分析.基于SchwartzNeuman交替法建立正交異性鋼橋肋橋面板焊縫裂紋的局部三維斷裂力學分析模型；評估焊縫處表面裂紋的形狀和深度對應力強度因子的影響；采用Paris公式估算等應力幅下焊縫的疲勞壽命.計算結果表明：用平面應變二維裂紋模型進行正交異性鋼橋的肋面板焊縫的斷裂力學分析會嚴重低估其疲勞壽命；采用三維斷裂力學模型進行肋橋面板焊縫裂紋的疲勞壽命分析十分必要.

關鍵詞： 正交異性鋼橋； 肋橋面板焊縫； 疲勞裂紋； SchwartzNeuman交替法； 應力強度因子

中圖分類號： TU391；TB115.1文獻標志碼： B

0引言

正交異性鋼橋的橋面板、縱肋和橫梁都是通過焊接技術連接的.當每一輛車駛過時，橋面都會產生數次應力循環，焊接部位的殘余應力和某些難以避免的焊縫缺陷使焊接部位容易產生疲勞裂紋.在車輛移動載荷激勵作用下，焊縫裂紋的擴展將導致橋面板結構破壞.[13]已有學者[45]基于斷裂力學方法對鋼橋焊縫裂紋進行疲勞壽命評估，但大多是將縱肋和橋面板焊縫裂紋簡化為二維平面裂紋進行分析，與實際情況有很大的差異.本文提出基于SchwartzNeuman交替法的三維斷裂力學模型[6]分析方法，進行正交異性鋼橋的縱肋橋面板焊縫裂紋的應力強度因子的計算.通過與二維裂紋分析結果進行對比，證明使用三維斷裂斷力學分析模型的必要性.

1三維斷裂力學模型

在正交異性鋼橋面板的眾多焊縫裂紋中，肋橋面板最危險焊縫裂紋見圖1.

圖 1正交異性鋼橋焊縫裂紋及其三維模型

Fig.1Crack at ribdeck weld joint of orthotropic

steel bridge and its 3D model

已有學者[45]采用斷裂力學方法對其進行疲勞分析.KISS等[4]提出2步分析方法：首先，建立包含數個橫梁和縱肋的橋面板結構有限元模型進行車輛載荷作用下的應力分析；然后，以該應力分析結果為基礎，建立含有裂紋的焊接部位局部模型進行斷裂力學和疲勞分析.在傳統的有限元疲勞分析時，在局部模型中需要對裂紋附近進行十分密集的網格劃分.為得到可實際計算的斷裂力學模型，將圖1所示的三維裂紋模擬簡化為二維平面應變裂紋模型，見圖2.[45]這種二維裂紋模型意味著縱肋橋面板裂紋貫穿于2個橫梁之間.在工程實際問題中，縱肋橋面板焊縫裂紋沿著橋面板的縱向和厚度方向同時逐步擴展.所以，將肋橋面板焊縫裂紋處理成貫穿于2個橫梁之間、只考慮其沿橋面板厚度方向擴展不合理.本文基于SchwartzNeuman交替法[6]，建立如圖1所示的三維局部斷裂力學模型.考慮到裂紋產生初期在橋面板長度方向和高度方向都比較短，在三維局部斷裂力學模型中將縱肋橋面板焊縫裂紋處理成半橢圓形的表面裂紋，計算應力強度因子，評估焊縫處表面裂紋的形狀和深度對應力強度因子的影響.

圖 2正交異性鋼橋肋橋面焊縫處的二維裂紋模型

Fig.22D crack model for ribdeck weld joint of

orthotropic steel bridge

計算結果表明，用平面應變二維裂紋進行正交異性鋼橋的肋橋面板焊縫的斷裂力學分析導致嚴重地低估肋橋面板焊縫的疲勞壽命.因此，采用三維斷裂力學模型進行正交異性鋼橋肋橋面板焊縫裂紋的斷裂力學分析十分必要.

