傳統Bayes 判別與非參數核密度Bayes 判別的比較

艾天霞， 張 蕾

(1.榆林學院 數學與統計學院，陜西 榆林719000;2. 云南師范大學文理學院 工商管理學院，云南昆明650222)

判別分析的基本思想是根據對已有的分類數據進行研究，找出樣本數據的分類規律，然后建立判別函數，進而通過判別函數對新樣本的分類情況進行判別的一種分類學科。根據是否需要事先假設總體的分布情況，判別分析分為參數判別分析和非參數判別分析。參數判別分析就是傳統的判別分析，主要有距離判別、Bayes判別和Fisher 判別。非參數判別分析主要分為兩種:一種是非參數核密度估計判別分析;另一種是非參數最近鄰估計判別分析［1］。在參數判別分析方法中，Bayes 判別方法應用最為廣泛;在非參數判別分析方法中，非參數核密度Bayes 判別方法最為普遍。下面介紹這兩種判別分析的基本原理，并對這兩種判別分析方法進行比較。

1 傳統Bayes 判別分析

傳統Bayes 判別分析主要討論正態分布的情況。假設有k 個總體G1，G2，…，Gk，對應的概率密度函數分別為f1(x)，f2(x)，…，fk(x)，Xi服從均值為μi，協方差陣為∑i的正態分布，其中i = 1，2，…，k，Xi的密度函數為

相應的先驗概率分別為p1，p2，…，pk，則有pi≥0 且p1+p2+…+pk= 1。提前假定所有的錯判損失都相同，則多分類Bayes 判別的判別準則為［2］

2 非參數核密度Bayes 判別分析

在非參數核密度Bayes判別分析中，假設有k 個總體G1，G2，…，Gk，p 個指標，相應的核密度函數［3-4］分別為fn1(x)，fn2(x)，…，fnk(x)，先驗概率分別為p1，p2，…，pk，假定所有的錯判損失相等，采用SJ 帶寬，并取核函數為高斯核函數，則總體Gj(j =1，2，…，k)的核密度估計［5-6］可表示為

其 中，i = 1，2，…，nj;j = 1，2，…，k;n = n1+n2+ … +nj;相應的先驗概率的估計為

將先驗概率的估計值代入多分類貝葉斯判別規則中，得到后驗概率，然后進行比較。因此，非參數核密度貝葉斯判別規則為

3 傳統Bayes 判別分析與非參數核密度Bayes 判別分析比較

3.1 兩種判別分析方法的理論比較

傳統Bayes 判別方法是一種參數判別方法，主要討論總體服從正態分布的情形。采用傳統Bayes判別方法時，需要事先假定總體服從正態分布。但是，在實際情況中，總體通常不服從正態分布，或者總體的分布情況是未知的，此時已不再適用傳統Bayes 判別方法。非參數核密度Bayes 判別方法是一種非參數判別方法，運用非參數判別方法時，不需要事先假定總體的分布情況，而是直接通過數據本身來估計總體的概率密度，適用于任何分布形式的總體。從理論上來說，相比于傳統方法，非參數核密度Bayes 判別方法具有更廣泛的適用性。

3.2 兩種判別分析方法的統計模擬

通過統計模擬的方法對傳統Bayes 判別方法與非參數核密度Bayes 判別方法進行比較。若總體所考慮的指標有p 個，那么總體就是p 維數據，所采用的判別分析就是p 維判別分析。為了方便研究，文中僅僅模擬了p = 1 和p = 2 的情形，其他多維情形可以類似推導。

對于一維情形和二維情形，又分別模擬了正態數據和非正態數據，其中正態數據作為對照組，非正態數據作為比較組。總體中參數的取值情況不同，得到的數據也不一樣。針對上述情形，文中將分別模擬參數的不同取值情況，以便更好地說明結果。

3.2.1 一維正態 用R 語言隨機生成服從N(μ，σ2)的一維數據xi(i = 1，2，…，n)，其中針對參數μ和σ2的不同取值，模擬了以下6 種情況:(1)μ = 0，σ2= 1;(2)μ = 0，σ2= 0.5;(3)μ = 5，σ2= 1;(4)μ = 5，σ2= 0.5;(5)μ = 10，σ2= 1;(6)μ =10，σ2= 0.5。生成隨機數據后，定義每組數據的原始分類情況，采用的方法是:求出每組數據的中位數，記為Me(xi)，對于i = 1，2，…，n，定義

則Si就是每組數據的原始分類情況。如果存在若干數據等于Me(xi)的情況，就需要剔除掉這幾個數據，然后再重新生成幾個隨機數據，直至每組數據中沒有等于中位數的情況為止，最后將保證類別1和類別2 的數據各占數據總量的一半。

3.2.2 一維非正態 不妨采用服從Gamma 分布的數據進行模擬。用R 語言隨機生成服從Gamma(α，β)分布的數據xi(i = 1，2，…，n)，其中針對參數α 和β 的不同取值，模擬了以下6 種情況:(1)α = 2，β = 0.1;(2)α = 2，β = 0.5;(3)α = 2，β = 1;(4)α = 2，β = 2.5;(5)α = 2，β = 5;(6)α =2，β = 10.5。生成隨機數據后，定義每組數據的原始分類情況，方法同上。

