渦量流函數法模擬方腔內粘性不可壓流動

李江飛，李巖芳，謝冬梅，段興華，張 康，胡 凱，逯國強，李宏磊

（承德石油高等專科學校熱能工程系，河北承德067000）

渦量流函數法模擬方腔內粘性不可壓流動

李江飛，李巖芳，謝冬梅，段興華，張 康，胡 凱，逯國強，李宏磊

（承德石油高等專科學校熱能工程系，河北承德067000）

通過對渦量控制方程進行無量綱化推導和離散，用聯合迭代方法求解二維方腔流動這一不可壓縮黏性典型流動的解析解.基于Matlab編程，采用渦量流函數法求解二維方腔流動，計算采用有限體積算法，對流項采用QUICK格式，擴散項采用二階中心差分格式，并采用延遲修正技術的離散格式對該問題進行數值求解，得到流動達到穩定狀態時各物理量的分布.

數值模擬；方腔流動；渦量流函數；有限容積法

Peng等[1]針對二維不可壓縮黏性流體方腔流動邊界條件：流動速度u、v采用無滑移邊界條件，利用動量方程推導了壓力p的邊界條件，本文課題組曾采用交錯網格MAC算法求解二維方腔流動[2]，本文在此基礎上，擬用渦量流函數法模擬方腔內的粘性不可壓流動，以得到流動達到穩定狀態時各物理量的分布.

1 問題分析

1.1 渦量控制方程無量綱化

守恒型渦量控制方程為：

流函數控制方程為：

用方腔高度H、流體密度ρ,和拖動速度utop作為無量綱標尺，將控制方程無量綱化.無量綱化后的控制方程：

上式中：

其中：H是方腔長度和高度；utop為頂蓋拖動速度；u指變量?在水平x方向的流速；v為變量?在垂直y方向的流速；μ為黏度；ρ為流體密度；ω是渦量；ψ為流函數.

1.2 邊界條件

邊界條件為：流動速度采用無滑移邊界條件，壁面處法向速度恒為0，切向速度也為0.頂蓋u=1, v=0;其余u=v=0.

流函數的邊界條件為：

渦量的邊界條件為：

2 方程離散與算法分析

2.1 離散控制方程

渦量控制方程為[3-4]：

對流項采用QUICK格式[5]：

對流項渦量內邊界點采用一階迎風格式：

擴散項二階中心差分格式為[6]：

離散代數方程及系數表達式為：

流函數的離散采用中心差分格式：

2.2 求解步驟及程序框圖

離散方程可采用聯合迭代方法求解[7-8]：

（1）根據ψ0i,j計算u、v,確定離散方程的系數；

（2）求解渦量代數方程，得ω0i,j；

（3）由ω0i,j求解流函數方程，得ψ1i,j；

（4）根據ψ1i,j和邊界條件確定渦量邊界值ω1B；

（5）根據ψ1i,j和ω0i,j,迭代計算直至收斂；

（6）利用壓力的Poisson方程計算壓力.

具體流程如圖1所示.

渦量方程式與流函數方程是互相耦合的，渦量以源項形式出現在流函數方程中，而渦量方程中對流項的系數則由流函數所決定.假設流函數的一個分布，利用該分布計算u和v，從而確定離散方程的系數；接下來計算渦量和流函數.在獲得了流函數的收斂解后，可用各節點上的流函數離散處理壓力Poisson方程，從而計算壓力[3].在獲得了流函數的收斂解后，壓力方程的源項即可用各節點上的ψ值進行離散處理.

3 結果分析

通過比較不同雷諾數（100和1000）分別在網格數為20、40、80、100時的流線圖，可以看出網格數對結果的影響并不是很大，在精度要求不高時可以采用網格數較少的計算，節省時間.穩定狀態時，Re=1000，網格數=20×20、40×40、80×80、100×100的渦量圖和流函數圖，計算結果如圖2所示.

圖1 計算程序框圖

穩定狀態時，Re=10、100、1000的流線圖，計算結果如圖3所示.