2SchwartzNeuman交替法

基于SchwartzNeuman 交替法，HAN等[6]提出求解三維裂紋問題的有限元和對稱伽遼金邊界元交替法.該方法中有限元用來進行無裂紋連續體的應力分析，對稱伽遼金邊界元用來進行類似于含裂紋的無限大物體的應力分析，斷裂力學問題的解通過有限元解與邊界元解的交替和迭代求得，見圖3.數值結果表明，該有限元和邊界元的交替方法不僅計算效率高，而且計算結果也十分精確.

圖 3裂紋處的局部有限元模型和邊界元模型

Fig.3Local finite element model and boundary

element model of crack

在線彈性斷裂力學分析中，應力強度因子KI，KII，KIII和等效應力強度因子Keq可以由裂紋尖端附近的位移漸近線獲得，即KI=E（1-ν2） u142r/π（1）

KII=E（1-ν2） u242r/π（2）

KIII=E（1-ν2） u342r/π（3）

Keq=4K4I+6K2IK2II+K4II+1（1-ν）K4III（4）式中：E為材料彈性模量；ν為泊松比；r為點到裂紋尖端的距離；u1，u2和u3分別為的裂紋尖端局部坐標系中點到裂紋尖端的位移（見圖4），可以運用外推法獲得.

圖 4裂紋尖端坐標

Fig.4Coordinates at crack tip

基于有限元和對稱伽遼金邊界元交替法的三維裂紋分析已得到很多應用.[6]

3正交異性鋼橋縱肋橋面板焊縫裂紋的三維斷裂力學分析在移動車輛載荷作用下，正交異性鋼橋面板結構的焊接部位很容易產生疲勞裂紋.其中，XIAO等[5]發現，U型肋橋面板焊縫是最危險的焊接部位.本文對正交異性鋼橋的縱肋橋面板焊縫進行三維斷裂力學分析.

3.1車輛載荷下的疲勞應力分析模型

根據文獻[5]中的正交異性鋼橋面板數據，建立包含5個U型肋、4個橫梁的正交異性鋼橋面板應力分析有限元模型，見圖5.

圖 5正交異性鋼橋面板的疲勞應力分析有限元模型endprint

Fig.5Finite element model for fatigue stress analysis on

orthotropic steel bridge deck

在疲勞設計中車輪載荷采用載荷位于縱肋與面板連接處的加載方式，見圖6.不同車輪加載位置時U型肋橋面板焊接處沿橋面板縱向的應力變化曲線見圖7，可知，肋橋面板焊接處所承受的是以壓應力為主的拉壓循環載荷.其中當車輪載荷位于兩橫梁中間時，與加載位置縱向相距±0.45 mm處的肋橋面板焊接部位承受最大拉應力.文獻[7]中指出，肋橋面板焊縫裂紋處的拉應力是裂紋擴展的驅動力.在ANSYS整體分析結果中提取最大拉應力部位的局部應力信息.

a）位于縱肋上

b）位于兩肋之間

c）位于縱肋與面板連接處

圖 6車輪加載方式

Fig.6Loading of wheel

圖 7不同加載工況下U型肋橋面板焊縫處的應力分布

Fig.7Stress distribution at crack of U type ribdeck weld joint under different loading conditions

3.2整體模型基礎上的局部三維斷裂力學模型

運用Patran建立如圖3所示的不包含裂紋的肋橋面板焊縫的局部三維有限元模型和長短軸之比為3∶2的不同深度的半橢圓形邊界元模型.在整體應力分析模型中找到縱向肋橋面板焊縫最危險部位的應力狀態，然后將這個應力狀態作為載荷施加到局部三維有限元模型上.運用MSC Nastran對其進行分析以檢驗計算模型的可分析性，檢驗結果見圖8.

