量子力學中厄米算符本征矢完備性的限制和界定

王振興

摘 要：從厄米算符矢開始，以完全集合定義出發， 以完全集合體系（簡稱集合體系）為標準.通過討論集合體系內厄米算符本征矢量完備性限制，從而得出了厄米算符自身體系完備性的一般證明. 進而得出完備性應該在是完全集合基礎上的完備，嚴格說起來，談論一個算符本征矢的完備性時，其立足點是非常特殊的，這時候應該默認這個算符本身就是一個完全集合，或者在說這個算符本征矢為完備組時其空間范圍限定為在這個算符定義域和值域所在的希爾伯特空間之內。

關鍵詞：厄米算符本征矢 完備性 限制 界定 完全集合 希爾伯特空間

中圖分類號：O41 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）12（a）-0084-02

在《厄米算符本征函數完備性的一般證明》中[1]，作者對一個厄米算符本征函數的完備性進行了論證[2-5]。該文筆者引入了一組完備的本征函數作為標度，對厄米算符的本征函數進行投影和反影射，從而利用了反證法證明了厄米算符的本征函數具有完備性。其中，在引入這組完備的本征函數時，作者言明對于這組本征函數的選取有特殊的要求，在結論處作者對要求進行了討論，認為在本征函數選取時應當默認與所需證明的厄米算符的空間范圍保持一致，并說明了一組基矢的完備與否只能在一定的空間范圍內討論才有意義。這說明一個厄米算符本征函數的完備性是有一定的限制的。但是對于一組厄米算符的本征函數，其限制的由來到底為何。作者并沒有對其進行相應的展開討論，這也是現在量子力學著作中所忽略的問題。這導致了很多量子力學學習者對厄米算符本征矢完備性的限制和界定的模糊，引發了很多的誤解。

該文從完全集合的定義出發，以完全集合體系（簡稱集合體系）為標準，在集合體系內討論了厄米算符本征矢量完備性的限制。最終對完備性的定義進行了界定，得出結論：完備性應該在是完全集合基礎上的完備，嚴格說起來，談論一個算符本征矢的完備性時，其立足點是非常特殊的，這時候應該默認這個算符本身就是一個完全集合，或者在說這個算符本征矢為完備組時其空間范圍限定為在這個算符定義域和值域所在的希爾伯特空間之內。

1 完備性的兩個限制

完全集合為對應著相應算符的一組物理量。這組物理量具有特殊的特征，它們能在某一態中同時得到測量，并同時具有定值，當它們同時具有定值的時候，再也沒有別的非這組物理量的函數的物理量能在該態中再具有定值。根據定義，可知這組物理量在這某一態中具有共同的本征函數，對完全集①合來說，通常認為彼此獨立而又兩兩相互對易的所有算符構成了完全集合。完全集合中算符的獨立性和對易性將會造成集合中單獨的某一個算符的自由度的缺失，將會極大地限制這個算符的完備性；同時完全集合之外的算符，相較于集合之內的算符來說，它們根據定義域和值域所形成的體系更靈活，以它們為標準，直接對集合中某一個算符本征矢所形成的體系進行完備性的探討是有限制的。下面將分為完全集合內和完全集合外兩個方面對算符本征矢的完備性的限制進行探討。

2 集合體系內部的限制

對于任一厄米算符，根據確定了其本征矢量。在理論上可以討論并證明其本征矢組具有完備組的條件。下面我們將引入另一個算符進行定性地說明。

與算符處于同一個完全集合的算符。在完全集合的限定下，算符和算符的關系為相互獨立且對易。相互獨立指和之間在結構上不能有交集；相互對易說明兩個算符具有共同本征矢量。將的本征矢量組定義為，同時和的共同本征矢量組定義為。從結構上對共同本征矢量組分別和、的本征矢量組相比較，從數學上來說，可以簡單地認為共同本征函數組與、的本征矢量組具有以下的乘積關系：

