注意用平幾知識巧解圓錐曲線題

趙建勛

解圓錐曲線題一般都是用解析法求解，但這類題運算量很大.若恰當用平幾知識，可簡化運算，優化解題過程，巧妙解圓錐曲線題，那么平幾知識在解圓錐曲線題中有哪些應用呢？

一、求離心率的值

例1雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1、F2，以F1F2為邊作

圖1

等邊三角形，若雙曲線恰好平分三角形的另兩邊，求雙曲線的離心率的值.

解如圖1，因為△AF1F2為等邊三角形，又P是AF2的中點，連結F1P，則F1P⊥AF2.

在△F1PF2中，∠F1PF2=90°，設|F1F2|=2c，則有|PF2|=c，|PF1|=3c，由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=2a.

即3c-c=2a，（3-1）c=2a，ca=23-1.

故e=ca=23-1=3+1.

點評解本題的關鍵是用了等邊三角形的性質，優化了解題過程.

二、求標準方程

例2已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點P（3，4），若PF1⊥PF2，試求該橢圓的標準方程.

圖2

解如圖2，∵PF1⊥PF2，∴在Rt△F1PF2中，∠F1PF2=90°，O是斜邊F1F2的中點，連OP，則|PO|=12|F1F2|=12×2c=c，即c2=32+42=25，∴c=5.

又b2=a2-c2=a2-25，于是橢圓的方程可寫為x2a2+y2a2-25=1.

∵點P（3，4）在橢圓x2a2+y2a2-25=1上，∴9a2+16a2-25=1.化簡整理，得a4-50a2-5×45=0，解得a2=45或a2=5（因為a2>c2=25，故舍去），

∴b2=45-25=20.故所求橢圓方程為x245+y220=1.

點評解此題用了直角三角形斜邊上中線的性質及勾股定理，應認真體會.

2c=4，∴c=2，b2=c2-a2=3.

∴頂點A的軌跡方程是：x2-y23=1

（x>1）.

點睛本題易犯錯誤：忽視隱含，引起增解（漏寫x>1的限制條件）.

2.設雙曲線的中心在坐標原點，焦點在y軸上，離心率

為52，若P（0，5）到雙曲線上的點的最近距離為2，求雙曲線方程.

正解由e=52得e2=c2a2=1+b2a2=54，∴a2=4b2.

由此可設雙曲線方程為：y24b2-x2b2=1.再設點P到雙曲線上的點（x，y）的距離為d，則d2=x2+（y-5）2=14（y2-4b2）+（y-5）2=54（y-4）2+5-b2.

∵a=2b，y∈[a，+∞），∴y∈[2b，+∞）

若4≥2b，即0

若4<2b，即b>2時，則當y=2b時，d2min=4b2-20b+25=4，解得b=72或b=32（舍去），∴a2=49，∴雙曲線方程為y249-4x249=1.

綜上，所求雙曲線方程為y24-x2=1或y249-4x249=1.

點睛本題易犯錯誤：考慮不周，導致漏解.

（收稿日期：2014-02-12）

解圓錐曲線題一般都是用解析法求解，但這類題運算量很大.若恰當用平幾知識，可簡化運算，優化解題過程，巧妙解圓錐曲線題，那么平幾知識在解圓錐曲線題中有哪些應用呢？

一、求離心率的值

例1雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1、F2，以F1F2為邊作

圖1

等邊三角形，若雙曲線恰好平分三角形的另兩邊，求雙曲線的離心率的值.

解如圖1，因為△AF1F2為等邊三角形，又P是AF2的中點，連結F1P，則F1P⊥AF2.

在△F1PF2中，∠F1PF2=90°，設|F1F2|=2c，則有|PF2|=c，|PF1|=3c，由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=2a.

即3c-c=2a，（3-1）c=2a，ca=23-1.

故e=ca=23-1=3+1.

點評解本題的關鍵是用了等邊三角形的性質，優化了解題過程.

二、求標準方程

例2已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點P（3，4），若PF1⊥PF2，試求該橢圓的標準方程.

圖2

解如圖2，∵PF1⊥PF2，∴在Rt△F1PF2中，∠F1PF2=90°，O是斜邊F1F2的中點，連OP，則|PO|=12|F1F2|=12×2c=c，即c2=32+42=25，∴c=5.

又b2=a2-c2=a2-25，于是橢圓的方程可寫為x2a2+y2a2-25=1.