圖 8局部三維有限元模型的應力分析

Fig.8Stress analysis on local 3D finite element model

肋橋面板焊縫處局部模型的應力狀態依賴于焊縫裂紋的狀態.當裂紋深度擴展到接近橋面板的中層面以后，之前在局部模型中施加的應力狀態不再適用，所以需要重新進行整體應力分析，尋找局部模型的加載條件.為簡化操作，只考慮較淺的焊縫表面裂紋.采用第2節所述的方法，使用圖7中的拉應力計算半橢圓形表面裂紋的裂紋尖端的應力強度因子.圖9給出肋橋面板焊縫處長短軸之比為3∶2的半橢圓形表面裂紋，其深度分別為1.0，1.5，2.0，2.5和3.0 mm的應力強度因子.結果顯示：裂紋尖端應力強度因子隨著裂紋深度的增加而增加.

圖 9裂紋尖端應力強度因子隨裂紋深度的變化

Fig.9Variation of stress intensity factor of crack tip

against crack depth

由于在基于SchwartzNeuman交替法的三維有限元模型中沒有包含裂紋，所以可以用較稀疏的單元網格，從而極大地提高計算效率.并且，運用同一個三維有限元模型和不同的邊界元裂紋模型的輸出文件進行疊加計算，可以計算出同一有限元模型中不同裂紋尖端的應力強度因子，三維有限元模型的重復使用性在很大程度上減少數值分析所需的時間.同時，運用三維裂紋模型進行模擬，與實際情況更一致，得到的結果更加準確.

當裂紋深度為1.0 mm時，半橢圓裂紋沿橢圓邊界的節點上應力強度因子分布見圖10.此時，裂紋尖端，即裂紋最深處的應力強度因子較大，裂紋更趨向于向橋面板的厚度方向擴展.

圖 101 mm裂紋沿半橢圓邊的應力強度因子

Fig.10Stress intensity factor along semielliptic

boundary of 1 mm crack

焊縫處裂紋的幾何特征對裂紋尖端的應力強度因子有很大影響.三維斷裂力學模型給出的表面裂紋的深度為2.0 mm，但長軸分別為4，5，6，7 和8 mm的不同半橢圓裂紋的裂紋尖端應力強度因子見圖11，可知：對于相同深度的裂紋，裂紋尖端應力強度因子隨著裂紋長度的增加而增加.顯然，這是二維平面應變模型無法得到的.ANSYS平面應變二維斷裂力學模型給出的深度為2.0 mm的肋橋面板焊縫裂紋的分析結果見圖12.在相同的載荷條件下，二維斷裂力學模型得到的裂紋尖端應力強度因子為1.7 MPa·m12.

圖 11半橢圓表面裂紋尖端的應力強度因子隨裂紋

長軸的變化

Fig.11Variation of stress intensity factor of semielliptic surface crack tip against long axis of crack

圖 12ANSYS中的平面應變二維裂紋模型

Fig.122D plane strain crack model in ANSYS

如前所述，肋橋面板焊縫裂紋的平面應變二維斷裂力學模型說明裂紋沿橋面板方向為貫穿裂紋.基于SchwartzNeuman交替法的局部三維斷裂力學模型給出深度為2.0 mm，長短軸之比為3∶2的類半橢圓形裂紋尖端應力強度因子為1.1 MPa·m12， SchwartzNeuman交替法二維斷裂力學模型得到的深度為2.0 mm的貫穿裂紋的裂紋尖端應力強度因子為 1.42 MPa·m12.不同斷裂力學模型得到的深度為2.0 mm肋橋面板焊縫表面裂紋的斷裂力學分析結果匯總見表1，可知：把肋橋面板焊縫處的短裂紋簡化成如圖2所示的貫穿于2個橫梁之間的平面應變二維模型得到的分析結果比三維裂紋模型的結果大很多.表 1不同模型給出的2.0 mm裂紋尖端應力強度因子

Tab.1Stress intensity factors of 2.0 mm crack tipendprint

given by different models裂紋三維半橢圓

表面裂紋貫穿裂紋ANSYS平面

應變二維裂紋Keq/（MPa·m12）1.161.421.70與三維半橢圓表面裂紋Keq比較增大22.4%增大46.5%疲勞壽命比較減小45.5%減小68.2%

4基于斷裂力學的疲勞壽命預測

Paris公式是最常用的研究循環應力作用下裂紋擴展規律的經驗公式[5]，其表達式為dadN=C（ΔK）m（5）式中：C和m為材料常數，m的取值范圍為2～7.