， （1）

式中為一個常系數，它只與函數的歸一化有關。并且認為和的本征矢量分別為、。

基于這種情況，由于和在結構上的獨立性，說明了在空間范圍內和是具備不同的自由度的，即式（1）中和在希爾伯特空間內屬于不同的自由度。如果這個時候，在和這個共同體系中再以的本征矢量空間為標準并考慮其完備性，就會發現由于自由度的缺失，的本征矢量不再完備了，的情況與其相同。在這里只有它們的共同本征函數組為完備組。可以說，由于自由度的不完整限制了單個算符本征矢的完備性。

綜上所述，在完全集合體系下，由于算符與算符之間的獨立性和對易性，導致了單獨某一個算符自由度的缺失，從而限制了它的完備性。

3 集合體系外部的限制

前面我們討論了在集合體系內部，由于單獨某一個算符受到了自由度的缺失從而導致了完備性的不連續。同時相對于集合體系以外，我們也可以看到它對自由度的限制。

算符屬于某一個完全集合體系，而算符并不屬于這個完全集合體系。可以知道，和并不對易，它們沒有了共同本征函數，并且在同一態中也不同時存在定值。令為的本征矢量，的本征矢量具有完備性表現在總可以通過的各種線性組合能得到一個態，在這個態下存在定值，這時這個線性組合的態被認定為的本征矢。這是在理想的情況下才得以成立的。因為上述情況的成立要求的定義域和值域在希爾伯特空間的自由度范圍大于或等于的定義域和值域的空間范圍，并且將其空間范圍完全涵蓋。

上述條件的達成是相當苛刻的，且限制性太大。這與我們討論完備性時，完備組應當一般地對任一指定的態進行表述的思想相悖。因此，完備性應該做一個界定。我們討論完備性時應當立足于整個完全集合，確定本征矢量的自由度為整個希爾伯特空間為前提，然后再在這個完全集合的基礎上以集合內所有算符的共同本征矢量討論其完備性。

4 結論

通過在完全集合內對算符的本征矢量完備性受到限制的探究，同時在完全集合外對本征矢量的自由度的界定，可以提出對完備性的新的定義：以完全集合為基礎，確定本征矢量的全空間性，本征矢量可以對任一態進行的表述時，我們說這組本征矢量具有完備性。相較于一個厄米算符本征矢量的完備或幾個厄米算符共同本征矢量所具有的完備，應該加入一個限定條件，是它們的完備并非真正的完備，而是在自身所在的子空間中完備，可以定為自身體系的完備性。

參考文獻

[1] 侯章林.厄米算符本征函數完備性的一般證明[J].大學物理，2012，31（9）：16-21.

[2] Dirac P A M. The Principles of Quantum Mechanics[M].Oxford： Oxford University Press， 1958.

[3] Basdevant J L.Lectures on Quantum Mechanics[M].Berlin： Springer - verlag，2006.

[4] Bohm D.Quantum Theory[M].London：Prentice-Hall，1951.

[5] 曾謹言.量子力學導論[M].2版.北京：北京大學出版社，1998.endprint

摘 要：從厄米算符矢開始，以完全集合定義出發， 以完全集合體系（簡稱集合體系）為標準.通過討論集合體系內厄米算符本征矢量完備性限制，從而得出了厄米算符自身體系完備性的一般證明. 進而得出完備性應該在是完全集合基礎上的完備，嚴格說起來，談論一個算符本征矢的完備性時，其立足點是非常特殊的，這時候應該默認這個算符本身就是一個完全集合，或者在說這個算符本征矢為完備組時其空間范圍限定為在這個算符定義域和值域所在的希爾伯特空間之內。

關鍵詞：厄米算符本征矢 完備性 限制 界定 完全集合 希爾伯特空間

中圖分類號：O41 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）12（a）-0084-02

在《厄米算符本征函數完備性的一般證明》中[1]，作者對一個厄米算符本征函數的完備性進行了論證[2-5]。該文筆者引入了一組完備的本征函數作為標度，對厄米算符的本征函數進行投影和反影射，從而利用了反證法證明了厄米算符的本征函數具有完備性。其中，在引入這組完備的本征函數時，作者言明對于這組本征函數的選取有特殊的要求，在結論處作者對要求進行了討論，認為在本征函數選取時應當默認與所需證明的厄米算符的空間范圍保持一致，并說明了一組基矢的完備與否只能在一定的空間范圍內討論才有意義。這說明一個厄米算符本征函數的完備性是有一定的限制的。但是對于一組厄米算符的本征函數，其限制的由來到底為何。作者并沒有對其進行相應的展開討論，這也是現在量子力學著作中所忽略的問題。這導致了很多量子力學學習者對厄米算符本征矢完備性的限制和界定的模糊，引發了很多的誤解。

