異面直線間距離的多種解法

華瑞芬

求異面直線之間的距離是立體幾何中比較常見的問題，既是立體幾何的重點，也是難點，更是高考的熱點.對于此類問題，許多同學常常會感到比較困難，往往無從入手.求解此類問題的方法其實是多種多樣的，主要有“定義法”和“轉化法”，特別是轉化的思想技巧性強，有利于培養同學們的創新能力.“轉化法”常將兩條異面直線之間的距離，轉化成直線與平面的距離或平面與平面的距離來求解，有時還會借助于棱錐體積來求.這種解法與直線與平面、多面體、平面幾何、代數等許多知識緊密聯系，因此有利于知識的鞏固與深化.下面舉例說明求解異面直線之間距離的多種解法，希望同學們能夠從中得到有益的啟示.

例1已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求直線DA1與AC之間的距離.圖1

一、定義法

利用異面直線距離的定義，做（找）出公垂線段并求其長度.

圖2解法1如圖1所示，易證BD1⊥AC，BD1⊥DA1.設DD1的中點為E，BD交AC于O，則OE∥BD1，連接AE交DA1于M，做MN∥OE交AC于N，則MN∥BD1，且MN為AC與DA1的公垂線

段.如圖2，在正方形ADD1A1中，易證M為AE的一個三等分點.同理可知N為AC的一個三等分點，從而MN=23OE=13BD1=33.

二、轉換法

利用異面直線的距離，等于其中一條直線（a）到經過另一條直線（b）且與這條直線（a）平行的平面的距離，進而轉化為點面的距離.

圖3解法2如圖3，易證AC∥面DA1C1，則AC到DA1的距離等于AC到面A1DC1的距離.設AC與BD交于O，則O點到面A1DC1的距離等于異面直線DA1與AC的距離.

∵AC⊥BD，AC⊥B1B，∴AC⊥面BB1D1D，∴A1C1⊥面BB1D1D，

∴面A1DC1⊥面BB1D1D且交線為O1D，作OE⊥O1D，則OE⊥面A1DC1，易求得OE=33，即異面直線DA1與AC之間的距離為33.

解法3 轉化為兩平行平面之間的距離.

易證面A1C1D∥面AB1C，則面A1C1D與面AB1C的距離等于異面直線DA1與AC的距離.易證BD1⊥面A1C1D，BD1⊥面AB1C，設垂足分別為O1和O2，易證O1、O2為BD1的三等分點，所以O1O2=33，為異面直線DA1與AC的距離.

三、等積法

利用三棱錐體積不變，求點到面的距離.

解法4由解法2知，AC與DA1的距離等于AC到平面A1DC1的距離.如圖4所示.

鞏固練習

1.一個四面體的頂點在空間直角坐標系O-xyz中的坐標分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫該四面體三視圖中的正視圖時，

以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為（ ）.

圖5

2.某幾何體的三視圖如圖5所示，則該幾何體的體積為 （ ）.

A16+8πB.8+8π

C.16+16πD.8+16π

參考答案：1.A2.A

（收稿日期：2014-04-28）

求異面直線之間的距離是立體幾何中比較常見的問題，既是立體幾何的重點，也是難點，更是高考的熱點.對于此類問題，許多同學常常會感到比較困難，往往無從入手.求解此類問題的方法其實是多種多樣的，主要有“定義法”和“轉化法”，特別是轉化的思想技巧性強，有利于培養同學們的創新能力.“轉化法”常將兩條異面直線之間的距離，轉化成直線與平面的距離或平面與平面的距離來求解，有時還會借助于棱錐體積來求.這種解法與直線與平面、多面體、平面幾何、代數等許多知識緊密聯系，因此有利于知識的鞏固與深化.下面舉例說明求解異面直線之間距離的多種解法，希望同學們能夠從中得到有益的啟示.

例1已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求直線DA1與AC之間的距離.圖1

一、定義法

利用異面直線距離的定義，做（找）出公垂線段并求其長度.

圖2解法1如圖1所示，易證BD1⊥AC，BD1⊥DA1.設DD1的中點為E，BD交AC于O，則OE∥BD1，連接AE交DA1于M，做MN∥OE交AC于N，則MN∥BD1，且MN為AC與DA1的公垂線

段.如圖2，在正方形ADD1A1中，易證M為AE的一個三等分點.同理可知N為AC的一個三等分點，從而MN=23OE=13BD1=33.

二、轉換法

利用異面直線的距離，等于其中一條直線（a）到經過另一條直線（b）且與這條直線（a）平行的平面的距離，進而轉化為點面的距離.

