基于最小二乘支持向量機摩擦建模的機電伺服系統動態面控制

陳 強， 樓成林

(浙江工業大學 信息工程學院，浙江 杭州310023)

隨著電力電子技術、計算機控制技術、信息技術的飛速發展，伺服系統已經以其優異性能得到廣泛應用。但是，由于摩擦環節的存在，伺服系統的性能仍然受到了較大的限制。為了克服摩擦力帶來的影響，有必要對摩擦的補償問題進行研究。

在實際工程中，為了克服摩擦力帶來的影響，許多摩擦補償的方法被提出。向紅標等［1］提出了基于LuGre 模型的自適應摩擦補償。LuGre 模型能夠較為準確地反映機械中的摩擦現象，這使得它得到了廣泛的應用。然而，由于LuGre 模型需要復雜的參數辨識過程，這使得其在實際的補償中有很多困難。徐小平等［2］提出了基于神經網絡的摩擦力混合模型。該方法引入柔性Sigmoid 函數與RBF 神經網絡串聯，構造出神經網絡混合模型用于實現非線性摩擦特性的智能建模。WANG G L 等［3］提出了具有自適應能力的支持向量網絡，并且在線實現了摩擦殘余不確定性的補償，得到了較為理想的仿真效果。林旭梅［4］進一步提出了最小二乘支持向量機的方法，利用最小二乘支持向量機的逼近功能建立摩擦力的模型。

在摩擦補償的基礎上，許多控制方法被提出來。如PID 控制，滑?？刂疲床娇刂频?。羅進生等［5］利用支持向量機對PID 的參數進行自整定，實現了對非線性系統的有效控制;劉強等［6］設計了自適應滑?？刂破髂苓m應參數的大范圍變化，抑制非線性干擾;周金柱等［7］結合支持向量機摩擦建模，使用反步控制法，針對不確定非線性系統，通過逐步修正算法設計控制器，實現系統的全局跟蹤;HUANG Sunan 等［8］利用動態面的控制方法，用一個一階濾波器解決了反步控制法中求導困難的問題。

文中提出一種基于最小二乘支持向量機摩擦建模的機電伺服系統動態面控制方法。該方法通過利用最小二乘支持向量機的逼近功能，對摩擦力進行建模，進而根據建立的模型結合動態面的控制方法設計了控制器，提高了摩擦補償的效果，仿真研究結果表明了該方法的有效性。

1 系統模型

機電伺服系統通常是電機通過傳動比為i 的減速器驅動負載轉動，系統的方程為

其中，θm，ωm分別為電機輸出軸位置和轉速;J 和D為折算到電機軸上的等效轉動慣量和等效阻尼系數;Kt為電機扭矩常數;u 為控制量;T 為負載摩擦扭矩。摩擦力矩T 可以表示為

其中，Td= β| ωl| + ζ1為摩擦的動態擾動部分;TN為負載速度ωl的靜態摩擦力矩函數，文中通過最小二乘支持向量機建立。因此，摩擦模型最終為

其中，ΔT 為摩擦力矩的不確定性，它主要由動態摩擦的擾動誤差ζ1和靜態摩擦的建模誤差組成。整理式(1)和式(3)，得到系統的狀態空間模型為

2 最小二乘支持向量機摩擦建模

根據伺服系統的實際工作條件，可以確定電機正轉和反轉的轉動速度范圍是［0，ωmax］和［ωmin，0］;在標稱條件下，可以在該速度范圍內確定每個速度樣本及其對應的摩擦力矩樣本數據為

