嚴格列對角占優(yōu)矩陣‖A－1‖∞ 的上界估計

溫淑鴻

(福州大學至誠學院 計算機工程系，福建 福州350002)

近些年來，國內(nèi)外眾多學者對于可逆矩陣‖A－1‖∞的上界估計問題一直有研究，特別是對于特殊矩陣嚴格行對角占優(yōu)矩陣的可逆矩陣‖A－1‖∞的上界估計研究，始終是學者關注的熱點。1975 年，J.M.Varah 在文獻［1］中給出嚴格行對角占優(yōu)矩陣‖A－1‖∞的一個上界估計式;2002 年王川龍和張國建在文獻［2］中給出嚴格行對角占優(yōu)矩陣‖A－1‖∞和‖A－1‖1的上界估計式;2006 年程光輝和黃廷祝在文獻［3］中給出嚴格行對角占優(yōu)M-矩陣‖A－1‖∞的上界估計式，并表明該上界比文獻［1］中的好;2008 年Nenad Moraˇca 在文獻［4］中給出嚴格行對角占優(yōu)矩陣‖A－1‖1和嚴格列對角占優(yōu)矩陣‖A－1‖∞的上界估計式。

文中主要改進了2008 年Nenad Moraˇca 在文獻［4］中給出的命題2 及文中的相關結(jié)果。文獻［4］命題2:設矩陣A = (aij)為n 階M-矩陣，n ≥2，那么A－1= (bij)≥0 且

其中‖·‖表示任意矩陣范數(shù)。

1 預備知識

對文中所采用的符號及術語作一約定:字母n恒表示正整數(shù)，N = {1，2，…，n};Cm×n和Rm×n分別表示所有m × n 階的復矩陣和實矩陣的集合;e =(1，1，…，1)T表示適當階的所有分量全為1 的列向量，Zn= {A = (aij)∈Rn×n:aij≤0，i，j ∈N，i ≠j}。設矩陣A = (aij)∈Cm×n，A 的絕對值記為| A|，即| A| = (| aij|)∈Cm×n;A 的轉(zhuǎn)置矩陣記為AT，即是把矩陣A 的行列互換所得到的矩陣，若A = (aij)∈Cn×n，A 的比較矩陣記為μ(A)= (αij)，其中

A 的極大行和矩陣范數(shù)記為‖A‖∞，即

A 的極大列和矩陣范數(shù)記為‖A‖1，即

A 的所有特征值的集合稱為A 的譜，記為σ(A);A的譜半徑記為ρ(A)，即ρ(A)= max{| λ |:λ ∈σ(A)};對?i ∈N，A 的第i 行行和記為ri(A)，第i列列和記為ci(A)，即

定義1［5-6］設A = (aij)∈Cn×n，如果對所有i ∈N，有| aii|≥ri(A)，則稱A 為行對角占優(yōu)矩陣，若AT為行對角占優(yōu)矩陣，則稱A 為列對角占優(yōu)矩陣。定義2［5-6］設A = (aij)∈Cn×n，如果對所有i ∈N，有| aii| ＞ri(A)，則稱A 為嚴格行對角占優(yōu)矩陣，若AT為嚴格行對角占優(yōu)矩陣，則稱A 為嚴格列對角占優(yōu)矩陣。

定義3［7］如果A ∈Zn且A－1≥0，則稱A 為M-矩陣。

定義4［7］如果μ(A)為M-矩陣，則稱A 為H-矩陣。

2 主要結(jié)果

引理1［1］設矩陣A = (aij)∈Rn×n，A ≥0，則

引理2［3］設矩陣A 為H-矩陣，則| A－1|≤μ(A)－1。定理3 設矩陣A = (aij)為n 階M-矩陣，n ≥2，A－1=(bij)，則

1)H(A)≠?，其中H(A)= {(i，j)∈N × N:| aiiajj| ＞ri(A)rj(A)，i ≠j};

證 設A－1e = z = (z1，z2，…，zn)T，其中e = (1，…，1)T，zp= mi∈iNn{zi}，zq={zi}，由于A 為M-矩陣，故A－1≥0，那么z ＞0，根據(jù)Az = e 得

即有

由式(2)中第一個不等式知appzp≥1 + rp(A)zq，兩邊同時乘以aqq得

再由式(2)中第2 個不等式知aqqzq≥1 + rq(A)zp，代入式(3)有

即(appaqq－ rp(A)rq(A))zp≥aqq+ rp(A)＞0，又zp＞0，可知appaqq＞rp(A)rq(A)，即(p，q)∈H(A)，因此H(A)≠?，且有

再由引理1 有

?(i，j)∈H(A)，若有aii－ri(A)≥ajj－rj(A)，則有aii－ ri(A)＞0，事實上，假設aii－ ri(A)≤0，則ajj－ rj(A)≤aii－ ri(A)≤0，那么aiiajj≤ri(A)rj(A)，與(i，j)∈H(A)矛盾，且有