∵點P（3，4）在橢圓x2a2+y2a2-25=1上，∴9a2+16a2-25=1.化簡整理，得a4-50a2-5×45=0，解得a2=45或a2=5（因為a2>c2=25，故舍去），

∴b2=45-25=20.故所求橢圓方程為x245+y220=1.

點評解此題用了直角三角形斜邊上中線的性質及勾股定理，應認真體會.

2c=4，∴c=2，b2=c2-a2=3.

∴頂點A的軌跡方程是：x2-y23=1

（x>1）.

點睛本題易犯錯誤：忽視隱含，引起增解（漏寫x>1的限制條件）.

2.設雙曲線的中心在坐標原點，焦點在y軸上，離心率

為52，若P（0，5）到雙曲線上的點的最近距離為2，求雙曲線方程.

正解由e=52得e2=c2a2=1+b2a2=54，∴a2=4b2.

由此可設雙曲線方程為：y24b2-x2b2=1.再設點P到雙曲線上的點（x，y）的距離為d，則d2=x2+（y-5）2=14（y2-4b2）+（y-5）2=54（y-4）2+5-b2.

∵a=2b，y∈[a，+∞），∴y∈[2b，+∞）

若4≥2b，即0

若4<2b，即b>2時，則當y=2b時，d2min=4b2-20b+25=4，解得b=72或b=32（舍去），∴a2=49，∴雙曲線方程為y249-4x249=1.

綜上，所求雙曲線方程為y24-x2=1或y249-4x249=1.

點睛本題易犯錯誤：考慮不周，導致漏解.

（收稿日期：2014-02-12）

解圓錐曲線題一般都是用解析法求解，但這類題運算量很大.若恰當用平幾知識，可簡化運算，優化解題過程，巧妙解圓錐曲線題，那么平幾知識在解圓錐曲線題中有哪些應用呢？

一、求離心率的值

例1雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1、F2，以F1F2為邊作

圖1

等邊三角形，若雙曲線恰好平分三角形的另兩邊，求雙曲線的離心率的值.

解如圖1，因為△AF1F2為等邊三角形，又P是AF2的中點，連結F1P，則F1P⊥AF2.

在△F1PF2中，∠F1PF2=90°，設|F1F2|=2c，則有|PF2|=c，|PF1|=3c，由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=2a.

即3c-c=2a，（3-1）c=2a，ca=23-1.

故e=ca=23-1=3+1.

點評解本題的關鍵是用了等邊三角形的性質，優化了解題過程.

二、求標準方程

例2已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點P（3，4），若PF1⊥PF2，試求該橢圓的標準方程.

圖2

解如圖2，∵PF1⊥PF2，∴在Rt△F1PF2中，∠F1PF2=90°，O是斜邊F1F2的中點，連OP，則|PO|=12|F1F2|=12×2c=c，即c2=32+42=25，∴c=5.

又b2=a2-c2=a2-25，于是橢圓的方程可寫為x2a2+y2a2-25=1.

∵點P（3，4）在橢圓x2a2+y2a2-25=1上，∴9a2+16a2-25=1.化簡整理，得a4-50a2-5×45=0，解得a2=45或a2=5（因為a2>c2=25，故舍去），

∴b2=45-25=20.故所求橢圓方程為x245+y220=1.

點評解此題用了直角三角形斜邊上中線的性質及勾股定理，應認真體會.

2c=4，∴c=2，b2=c2-a2=3.

∴頂點A的軌跡方程是：x2-y23=1

（x>1）.

點睛本題易犯錯誤：忽視隱含，引起增解（漏寫x>1的限制條件）.

2.設雙曲線的中心在坐標原點，焦點在y軸上，離心率

為52，若P（0，5）到雙曲線上的點的最近距離為2，求雙曲線方程.

正解由e=52得e2=c2a2=1+b2a2=54，∴a2=4b2.

由此可設雙曲線方程為：y24b2-x2b2=1.再設點P到雙曲線上的點（x，y）的距離為d，則d2=x2+（y-5）2=14（y2-4b2）+（y-5）2=54（y-4）2+5-b2.

∵a=2b，y∈[a，+∞），∴y∈[2b，+∞）

若4≥2b，即0

若4<2b，即b>2時，則當y=2b時，d2min=4b2-20b+25=4，解得b=72或b=32（舍去），∴a2=49，∴雙曲線方程為y249-4x249=1.

綜上，所求雙曲線方程為y24-x2=1或y249-4x249=1.

點睛本題易犯錯誤：考慮不周，導致漏解.

（收稿日期：2014-02-12）