穩定狀態時，Re=1000，網格數=20×20，100× 100的壓力、u、v及其中心線速度分布圖，計算結果如圖4所示.

對圖2、圖3、圖4的計算結果進行分析，可知：

（1）二維不可壓縮黏性流體方腔流動的中心大渦并不在中心位置，方腔內流動也并不對稱，表明是帶奇性的方腔流動.

（2）本文處理壓力邊界條件時，分別采用動量方程和NeumannBoundary兩種方法，計算結果比較理想.

（3）隨著雷諾數的增大，在方腔的兩個底角開始出現二次渦流，說明有限體積算法QUICK格式計算精度較高.

（4）通過分析，對流擴散方程中當對流項占主要作用的時候，很容易得到與網格數無關的解.

（5）本文計算分別采用延遲修正處理和不采用延遲修正處理兩種方法.延遲修正處理能保證方程對角占優，減少求解時間.

圖2 不同網格數下的渦量圖和流函數圖（Re=1000）

圖3 不同雷諾數下的流線圖（自左至右：Re=10，100，1000）

圖4 壓力、u、v及其中心線速度分布圖（Re=1000,網格數=20×20,100×100）

[1]PENGYF,SHIAUYH,HWANGRR.Transitionina2-Dliddrivencavityflow[J].Computer&Fluids,2003,32(3):337-352.

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[3]陶文銓.數值傳熱學[M].第二版.西安:西安交通大學出版社，2001：301-305.

[4]LIUCH,LEUNGDYC.Developmentofafiniteelementsolution fortheunsteadyNavier-Stokesequationsusingprojectionmethod andfractionalθ-scheme[J].Computermethodsinappliedmechan?icsandengineering.2001,190(32-33):4301-4317.

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[8]WANGJ,LIJF,CHENGWX,etal.ComparisonofFiniteDifference andFiniteVolumeMethodforNumericalSimulationoftheIncom?pressibleViscousDrivenCavityFlow[J].AdvancedMaterialsRe?search,2013.doi:10.4028/www.scientific.net/AMR.732-733.413.

【編校：許潔】

NumericalSimulationofTwo-DimensionalDrivenSquareCavityFlowBasedonStreamFunction-Vor?ticityMethod

LIJiangfei,LIYanfang,XIEDongmei,DUANXinghua,ZHANGKang,HUKai,LUGuoqiang,LIHonglei
(DepartmentofThermalEngineering,ChengdePetroleumCollege,Chengde,Hebei067000,China)

Combinediterationmethodwasusedtogaintheanalyticalsolutionoftwo-dimensionalsquareacvityflowby nondimensionalizedderivationanddiscreteofvorticityequation.BasedonMatlabprogramming,vortexstreamfunction methodsolvedtwo-dimensionalsquarecavityflow.Finitevolumemethodsolvedtheconservationequations.QUICK schemeandtwo-order-central-differenceschemewereappliedintoconvectionanddiffusiontermsseparately.Thedelay correctiontechniqueofdiscreteformatwasappliedintofinitevolumemethodforcalculation.Thedistributionofeach physicalquantitywasobtainedwhentheflowisinasteadystate.

numericalsimulation;cavityflow;vortexstreamfunction;finitevolumemethod

TB126

A

1671-5365(2015)12-0006-04

李江飛，李巖芳，謝冬梅，等.渦量流函數法模擬方腔內粘性不可壓流動[J].宜賓學院學報,2015,15(12):6-9. LIJF,LIYF,XIEDM,etal.NumericalSimulationofTwo-DimensionalDrivenSquareCavityFlowBasedonStreamFunction-VorticityMethod[J].JournalofYibinUniversity,2015,15(12):6-9.

2015-07-06修回：2015-07-31

河北省科技支撐項目“采用電氣液壓調節的蒸汽透平機運行特性和節能分析”（13211609）

李江飛（1988-），男，講師，碩士，研究方向為油氣儲運

時間：2015-07-3120:38

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.z.20150731.2038.001.html