該文從完全集合的定義出發，以完全集合體系（簡稱集合體系）為標準，在集合體系內討論了厄米算符本征矢量完備性的限制。最終對完備性的定義進行了界定，得出結論：完備性應該在是完全集合基礎上的完備，嚴格說起來，談論一個算符本征矢的完備性時，其立足點是非常特殊的，這時候應該默認這個算符本身就是一個完全集合，或者在說這個算符本征矢為完備組時其空間范圍限定為在這個算符定義域和值域所在的希爾伯特空間之內。

1 完備性的兩個限制

完全集合為對應著相應算符的一組物理量。這組物理量具有特殊的特征，它們能在某一態中同時得到測量，并同時具有定值，當它們同時具有定值的時候，再也沒有別的非這組物理量的函數的物理量能在該態中再具有定值。根據定義，可知這組物理量在這某一態中具有共同的本征函數，對完全集①合來說，通常認為彼此獨立而又兩兩相互對易的所有算符構成了完全集合。完全集合中算符的獨立性和對易性將會造成集合中單獨的某一個算符的自由度的缺失，將會極大地限制這個算符的完備性；同時完全集合之外的算符，相較于集合之內的算符來說，它們根據定義域和值域所形成的體系更靈活，以它們為標準，直接對集合中某一個算符本征矢所形成的體系進行完備性的探討是有限制的。下面將分為完全集合內和完全集合外兩個方面對算符本征矢的完備性的限制進行探討。

2 集合體系內部的限制

對于任一厄米算符，根據確定了其本征矢量。在理論上可以討論并證明其本征矢組具有完備組的條件。下面我們將引入另一個算符進行定性地說明。

與算符處于同一個完全集合的算符。在完全集合的限定下，算符和算符的關系為相互獨立且對易。相互獨立指和之間在結構上不能有交集；相互對易說明兩個算符具有共同本征矢量。將的本征矢量組定義為，同時和的共同本征矢量組定義為。從結構上對共同本征矢量組分別和、的本征矢量組相比較，從數學上來說，可以簡單地認為共同本征函數組與、的本征矢量組具有以下的乘積關系：

， （1）

式中為一個常系數，它只與函數的歸一化有關。并且認為和的本征矢量分別為、。

基于這種情況，由于和在結構上的獨立性，說明了在空間范圍內和是具備不同的自由度的，即式（1）中和在希爾伯特空間內屬于不同的自由度。如果這個時候，在和這個共同體系中再以的本征矢量空間為標準并考慮其完備性，就會發現由于自由度的缺失，的本征矢量不再完備了，的情況與其相同。在這里只有它們的共同本征函數組為完備組。可以說，由于自由度的不完整限制了單個算符本征矢的完備性。

綜上所述，在完全集合體系下，由于算符與算符之間的獨立性和對易性，導致了單獨某一個算符自由度的缺失，從而限制了它的完備性。

3 集合體系外部的限制

前面我們討論了在集合體系內部，由于單獨某一個算符受到了自由度的缺失從而導致了完備性的不連續。同時相對于集合體系以外，我們也可以看到它對自由度的限制。

算符屬于某一個完全集合體系，而算符并不屬于這個完全集合體系。可以知道，和并不對易，它們沒有了共同本征函數，并且在同一態中也不同時存在定值。令為的本征矢量，的本征矢量具有完備性表現在總可以通過的各種線性組合能得到一個態，在這個態下存在定值，這時這個線性組合的態被認定為的本征矢。這是在理想的情況下才得以成立的。因為上述情況的成立要求的定義域和值域在希爾伯特空間的自由度范圍大于或等于的定義域和值域的空間范圍，并且將其空間范圍完全涵蓋。