圖3解法2如圖3，易證AC∥面DA1C1，則AC到DA1的距離等于AC到面A1DC1的距離.設AC與BD交于O，則O點到面A1DC1的距離等于異面直線DA1與AC的距離.

∵AC⊥BD，AC⊥B1B，∴AC⊥面BB1D1D，∴A1C1⊥面BB1D1D，

∴面A1DC1⊥面BB1D1D且交線為O1D，作OE⊥O1D，則OE⊥面A1DC1，易求得OE=33，即異面直線DA1與AC之間的距離為33.

解法3 轉化為兩平行平面之間的距離.

易證面A1C1D∥面AB1C，則面A1C1D與面AB1C的距離等于異面直線DA1與AC的距離.易證BD1⊥面A1C1D，BD1⊥面AB1C，設垂足分別為O1和O2，易證O1、O2為BD1的三等分點，所以O1O2=33，為異面直線DA1與AC的距離.

三、等積法

利用三棱錐體積不變，求點到面的距離.

解法4由解法2知，AC與DA1的距離等于AC到平面A1DC1的距離.如圖4所示.

鞏固練習

1.一個四面體的頂點在空間直角坐標系O-xyz中的坐標分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫該四面體三視圖中的正視圖時，

以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為（ ）.

圖5

2.某幾何體的三視圖如圖5所示，則該幾何體的體積為 （ ）.

A16+8πB.8+8π

C.16+16πD.8+16π

參考答案：1.A2.A

（收稿日期：2014-04-28）

求異面直線之間的距離是立體幾何中比較常見的問題，既是立體幾何的重點，也是難點，更是高考的熱點.對于此類問題，許多同學常常會感到比較困難，往往無從入手.求解此類問題的方法其實是多種多樣的，主要有“定義法”和“轉化法”，特別是轉化的思想技巧性強，有利于培養同學們的創新能力.“轉化法”常將兩條異面直線之間的距離，轉化成直線與平面的距離或平面與平面的距離來求解，有時還會借助于棱錐體積來求.這種解法與直線與平面、多面體、平面幾何、代數等許多知識緊密聯系，因此有利于知識的鞏固與深化.下面舉例說明求解異面直線之間距離的多種解法，希望同學們能夠從中得到有益的啟示.

例1已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求直線DA1與AC之間的距離.圖1

一、定義法

利用異面直線距離的定義，做（找）出公垂線段并求其長度.

圖2解法1如圖1所示，易證BD1⊥AC，BD1⊥DA1.設DD1的中點為E，BD交AC于O，則OE∥BD1，連接AE交DA1于M，做MN∥OE交AC于N，則MN∥BD1，且MN為AC與DA1的公垂線

段.如圖2，在正方形ADD1A1中，易證M為AE的一個三等分點.同理可知N為AC的一個三等分點，從而MN=23OE=13BD1=33.

二、轉換法

利用異面直線的距離，等于其中一條直線（a）到經過另一條直線（b）且與這條直線（a）平行的平面的距離，進而轉化為點面的距離.

圖3解法2如圖3，易證AC∥面DA1C1，則AC到DA1的距離等于AC到面A1DC1的距離.設AC與BD交于O，則O點到面A1DC1的距離等于異面直線DA1與AC的距離.

∵AC⊥BD，AC⊥B1B，∴AC⊥面BB1D1D，∴A1C1⊥面BB1D1D，

∴面A1DC1⊥面BB1D1D且交線為O1D，作OE⊥O1D，則OE⊥面A1DC1，易求得OE=33，即異面直線DA1與AC之間的距離為33.

解法3 轉化為兩平行平面之間的距離.

易證面A1C1D∥面AB1C，則面A1C1D與面AB1C的距離等于異面直線DA1與AC的距離.易證BD1⊥面A1C1D，BD1⊥面AB1C，設垂足分別為O1和O2，易證O1、O2為BD1的三等分點，所以O1O2=33，為異面直線DA1與AC的距離.

三、等積法

利用三棱錐體積不變，求點到面的距離.

解法4由解法2知，AC與DA1的距離等于AC到平面A1DC1的距離.如圖4所示.

鞏固練習

1.一個四面體的頂點在空間直角坐標系O-xyz中的坐標分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫該四面體三視圖中的正視圖時，

以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為（ ）.

圖5

2.某幾何體的三視圖如圖5所示，則該幾何體的體積為 （ ）.

A16+8πB.8+8π

C.16+16πD.8+16π

參考答案：1.A2.A

（收稿日期：2014-04-28）