二維多相式相位信號參數估計降維算法及仿真

廖建慶， 鄭乃清， 黃李健

(寧德師范學院 物理與電氣工程系，福建 寧德352100)

二維多相式相位信號(PPS)是雷達通信信號處理領域的一個非常重要的非平穩信號模型，在復雜二維非齊次雙通道信號建模和合成孔徑雷達干涉測量方面已有廣泛的應用［1］。

二維多相式相位信號參數估計通過與估計函數相結合過程來完成對信號參數的估計，該處理過程可分為兩個階段，分別為粗估階段和細化階段。粗估階段表示將未處理信號通過簡單處理后獲得的最大粗估位置，即通過計算估計函數或迭代方法對粗估階段信號依次進行細化分解。應用估計函數方法是由Friedlander 和Francois 首次提出［2］，被稱為Francois-Friedlander(FF)算法。在FF 算法中，將初始信號轉換為二維復雜正弦函數，其頻率正比于相位參數值，由此為參數估計提供新的依據。該算法對文獻［3］中迭代算法起到重要作用。但是，FF算法在參數估計中，其均方差很難達到Cramér-Rao下界(CRLB)即該算法精度不是很理想，而且在高階PPS 條件下具有較高的信噪比和較大的估計誤差，并且信噪比和估計誤差會隨著PPS 階數的增加而變大。文獻［4］提出一種二維立方相位函數估計方法(CPF)，CPF 算法在信噪比方面遠優于FF 算法，文獻［5］已將該算法應用到五階PPS 參數估計。直接研究二維PPS 參數估計的計算量很大，但文獻［4-5］利用遺傳算法有效降低了參數估計運算時間，然而遺傳算法的引入又給高信噪比帶來不必要的系統誤差。

對此，文中提出一種有效計算估計量的二維PPS 參數估計優化算法，即先對粗估計量做濾波相位解(FPU)，后對估計量進行細化分解，本優化方法不需要對二維估計函數的粗估計量做最大似然估計，而是通過固定其中一個參量，將二維PPS 看作一組一維PPS，通過對一維PPS 的計算處理，最終完成對二維PPS 的參數估計。基于FPU 參數估計方法如文獻［6］，該算法在計算上采用了濾波、相位展開的運算形式，整個算法的計算量顯著減少。通過對二維多相式相位信號進行參數估計仿真實驗，結果顯示了本算法的有效性。

1 信號模型和一般估計方法

二維多相式信號模型如下:

其中

式(2)中，A 為信號的振幅，φ(n，m)為相位參數ai，k的P 階和Q 階的二維多相式函數;式(1)中，v(n，m)是均值為0 和方差為σ2v 的二維高斯白噪聲。文中目的是要估計二維多相式信號x(n，m)中的相位參數ai，k，0 ≤i ≤P，0 ≤k ≤Q。

目前對信號s(n，m)參數估計最常用的方法是文獻［2］提出的FF 算法，該算法是將信號s(n，m)轉化為一個頻率正比于該信號相位參數的二維復正弦信號，因此可以將參數估計歸結為一個二維正弦曲線頻率估計問題，即對二維信號頻譜取最大化，為得到正確二維頻譜，可在信號處理過程中增加采樣點(但會顯著增加計算量)或采用替代方法比如迭代算法［3］。但無倫采用什么方法，FF 算法一般很難達到Cramér-Rao 下界(CRLB)，即FF 函數估計達不到滿意的估計效果，因此文中提出一種新型的替代算法。

2 提出算法

2.1 算法描述

首先，設信號s(n，m)中的參數m 一定，則二維多相式相位信號便轉化為一維多相式:

其中

同理，設s(n，m)中的參數n 一定，這樣二維多相式相位信號轉化為一維多相式相位信號sn(m):

其中

假設參數ai，k的粗估計有效，那么信號估計可以利用FF 算法或一般的二維CPF 方法［5］得到，即如果ai，k的粗估計已知，那么多相式和的粗估計便可得到。

2)對解線性調頻信號(移動平均(MA)濾波器長度為LMA)進行濾波處理，目的是獲得較高的信噪比;

文中描述的算法可以用FPU［·］運算表示，即當輸入的參數是一維多相式相位信號s(n)及對應的初始PPS 參數的向量a 時，則其輸出為向量a 經過優化后的參數向量，例如

經過優化參數的向量可以分解為

其中，T 為轉置算符;⊙為Hadamard 乘積算子

其中:K 為s(n)的PPS 的階數;(L +1)為解線性調頻信號ˉs(n)的移動平均濾波器輸出長度;V 是ˉs(n)的解纏相，文獻［6］提出了FPU 實現方法。

2.2 算法實現

For

End for

For

將粗估計向量

用

學校擔負著培養學生游泳技能及自救能力的重任，而體育教師是促使游泳教學得以安全進行的執行者，也是校本課程資源的開發者。我們必須在提高他們的專業綜合素質同時，充分地挖掘他們的潛力確保校本課程的開展與普及。在調查研究中發現，高中、初中、小學中會游泳的體育教師隊伍比例有較大差距，城鎮體育教師隊伍也有較大差距。因此，我們要加大教師游泳技能與游泳救助技能的培養力度，教育以及相關體育行政部門要加大對體育教師游泳技術教學能力、救生技術培訓的力度，把游泳技術、救生技術作為體育老師教學的必備能力之一，使學生更好地掌握救生技術。

形式表示，而后對gm，c(n)進行優化，得到優化估計向量

End for

For

利用多相式回歸:

其中XM，Q在式(10)已定義

End for

For

其中XM，Q在式(10)已定義

End for

2.3 計算復雜度分析

要考慮一個算法的粗略計算復雜度，只要考慮該算法核心部分的運算次數。在FPU 算法中，主要考慮的是矩陣的運算，即矩陣乘法和矩陣轉置運算，而考慮到本算法中的矩陣維數比較小，所以矩陣轉置計算量在本算法中不需要考慮。