式（5）表明，疲勞壽命隨應力強度因子幅的增加而呈指數級增長.由式（5）可以得到裂紋的疲勞壽命為N=∫a cra0daC（ΔK）m（6）當以應力強度因子幅為變量時，式（6）需要用數值積分的方法進行計算.[8]若僅為比較應力強度因子幅對疲勞壽命的影響，可假設等效應力強度因子幅為常數，以便式（6）可以直接積分求解.不同斷裂力學模型給出的裂紋深度為2.0 mm的疲勞壽命預測結果比較見表1的最后一行，其中式（6）中的m取值為2.75[5].由表1可知：由于疲勞壽命與應力強度因子幅的指數關系，應力強度因子幅的準確性在裂紋疲勞壽命預測中十分重要.但需要指出，Paris公式僅適用于以拉應力為主的循環應力，當循環應力以壓應力為主時，應該使用相應的裂紋擴展公式.[710]

5結束語

基于SchwartzNeuman交替法進行正交異性鋼橋肋與橋面板焊縫的三維斷裂力學分析，計算肋橋面板焊縫處表面裂紋的形狀和深度對應力強度因子的影響，并用Paris公式估算等應力幅下正交異性鋼橋肋橋面板焊縫的疲勞壽命.當采用常規方法進行正交異性鋼橋肋橋面板焊縫處的疲勞裂紋分析時，很多研究者把三維裂紋簡化為二維平面應變問題建立可以進行數值計算的斷裂力學分析模型.本文的計算結果表明，用平面應變二維裂紋進行正交異性鋼橋的肋橋面板焊縫的斷裂力學分析得到的應力強度因子過高，從而導致嚴重地低估肋橋面板焊縫的疲勞壽命.因此，為可靠和準確地進行疲勞壽命預測，必須采用三維斷裂力學模型進行正交異性鋼橋肋橋面板焊縫裂紋的斷裂力學分析.參考文獻：

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TONG Lewei， SHEN Zuyan. Fatigue assessment of orthotropic steel bridge decks[J]. China Civil Eng J， 2000， 33（3）： 1721.

[2]FRICKE W. Fatigue analysis of welded joints： state of development[J]. Marine Structures， 2003， 16（3）： 185200.

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[8]張高楠， 石廣玉， 王曉丹. 正交異性鋼橋面板焊縫的疲勞壽命評估方法[C]// 2012年中國計算力學大會論文集. 重慶， 2012.

[9]PATEL A B， PANDEY R K. Fatigue crack growth under mixed mode loading[J]. Fatigue & Fracture of Eng Mat & Structures， 1984， 4（1）： 6577.

[10]FORMAN R G， SHIVAKUMAR V， NEWMAN J C. Fatiguecrackgrowth computer program[DB/OL]. （19910401）[20130810]. http：//ntrs.nasa.gov/search.jsp？R=19910000164.

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given by different models裂紋三維半橢圓

表面裂紋貫穿裂紋ANSYS平面

應變二維裂紋Keq/（MPa·m12）1.161.421.70與三維半橢圓表面裂紋Keq比較增大22.4%增大46.5%疲勞壽命比較減小45.5%減小68.2%

4基于斷裂力學的疲勞壽命預測

Paris公式是最常用的研究循環應力作用下裂紋擴展規律的經驗公式[5]，其表達式為dadN=C（ΔK）m（5）式中：C和m為材料常數，m的取值范圍為2～7.

