完備度量空間中Banach原理的進一步推廣

董 建，唐金芳

（宜賓學院數學學院，四川宜賓644007）

完備度量空間中Banach原理的進一步推廣

董 建，唐金芳

（宜賓學院數學學院，四川宜賓644007）

在完備度量空間中，將Banach壓縮原理進行了進一步推廣，所得結果削弱了Jleli等人設定的條件，增強了其所得的結論，同時簡化了其證明過程.

完備度量空間；Banach壓縮原理；強收斂定理；不動點

Banach壓縮原理是不動點理論中一個最基本的結論，是1922年由波蘭數學家Banach[1]證明的壓縮映像的非常重要的結論.Banach壓縮原理為：

設(X,d)是完備的度量空間，T∶X→X是壓縮映像，即對任意的x,y∈X，d(Tx,Ty)≤λd(x,y)，其中λ∈(0,1)是常數，那么T有唯一不動點.

一些學者將Banach壓縮原理中的壓縮映像進行了多種方式的推廣，從而得到了很有意義的結論[2-6].本文將進一步對壓縮映像進行推廣，得到更廣泛的結果.

1 預備知識

設函數θ∶(0,+∞)→(1,+∞)滿足下列條件：

(Θ1)θ單調不減的并且連續；

(Θ2)對任意的序列當且僅當

(Θ3) 存 在 r∈(0,1)和 l∈(0 ,∞ ]使 得:

2014年，Jleli等[4]在完備的度量空間中證明了如下的不動點定理.

定理1.1設(X,d)是完備的度量空間，T∶X→X為給定的映像.如果存在常數k∈(0,1)和滿足條件(Θ1)-(Θ3)的函數θ使得

那么T有唯一不動點.

Jleli等[5]還證明了如下的不動點定理.

定理1.2設(X,d)是完備的度量空間，T∶X→X為給定的映像.如果存在常數k∈(0,1)和滿足條件(Θ1-Θ3)的函數θ使得

其中

那么T有唯一不動點.

受到上述文獻的啟發，本文在完備度量空間中對定理1.2的結論進行推廣和改進，具體是將函數θ滿足的三個條件減少到兩個條件，將M(x,y)推廣到5項的情況，同時簡化了原定理的證明過程.

2 主要結果

定理設(X,d)是完備的度量空間，T∶X→X為給定的映像.如果存在常數k∈(0,1)和滿足條件(Θ1-Θ2)的函數θ使得

其中

那么T有唯一不動點x*∈X,且對任意的x∈X,序列收斂于x*.

如果存在某個n(n∈N),使得d(xn,Txn)=0,那么結論顯然成立.因此，假設對任意的n，有

由(2.1)和(2.4)，對任意的n，有

其中

如果N(xn-1,xn)≤d(xn,Txn)，那么，不等式(2.5)變成:

注意到k∈(0,1),所以(2.7)式是一個矛盾不等式.因此由(2.6)式有

此時不等式(2.5)變成：

從而對n，有

在(2.8)中讓n→∞得

由條件(Θ2)得

（vii）大型群一致性分為三層，包括個體-子組的一致性IC，子組-群的一致性SC及個體-群的一致性GC（總體層一致性），分別定義如下：

第二步：證明序列{xn}是Cauchy序列.

假設序列{xn}不是Cauchy序列，那么存在ε＞0和自然數序列{p (n)}和{q (n)}使得

于是得到

由(2.9)得

另一方面，由(2.9)知存在自然數N，使得

下面證明：

假設該不等式不成立，那么存在m＞N使得

由(2.10)、(2.12)和(2.14)得

其中

在(2.15)中讓 n→∞ 得 θ(ε)≤[θ(ε)]k.注意到k∈(0,1),所以這是一個矛盾的結果.因此，序列是Cauchy序列.由(X,d)的完備性可假設序列收斂于x*∈X，即

第三步：證明x*是映像T的唯一不動點.

假設x*不是T的不動點，那么

從而存在自然數N1，當n＞N1時，d(Txn,Tx*)＞0.由(2.1)得

其中

由于k∈(0,1),所以這是矛盾的不等式.因此得到 N(xn,x*)≤d(x*,Tx*).在不等式(2.17)中，讓n→∞得:

由于k∈(0,1)，所以這也是矛盾的不等式.故x*是映像T的不動點.

下證x*是映像T的唯一不動點.

假設x*,y*是映像T的兩個不同的不動點，即:

那么d(Tx*,Ty*)=d(x*,y*)＞0，從而

由(2.1)得

由于k∈(0,1)，所以這是矛盾的不等式.故x*是映像T的唯一不動點.

這就完成了定理的證明.

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【編校：許潔】

FurtherGeneralizationsofBanachContractionPrincipleinCompleteMetricSpaces

DONGJian,TANGJinfang
(SchoolofMathematics,YibinUniversity,Yibin,Sichuan644007,China)

Incompletemetricspaces,afurtherextensionoftheBanachcontractionprinciplewasgot.Theresultweakens thecondition,strengthenstheresultandsimplifiestheproofprocessofJlelietal.

completemetricspaces;Banachcontractionprinciple;strongconvergenttheorem;fixedpoint

O177.5

A

1671-5365(2015)12-0061-03

董建，唐金芳.完備度量空間中Banach原理的進一步推廣[J].宜賓學院學報,2015,15(12):61-63. DONGJ,TANGJF.FurtherGeneralizationsofBanachContractionPrincipleinCompleteMetricSpaces[J].JournalofYibin University,2015,15(12):61-63.

2015-05-22修回：2015-05-29

四川省科技廳科研項目(2015JY0165)；宜賓學院科研項目(2013YY06)

董建（1963-），男，副教授，研究方向為非線性分析

時間：2015-07-0110:15

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20150701.1015.004.html