因此，實際FPU［sm(n);gn，c(m)］和FPU［sn(m);gm，c(n)］需要做○(MP2/LMA)和○(MQ2/LMA)次實數乘法運算，其中○表示最大值符號。由此可見，整個乘法運算次數為○(NM(P2+ Q2)/LMA)，比算法［3］在相同條件下的乘法次數○(NMPQ)少，即運算處理速度得到提高。

3 仿真分析

為了驗證本算法的有效性，做如下仿真實驗，實驗信號模型采用三階的二維PPS 三角形式［2］，設信號幅值為1，其階數為3，信號模型如下。

其中

信號中引入均值為0，方差為σ2v 的高斯白噪聲v(n，m)，信噪比定義為SNR = － 20lgσv。對文中算法(LMA= 11，L =8)和文獻［3］給出的優化搜索算法(做3 次迭代)性能進行比較，兩種算法都是經過FF算法粗略參數估計得到的粗估計值，對三階多相式相位信號進行200 次蒙特卡洛仿真實驗，仿真結果如圖1 ～4 所示。

仿真結果顯示估計值a3，0，a0，3，a2，1，a1，2的均方誤差(MSE)，其中FF 算法仿真曲線用帶菱角虛線表示，迭代算法［3］用點線表示，文中算法用實線表示。由仿真結果可見，幾種算法的MSE 結果都接近于相應的CRLB(虛線)，信噪比閾值都在－4 dB 附近。但是，在高信噪比時，文中算法基本達到了CRLB，而取決于估計參數的迭代算法［3］比CRLB高3 ～4 dB。由此可見，文中算法的參數估計精確度優于其它幾種算法。

圖1 估計值a3，0 時的均方誤差Fig.1 Mean squared error of the parameter a3，0

圖2 估計值a0，3 時的均方誤差Fig.2 Mean squared error of the parameter a0，3

圖3 估計值a2，1 時的均方誤差Fig.3 Mean squared error of the parameter a2，1

圖4 估計值a1，2 時的均方誤差Fig.4 Mean squared error of the parameter a1，2

另外，為了進一步提高在較低信噪比的情況下，參數估計的均方誤差接近Cramér-Rao 下界，文獻［7-8］采用了傅里葉系數插值的頻率估計算法，用以提高該方法的運算速度。雖然該算法在一定程度上改進了信號計算的精確度，但其運算復雜度隨著多相式估計信號的維數增加而變得更為復雜，由此降低算法的運算速度，進而影響算法的估計精度。文中提出的降維算法正好解決了這一難題，為多維多相式參考估計提供新的思路。

對信號的參數優化，一般來說是采用迭代加梯度模式，首先對信號進行粗估計，再對信號做最大似然化處理，這種方法在一維PPS 參數估計中得到應用［9］。

4 結 語

文中提出一種基于一維濾波相位解的二維PPS參數估計的優化算法，該算法在精確度和計算復雜度方面都要優于其它信號參數估計算法。仿真結果說明，在高信噪比時，其估計算法接近于CRLB，但是漸近效率分析還有待進一步研究。

［1］楊科，廖桂生，徐青.旋轉式合成孔徑雷達干涉成像方法［J］.西安電子科技大學學報:自然科學版，2014，41(4):1-5.

YANG Ke，LIAO Guisheng，XU Qing. Research on interfere ometric imaging for rotor synthetic aperture radar［J］. Journal of Xidian University:Natural Science，2014，41(4):1-5.(in Chinese)

［2］Simeunovic M，Djurovic I，Djukanovic S.A novel refinement technique for 2-D PPS parameter estimation［J］.Signal Processing，2014，94:251-254.

［3］Candès E J，Romberg J，Tao T. Robust uncertainty principles:exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information［J］.Information Theory IEEE Transactions on，2006，52(2):489-509.

［4］ZHENG J，SU T，LIU Q H，et al. Fast parameter estimation algorithm for cubic phase signal based on quantifying effects of Doppler frequency shift［J］.Progress in Electromagnetics Research，2013，142:57-74.

［5］Djurovic I，Simeunovic M，Djukanovic S，et al. A hybrid CPF-HAF estimation of polynomial-phase signals:Detailed statistical analysis［J］.Signal Processing，IEEE Transactions on，2012，60(10):5010-5023.

［6］O＇Shea P.On refining polynomial phase signal parameter estimates［J］.Aerospace and Electronic Systems，IEEE Transactions on，2010，46(3):978-987.

［7］杜小丹，周良臣，杜雨洺，等.多相式相位信號參數估計新方法［J］.計算機應用研究，2010(7):2502-2504.

DU Xiaodan，ZHOU Liangchen，DU Yuming，et al.New approach of polynomial phase signal parameter estimation［J］.Application Research of Computers，2010(7):2502-2504.(in Chinese)

［8］光琳，宗序平.Logistic 模型的統計診斷［J］.江南大學學報:自然科學版，2012，11(1):113-117.

GUANG Lin，ZONG Xuping. Statistical diagnosis of logistic model［J］. Journal of Southern Yangtze University:Natural Science Edition，2012，11(1):113-117.(in Chinese)

［9］宋玉娥，陶然，時鵬飛，等.基于LCT 域模糊函數的QFM 信號參數估計算法性能分析［J］. 北京理工大學學報，2014，34(9):940-943.

SONG Yue，TAO Ran，SHI Pengfei，et al.Performance analysis of parameter estimation algorithm for QFM signals using ambiguity function the linear canonical transform domain［J］. Transactions of Beijing Institute of Technology，2014，34(9):940-943. (in Chinese)