利用標稱條件下的樣本數據集和最小二乘支持向量機建立以下模型

其中，W 為權重矩陣;φ(ωm)為轉動速度ωm的核函數。根據式(6)，設計拉格朗日函數為

對應每一個轉動速度ω 都有

利用最小二乘法可以構造如下等式

對式(9)各變量求偏導可得

整理式(10)后可得

求解式(11)可得

其中 A = Ω + I/γ。

3 動態面控制器設計

將式(1)改寫為

式中:x1= θm為電機輸出軸位置;x2= ωm為電機輸出軸轉速。

定義跟蹤誤差為

其中，x1d為跟蹤參考信號。對式(14)求導，可得

設計Lyapunov 函數為

對式(16)求導得

其中，k1＞0。

其中，τ ＞0 為時間常數。定義

設計Lyapunov 函數為

對式(21)求導，并將式(13)、式(19)代入其中得

定義

對式(23)求導得

式(24)可改寫為

其中，| f(¨x1d，k1S1)|≤M，M ＞0 是一個常數。

設計Lyapunov 函數為

對式(26)求導，并將式(22)、式(24)代入計算得

設計控制器u 為

式中:k2＞0 為正常數;參數TN可以根據最小二乘支持向量機建模得到TN= fsvrm(ωm);β 和ΔT 為已知參數。

定理1 給定伺服系統式(3)和跟蹤誤差式(14)，選擇控制器式(28)，則系統跟蹤誤差一致最終有界。

證 針對系統式(3)設計Lyapunov 函數為

對式(29)求導，并將控制器代入其中可得

式中，η ＞0 為常數。

其中，a ＞0 為一個常數。

將式(31)代入式(30)可以得到

4 仿真結果及分析

為驗證所提方法的優越性，文中分別對摩擦力補償前和補償后的控制效果進行仿真比較。在仿真中初始條件和部分參數設置保持一致。

仿真中，模型(1)的參數為J = 0.5 kg·m2，D =0.3 N·m·(rad/s)，Kt= 1，i = 10;控制器參數選擇k1= 5，k2= 5。使用LuGre 摩擦模型仿真獲得數據樣本，仿真參數為FC= 26 N·m，FS= 36 N·m，ωs=0.517 rad/s，σ0=105N·m，σ =0.5 N·m，σ2= 2 N·m。原數據經過處理得到數據樣本集合G。根據樣本合集G，使用最小二乘支持向量機建模。

在輸入信號為y = sin(t)的作用下，補償前后的控制效果對比如圖1 ～圖3 所示。其中:θref為期望信號;θ1和θ2分別為補償前和補償后的跟蹤信號;e1和e2分別為補償前和補償后的跟蹤誤差。圖1給出了系統跟蹤效果對比曲線。圖2 給出了系統跟蹤誤差曲線，圖3 給出了最小二乘支持向量機摩擦建模曲線。

圖1 跟蹤效果對比Fig.1 Comparison of the tracking effect

圖2 跟蹤誤差對比Fig.2 Comparison of the tracking errors

由圖1 和圖2 可以看出，補償后的位置狀態對期望信號的跟蹤效果更好，其跟蹤誤差在± 0.03 rad 范圍內變化，小于補償前的。

圖3 最小二乘支持向量機摩擦建模Fig.3 Least squares support vector machine friction modeling

由圖3 可以看出，最小二乘支持向量機能比較準確地逼近摩擦力F，其估計誤差小于0.04 N。

為更好的體現摩擦力補償之后的效果，在控制器參數都不變的情況下，改變輸入信號，比較兩種情況下的跟蹤效果。圖4 ～圖6 分別給出了期望信號為y = sin(t)+ cos(t)的系統跟蹤效果對比曲線、系統跟蹤誤差曲線、最小二乘支持向量機摩擦建模曲線。

圖4 跟蹤效果對比Fig.4 Comparision of the tracking effect

圖5 跟蹤誤差對比Fig.5 Comparison of the tracking errors

由圖4 和圖5 可以明顯看出，在參數不變，期望信號改變的情況下，補償前的跟蹤誤差在± 0.25 rad 范圍內變化，而在補償后，誤差在6 s 后穩定在±0.1 rad 范圍內。因此，補償后的跟蹤效果更好，跟蹤誤差更小。

圖6 最小二乘支持向量機摩擦建模Fig.6 Least squares support vector machine friction modeling

由圖6 可以看出，最小二乘支持向量機能比較準確地逼近摩擦力F，其估計誤差小于0.04 N。

5 結 語

文中提出了一種基于最小二乘支持向量機摩擦建模補償的動態面控制方法，用于解決機電伺服系統摩擦不確定的控制問題，避免了傳統方法中的參數辨識，故能使用較少的數據建立模型。根據最小二乘支持向量機設計的動態面控制器可有效地減弱摩擦對與控制性能的影響，提高系統的跟蹤精度。

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