式（5）表明，疲勞壽命隨應力強度因子幅的增加而呈指數級增長.由式（5）可以得到裂紋的疲勞壽命為N=∫a cra0daC（ΔK）m（6）當以應力強度因子幅為變量時，式（6）需要用數值積分的方法進行計算.[8]若僅為比較應力強度因子幅對疲勞壽命的影響，可假設等效應力強度因子幅為常數，以便式（6）可以直接積分求解.不同斷裂力學模型給出的裂紋深度為2.0 mm的疲勞壽命預測結果比較見表1的最后一行，其中式（6）中的m取值為2.75[5].由表1可知：由于疲勞壽命與應力強度因子幅的指數關系，應力強度因子幅的準確性在裂紋疲勞壽命預測中十分重要.但需要指出，Paris公式僅適用于以拉應力為主的循環應力，當循環應力以壓應力為主時，應該使用相應的裂紋擴展公式.[710]

5結束語

基于SchwartzNeuman交替法進行正交異性鋼橋肋與橋面板焊縫的三維斷裂力學分析，計算肋橋面板焊縫處表面裂紋的形狀和深度對應力強度因子的影響，并用Paris公式估算等應力幅下正交異性鋼橋肋橋面板焊縫的疲勞壽命.當采用常規方法進行正交異性鋼橋肋橋面板焊縫處的疲勞裂紋分析時，很多研究者把三維裂紋簡化為二維平面應變問題建立可以進行數值計算的斷裂力學分析模型.本文的計算結果表明，用平面應變二維裂紋進行正交異性鋼橋的肋橋面板焊縫的斷裂力學分析得到的應力強度因子過高，從而導致嚴重地低估肋橋面板焊縫的疲勞壽命.因此，為可靠和準確地進行疲勞壽命預測，必須采用三維斷裂力學模型進行正交異性鋼橋肋橋面板焊縫裂紋的斷裂力學分析.參考文獻：

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given by different models裂紋三維半橢圓

表面裂紋貫穿裂紋ANSYS平面

應變二維裂紋Keq/（MPa·m12）1.161.421.70與三維半橢圓表面裂紋Keq比較增大22.4%增大46.5%疲勞壽命比較減小45.5%減小68.2%

4基于斷裂力學的疲勞壽命預測

Paris公式是最常用的研究循環應力作用下裂紋擴展規律的經驗公式[5]，其表達式為dadN=C（ΔK）m（5）式中：C和m為材料常數，m的取值范圍為2～7.

式（5）表明，疲勞壽命隨應力強度因子幅的增加而呈指數級增長.由式（5）可以得到裂紋的疲勞壽命為N=∫a cra0daC（ΔK）m（6）當以應力強度因子幅為變量時，式（6）需要用數值積分的方法進行計算.[8]若僅為比較應力強度因子幅對疲勞壽命的影響，可假設等效應力強度因子幅為常數，以便式（6）可以直接積分求解.不同斷裂力學模型給出的裂紋深度為2.0 mm的疲勞壽命預測結果比較見表1的最后一行，其中式（6）中的m取值為2.75[5].由表1可知：由于疲勞壽命與應力強度因子幅的指數關系，應力強度因子幅的準確性在裂紋疲勞壽命預測中十分重要.但需要指出，Paris公式僅適用于以拉應力為主的循環應力，當循環應力以壓應力為主時，應該使用相應的裂紋擴展公式.[710]

5結束語

基于SchwartzNeuman交替法進行正交異性鋼橋肋與橋面板焊縫的三維斷裂力學分析，計算肋橋面板焊縫處表面裂紋的形狀和深度對應力強度因子的影響，并用Paris公式估算等應力幅下正交異性鋼橋肋橋面板焊縫的疲勞壽命.當采用常規方法進行正交異性鋼橋肋橋面板焊縫處的疲勞裂紋分析時，很多研究者把三維裂紋簡化為二維平面應變問題建立可以進行數值計算的斷裂力學分析模型.本文的計算結果表明，用平面應變二維裂紋進行正交異性鋼橋的肋橋面板焊縫的斷裂力學分析得到的應力強度因子過高，從而導致嚴重地低估肋橋面板焊縫的疲勞壽命.因此，為可靠和準確地進行疲勞壽命預測，必須采用三維斷裂力學模型進行正交異性鋼橋肋橋面板焊縫裂紋的斷裂力學分析.參考文獻：

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