事實上

則

注1 可見定理3 中‖A－1‖ 的下界不小于式(1)中‖A－1‖的下界。

定理4 設a1，a2，…，an是一組復數(shù)，R1，R2，…，Rn是一組非負實數(shù)，記

若對?i，j ∈N，i ≠j，滿足| aiaj| ＞RiRj，則有

2)當J = {jn}且Rjn＞0 時，有

3)當J 中至少含兩個元素時，有

證 1)首先將實數(shù)| a1| － R1，| a2| － R2，…，| an| －Rn按從大到小的次序排列，即有1，2，…，n的一種排列j1，j2，…，jn，使得| ajn| － Rjn≥| ajn－1| －Rjn－1≥…≥| aj1| － Rj1，為敘述方便，記bk= ajk，Sk= Rjk(k = 1，2，…，n)，則有| bn| －Sn≥| bn－1| －Sn－1≥…≥| b1| － S1。

當n ＞k ＞i ≥1 時，注意到| bk| －Sk≥| bi| －Si和| bk| － Sk＞0，事實上，若| bk| － Sk≤0，則| bi| － Si≤| bk| － Sk≤0，那么| bi|| bk|≤SiSk，與條件矛盾，則有

事實上

故

因此

從而有

2)當J = {jn}，且Rjn＞0 時，即Sn＞0 時，?k ∈N，1 ≤k ≤n －1，有

從而

3)當J 中至少含兩個元素，則必有{jn，jn－1}?J，這時有| bn| － Sn=| bn－1| － Sn－1，由式(4)可得

據(jù)此得

當1 ≤j ≤n －1 時，由式(4)有

故

從而

注2 定理3 中‖A－1‖的下界可以根據(jù)定理4 來簡化。

推論5 設矩陣A = (aij)為n 階M －矩陣，n ≥2，那么

推論6 設矩陣A = (aij)為n 階M －矩陣，n ≥2，A－1= (bij)，那么

證 由文獻［5-6］知，ρ(A)= ρ(AT)，(A－1)T=(AT)－1，ri(AT)= ci(A)，矩陣A 是M － 矩陣當且僅當矩陣AT是M － 矩陣，再根據(jù)引理1，有

推論7 設矩陣A = (aij)為n 階M －矩陣，n ≥2，那么

定理8 設矩陣A = (aij)∈Cn×n為嚴格行對角占優(yōu)矩陣，n ≥2，那么

證 嚴格行對角占優(yōu)矩陣為H－矩陣，由引理2 知，| A－1|≤μ(A)－1，則‖A－1‖1≤‖μ(A)－1‖1，所以不妨設A 為嚴格行對角占優(yōu)M － 矩陣，這時A－1=(bij)≥0，由推論6 知，對所有的j ∈N，都有

設z = (z1，z2，…，zn)T，其中zi=| aii| －ri(A)，則有Ae = z，即

將式(7)展開所得n 個式子相加，可得

再結(jié)合式(6)，知

且對所有的k ∈N，有

整理得

則

整理得式(5)。

注3 由推論6 知，式(5)中‖A－1‖1的上界不大于［4;Theorem1］中‖A－1‖1的上界。

推論9 設矩陣A = (aij)∈Cn×n為嚴格列對角占優(yōu)矩陣，n ≥2，則

證 若A 為嚴格列對角占優(yōu)矩陣，則AT為嚴格行對角占優(yōu)矩陣，又‖A－1‖∞= ‖(A－1)T‖∞=‖(AT)－1‖1，對?i ∈N，有ri(AT)= ci(A)，ci(AT)=ri(A)，再由式(8)得

整理得式(9)。

注4 由推論5 可知，式(9)中‖A－1‖∞的上界不大于［4;Theorem2］中‖A－1‖∞的上界。

3 數(shù)值實例

本節(jié)用數(shù)值實例說明式(8)和式(9)的上界分別優(yōu)于［4;Theorem1］中‖A－1‖1的上界和［4;Theorem2］中‖A－1‖∞的上界。

例1 設矩陣

用Matlab7.0 直接計算得

利用文獻［4;Theorem1］計算得‖A－1‖1≤1.5，利用式(8)計算得‖A－1‖1≤0.782 6。可以看出，定理8 中的‖A－1‖1的上界小于文獻［4;Theorem1］中的上界。

例2 設矩陣

用Matlab7.0 直接計算得

利 用 文 獻［4;Theorem2］ 計 算 得 ‖A－1‖∞≤1.666 7，利用式(9)計算得‖A－1‖∞≤1.390 2。可以看出，推論9 中的‖A－1‖1的上界小于文獻［4;Theorem2］中的上界。

［1］Varah J M.A lower bound for the smallest singular value of a matrix［J］.Linear Algebra Appl，1975，11:3-5.

［2］WANG Chuanlong，ZHANG Guojian.Some simple estimates for the singular values of matrices［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，English Series，2002，18(1):117-122.

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［4］Moraca Nenad.Bounds for norms of the matrix inverse and the smallest singular value［J］.Linear Algebra and its Applications，2008，429(10):2598-2601.

［5］Horn Roger A，Johnson Charles R.Matrix Analysis［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1986.

［6］Horn Roger A，Johnson Charles R.Topics in Matrix Analysis［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1991.

［7］Berman A，Plemmons R J.Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences［M］.New York:Academic Press，1979.