3.2.3 二維正態 用R 語言隨機生成服從N2(μ，Σ)的二維正態數據，其中第一維數據xi1服從N(μ1，)，第二維數據xi2服從N(μ2，)，針對參數μ1，，μ2，的不同取值，模擬了以下6 種情況:。生成隨機數據后，定義每組數據的原始分類情況，采用的方法是:令

求出yi的中位數，記為Me(yi)，最后，對于i = 1，2，…，n，定義

則Si就是每組數據的原始分類情況。如果存在若干數據等于Me(yi)的情況，就需要剔除再選，直至每組數據中沒有等于中位數的情況為止，最后將保證類別1 和類別2 的數據各占數據總量的一半。

3.2.4 二維非正態 不妨采用混合分布組成的非正態二維數據，具體方法如下:先構造第一維數據xi1，用R 生成兩組具有不同μ 和σ2的一維正態數據，第一組數據ri1服從N(μ1，)，第二組數據ri2服從N(μ2，)，其中μ1≠μ2且，再生成一組服從U(0，1)的均勻分布數據zi，對于i = 1，2，…，n

則xi1為第一維數據，同理構造第二維數據xi2。針對參數μ1，，μ2，，μ3，，μ4，σ24 的不同取值，模擬以下6 種情況:

生成二維隨機數據后，定義每組數據的原始分類情況，方法同上。

3.2.5 模擬結果 利用隨機生成的數據，采用兩種判別方法進行判別分析。在統計模擬時，分別取樣本容量n = 50，n = 200，n = 500 3 種情況，進行重復數N = 1 000 次的模擬試驗，最后取1 000 次模擬結果的平均值作為最終結果。運行R 軟件，得出每組數據的最終模擬結果，將兩種判別方法的最終模擬結果進行比較。結果顯示，在上述統計模擬的各種情形中，非參數核密度Bayes 判別方法的正判率都明顯高于傳統Bayes 判別方法的正判率。

3.3 兩種判別分析方法的實證比較

3.3.1 對一組正態體檢數據的判別分析 為研究冠心病，某位醫生測定了15 例50 ～59 歲的冠心病人和15 例50 ～59 歲的正常人的舒張壓和膽固醇指標(數據來源于《SPSS 寶典》16.3 實例數據［7］)。對這30例數據分別用兩種判別方法進行判別分析，將分類結果與原始分類情況進行比較，結果如表1 所示。

表1 體檢數據的兩種判別結果比較Tab.1 Comparison of two discriminant results for physical examination data

表1 結果表明，在冠心病組的判別中，非參數核密度Bayes 判別方法的正判率是66.7%，高于傳統Bayes 判別方法的正判率;在正常人組的判別中，兩種方法的正判率都是100%。綜合來看，非參數核密度Bayes 判別方法的正判率高于傳統Bayes 判別方法。

3.3.2 對一組非正態企業財務數據的判別分析為研究企業財務預警［8-9］問題，隨機選取了20 家被特別處理的上市公司(ST 公司)和180 家正常的上市公司(非ST 公司)作為研究對象(數據來源于Wind 資訊)。測定這200 家上市公司的8 個財務指標。對這8 個財務指標數據進行正態性檢驗，各指標數據都不服從正態分布。針對這200 例數據，分別采用兩種判別方法進行判別分析，將分類結果與原始分類情況進行比較，計算出兩種方法的正判率，結果如表2 所示。

表2 企業財務數據的兩種判別結果比較Tab.2 Comparison of two discriminant results for enterprise’s financial data

表2 結果表明，在ST 公司的判別中，非參數核密度Bayes 判別方法的正判率是100%，明顯高于傳統Bayes 判別方法的正判率;在非ST 公司的判別中，非參數核密度Bayes 判別方法的正判率略高于傳統Bayes 判別方法的正判率。綜合來看，非參數核密度Bayes 判別方法的正判率明顯高于傳統Bayes判別方法的正判率。

4 結 語

綜上所述，非參數核密度Bayes 判別方法要明顯優于傳統Bayes 判別方法。從理論上看，當總體的分布情況已知，且服從正態分布時，傳統Bayes 判別方法無疑是適用的;但當總體的分布情況未知時，此時應該采用非參數核密度Bayes 判別方法。非參數核密度Bayes 判別方法不需要事先假定總體的分布情況，所以適用范圍更廣。通過統計模擬和實證分析兩方面驗證，結果表明，當總體服從正態分布時，非參數核密度Bayes 判別方法的正判率不低于傳統Bayes 判別方法的正判率;當總體不服從正態分布時，非參數核密度Bayes 判別方法的正判率遠遠高于傳統Bayes 判別方法的正判率。可見，對于任何分布形式的總體來說，非參數核密度Bayes 判別方法都是有效的。

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