雙參數算子半群Yosida 的逼近性質

倉定幫， 陳 藏， 閆守峰

(1.華北科技學院 基礎部，北京101601;2.華北科技學院 教務處，北京101601)

20 世紀中期，為了解決偏微分方程的初值問題，以E.Hille 與K.Yosida 為代表的一些數學家提出了Banach 空間上強連續半群理論［1-2］。現今，強連續半群的理論已經成為許多領域(除了傳統的偏微分方程和隨機過程外，還包括量子力學、無窮維控制理論、積分-微分方程、泛函微分方程及無窮維動力系統等)的重要工具。近年來，雙參數算子半群由于與下面的雙參數抽象柯西問題(ACP)的密切關系重新得到了很多學者的重視與研究［3-6］。

其中，Hi:D(Hi)?X →X i = 1，2 為線性算子。

文中對雙參數算子半群展開進一步探討，給出了Banach 空間上雙參數算子半群生成元的Yosida逼近定義，得到了雙參數算子半群可微性與一致算子拓撲下的連續性的充要條件，對單參數算子半群的相關研究方法加以推廣。

1 定義與引理

定義1［4］設L 為Banach 空間，T(s，t)，s ≥0，t ≥0，為L 中的有界線性算子，?s1，s2，t1，t2≥0，T(s，t)稱為雙參數半群。如果滿足:

1)T(0，0)= I，I 為單位算子;

2)T(s1+ t1，s2+ t2)= T(s1，t1)T(s2，t2)，

若存在常數ω，M ＞0，使得‖T(s，t)‖≤Meω(s+t)成立，則稱雙參數半群是指數有界的。

引理1［4］雙參數算子半群T(s，t)的無窮小生成元是變換R+2→B(L)，由下面的表達式定義:

其中，A1，A2定義如下:

并且

同時還有

及

引理2［4］設T(s，t)為Banach 空間L 中的雙參數算子半群，無窮小生成元為(A1，A2)，若

且

則有

顯然，可以發現若T(s，t)是指數有界的，則有

定義2 設T(s，t)為Banach 空間L 中的雙參數算子半群，無窮小生成元為(A1，A2)，定義

稱Lλ為Yosida 逼近。

2 主要結論

定理1 設T(s，t)為Banach 空間L 中的雙參數算子半群，則

其Yosida 逼近滿足下列結論:

證 當λ →+ ∞時，

再根據Yosida 逼近的定義可知:

定理2 設T(s，t)為Banach 空間L 中的雙參數算子半常數群，無窮小生成元為(A1，A2)，A1，A2均為稠定閉算子，Lλ為Yosida 逼近，若T(s，t)是強連續的，則T(s，t)在點(s，t)s≥s0，t≥t0可微的充要條件是存在常數M ＞0，使得對

成立。

證 先證明必要性。假設T(s，t)在點(s，t)s≥s0，t≥t0是可微的，則

由定理1 可得

從而存在常數Mx＞0，使得

成立。再根據共鳴定理可知，

成立。

下證充分性。假設(A1，A2)為雙參數算子半群T(s，t)的生成元，并且存在常數M ＞0，使得對

成立。再據定理1 可知

又因為A1，A2是稠密算子，可以證明上面的極限對任意得到x ∈X 成立。又因為

根據雙參數半群的連續性及其指數有界性，可以看出

即T(s，t)在點(s，t)s≥s0，t≥t0是可微的。

推論1 設T(s，t)為Banach 空間L 中的雙參數算子半常數群，無窮小生成元為(A1，A2)，A1，A2均為稠定閉算子，Lλ為Yosida 逼近，若T(s，t)是強連續的，且對

成立，則T(s，t)在點(s，t)可微，并且

定理3 設T(s，t)為Banach 空間L 中的指數有界的雙參數算子半常數群，無窮小生成元為(A1，A2)，A1，A2均為稠定閉算子，Lλ為Yosida 逼近，則T(s，t)一致算子拓撲連續的充要條件為

證 先證明必要性。因為雙參數半群指數有界，即‖T(s，t)‖≤Meω(s+t)，所以由引理1 可得

從而當λ ＞max{ω(A1)，ω(A2)}時，對δ ＞0，有

因此

又由δ ＞0 的任意性和T(s，t)一致算子拓撲連續性可知

成立。

則對?ε ＞0，存在常數λ0＞0 使得下面不等式

成立。

令0 ＜Δt ＜ε，0 ＜Δs ＜ε，因為

其中

又有

所以T(s，t)是一致算子拓撲連續的。

［1］Hille E.Representation of one-parameter semigroups of linear transformations［J］.Nat Acad Sci，1942，28:175-178.

［2］Yosida K.On the differentiability and representation of one-parameter semigroups of linear operators［J］.J Math Soc Japan，1948，1:15-21.

［3］Arora S，Sharda S.On two parameter semigroup of operator［D］.New Delhi:University of Delhi，1990:147-153.

［4］Sharif S A，Khallr.On the generator of two parameter semigroups［J］.Applied Mathematics and Computation，2004，156(2):403-414.

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