上述條件的達成是相當苛刻的，且限制性太大。這與我們討論完備性時，完備組應當一般地對任一指定的態進行表述的思想相悖。因此，完備性應該做一個界定。我們討論完備性時應當立足于整個完全集合，確定本征矢量的自由度為整個希爾伯特空間為前提，然后再在這個完全集合的基礎上以集合內所有算符的共同本征矢量討論其完備性。

4 結論

通過在完全集合內對算符的本征矢量完備性受到限制的探究，同時在完全集合外對本征矢量的自由度的界定，可以提出對完備性的新的定義：以完全集合為基礎，確定本征矢量的全空間性，本征矢量可以對任一態進行的表述時，我們說這組本征矢量具有完備性。相較于一個厄米算符本征矢量的完備或幾個厄米算符共同本征矢量所具有的完備，應該加入一個限定條件，是它們的完備并非真正的完備，而是在自身所在的子空間中完備，可以定為自身體系的完備性。

參考文獻

[1] 侯章林.厄米算符本征函數完備性的一般證明[J].大學物理，2012，31（9）：16-21.

[2] Dirac P A M. The Principles of Quantum Mechanics[M].Oxford： Oxford University Press， 1958.

[3] Basdevant J L.Lectures on Quantum Mechanics[M].Berlin： Springer - verlag，2006.

[4] Bohm D.Quantum Theory[M].London：Prentice-Hall，1951.

[5] 曾謹言.量子力學導論[M].2版.北京：北京大學出版社，1998.endprint

摘 要：從厄米算符矢開始，以完全集合定義出發， 以完全集合體系（簡稱集合體系）為標準.通過討論集合體系內厄米算符本征矢量完備性限制，從而得出了厄米算符自身體系完備性的一般證明. 進而得出完備性應該在是完全集合基礎上的完備，嚴格說起來，談論一個算符本征矢的完備性時，其立足點是非常特殊的，這時候應該默認這個算符本身就是一個完全集合，或者在說這個算符本征矢為完備組時其空間范圍限定為在這個算符定義域和值域所在的希爾伯特空間之內。

關鍵詞：厄米算符本征矢 完備性 限制 界定 完全集合 希爾伯特空間

中圖分類號：O41 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）12（a）-0084-02

在《厄米算符本征函數完備性的一般證明》中[1]，作者對一個厄米算符本征函數的完備性進行了論證[2-5]。該文筆者引入了一組完備的本征函數作為標度，對厄米算符的本征函數進行投影和反影射，從而利用了反證法證明了厄米算符的本征函數具有完備性。其中，在引入這組完備的本征函數時，作者言明對于這組本征函數的選取有特殊的要求，在結論處作者對要求進行了討論，認為在本征函數選取時應當默認與所需證明的厄米算符的空間范圍保持一致，并說明了一組基矢的完備與否只能在一定的空間范圍內討論才有意義。這說明一個厄米算符本征函數的完備性是有一定的限制的。但是對于一組厄米算符的本征函數，其限制的由來到底為何。作者并沒有對其進行相應的展開討論，這也是現在量子力學著作中所忽略的問題。這導致了很多量子力學學習者對厄米算符本征矢完備性的限制和界定的模糊，引發了很多的誤解。

該文從完全集合的定義出發，以完全集合體系（簡稱集合體系）為標準，在集合體系內討論了厄米算符本征矢量完備性的限制。最終對完備性的定義進行了界定，得出結論：完備性應該在是完全集合基礎上的完備，嚴格說起來，談論一個算符本征矢的完備性時，其立足點是非常特殊的，這時候應該默認這個算符本身就是一個完全集合，或者在說這個算符本征矢為完備組時其空間范圍限定為在這個算符定義域和值域所在的希爾伯特空間之內。

1 完備性的兩個限制

完全集合為對應著相應算符的一組物理量。這組物理量具有特殊的特征，它們能在某一態中同時得到測量，并同時具有定值，當它們同時具有定值的時候，再也沒有別的非這組物理量的函數的物理量能在該態中再具有定值。根據定義，可知這組物理量在這某一態中具有共同的本征函數，對完全集①合來說，通常認為彼此獨立而又兩兩相互對易的所有算符構成了完全集合。完全集合中算符的獨立性和對易性將會造成集合中單獨的某一個算符的自由度的缺失，將會極大地限制這個算符的完備性；同時完全集合之外的算符，相較于集合之內的算符來說，它們根據定義域和值域所形成的體系更靈活，以它們為標準，直接對集合中某一個算符本征矢所形成的體系進行完備性的探討是有限制的。下面將分為完全集合內和完全集合外兩個方面對算符本征矢的完備性的限制進行探討。

2 集合體系內部的限制

對于任一厄米算符，根據確定了其本征矢量。在理論上可以討論并證明其本征矢組具有完備組的條件。下面我們將引入另一個算符進行定性地說明。

與算符處于同一個完全集合的算符。在完全集合的限定下，算符和算符的關系為相互獨立且對易。相互獨立指和之間在結構上不能有交集；相互對易說明兩個算符具有共同本征矢量。將的本征矢量組定義為，同時和的共同本征矢量組定義為。從結構上對共同本征矢量組分別和、的本征矢量組相比較，從數學上來說，可以簡單地認為共同本征函數組與、的本征矢量組具有以下的乘積關系：

， （1）

式中為一個常系數，它只與函數的歸一化有關。并且認為和的本征矢量分別為、。

基于這種情況，由于和在結構上的獨立性，說明了在空間范圍內和是具備不同的自由度的，即式（1）中和在希爾伯特空間內屬于不同的自由度。如果這個時候，在和這個共同體系中再以的本征矢量空間為標準并考慮其完備性，就會發現由于自由度的缺失，的本征矢量不再完備了，的情況與其相同。在這里只有它們的共同本征函數組為完備組。可以說，由于自由度的不完整限制了單個算符本征矢的完備性。

綜上所述，在完全集合體系下，由于算符與算符之間的獨立性和對易性，導致了單獨某一個算符自由度的缺失，從而限制了它的完備性。

3 集合體系外部的限制

前面我們討論了在集合體系內部，由于單獨某一個算符受到了自由度的缺失從而導致了完備性的不連續。同時相對于集合體系以外，我們也可以看到它對自由度的限制。

算符屬于某一個完全集合體系，而算符并不屬于這個完全集合體系。可以知道，和并不對易，它們沒有了共同本征函數，并且在同一態中也不同時存在定值。令為的本征矢量，的本征矢量具有完備性表現在總可以通過的各種線性組合能得到一個態，在這個態下存在定值，這時這個線性組合的態被認定為的本征矢。這是在理想的情況下才得以成立的。因為上述情況的成立要求的定義域和值域在希爾伯特空間的自由度范圍大于或等于的定義域和值域的空間范圍，并且將其空間范圍完全涵蓋。

上述條件的達成是相當苛刻的，且限制性太大。這與我們討論完備性時，完備組應當一般地對任一指定的態進行表述的思想相悖。因此，完備性應該做一個界定。我們討論完備性時應當立足于整個完全集合，確定本征矢量的自由度為整個希爾伯特空間為前提，然后再在這個完全集合的基礎上以集合內所有算符的共同本征矢量討論其完備性。

4 結論

通過在完全集合內對算符的本征矢量完備性受到限制的探究，同時在完全集合外對本征矢量的自由度的界定，可以提出對完備性的新的定義：以完全集合為基礎，確定本征矢量的全空間性，本征矢量可以對任一態進行的表述時，我們說這組本征矢量具有完備性。相較于一個厄米算符本征矢量的完備或幾個厄米算符共同本征矢量所具有的完備，應該加入一個限定條件，是它們的完備并非真正的完備，而是在自身所在的子空間中完備，可以定為自身體系的完備性。

參考文獻

[1] 侯章林.厄米算符本征函數完備性的一般證明[J].大學物理，2012，31（9）：16-21.

[2] Dirac P A M. The Principles of Quantum Mechanics[M].Oxford： Oxford University Press， 1958.

[3] Basdevant J L.Lectures on Quantum Mechanics[M].Berlin： Springer - verlag，2006.

[4] Bohm D.Quantum Theory[M].London：Prentice-Hall，1951.

[5] 曾謹言.量子力學導論[M].2版.北京：北京大學出版社，1998.endprint