Banach空間中非擴張映像和漸進非擴張映像的分裂公共不動點

唐金芳，董 建

（宜賓學院數學學院，四川宜賓644007）

Banach空間中非擴張映像和漸進非擴張映像的分裂公共不動點

唐金芳，董 建

（宜賓學院數學學院，四川宜賓644007）

在兩個Banach空間框架下介紹了非擴張映像和漸進非擴張映像的分裂公共不動點問題.在適當的條件下構造了迭代序列，使該序列收斂于非擴張映像和漸進非擴張映像的分裂公共不動點．

Banach空間；非擴張映像；強收斂定理；分裂公共不動點

設H1,H2是兩個實Hlibert空間，C,Q分別是H1,H2的非空閉凸子集，A∶H1→H2是有界線性算子.所謂的分裂可行性問題（SFP）是尋找點x∈H1滿足

如果分裂可行性問題有解，那么它等價于如下的不動點問題：

其中PC和PQ分別是C和Q上的投影,γ＞0為任意的正常數,A*是A的伴隨算子.

如果C和Q是兩個非線性映像的不動點集（不動點集是非空閉凸的），那么稱x為這兩個非線性映像的分裂公共不動點.

Hlibert空間中的分裂可行性問題是2005年由Censor[1]等提出的，被應用于多個領域，比如逆問題、圖像恢復、計算機斷層掃描和放射治療等.近年來，很多學者在Hlibert空間中討論了分裂可行性問題的收斂性[2-6]，同時，很多學者還在Hlibert空間中討論了分裂公共不動點問題的收斂性[7-9].

受到上述文獻的啟發(fā)，本文在兩個Banach空間的框架下討論非擴張映像和漸進非擴張映像的分裂公共不動點問題的弱收斂性和強收斂性.

1 預備知識

設X是實Banach空間，其對偶空間為X*,C是X的非空閉凸子集.正規(guī)對偶映像 J∶X→2X*定義為

稱 X為一致凸的，如果對任意的 ε∈(0,2]有δX(0)=0,δX(ε)＞0.每一個一致凸的Banach空間X都具有 Kadec-Klee性質，即對任意的序列如果弱收斂于x∈X且那么強收斂于x.

Banach空間X的光滑模ρX∶[0,∞)→[0,∞)定義為:

引理1.2[10]給定常數r＞0.實Banach空間X是一致凸的當且僅當存在連續(xù)的嚴格增函數g∶[0,∞)→[0,∞)滿足 g(0)=0使得對任意的x,y∈X,‖x‖≤r,‖y ‖≤r和t∈[0,1]有

定義1.3設T∶C→C為一個映像.

（ⅰ）稱T為非擴張的，如果對任意的x,y∈C有‖Tx -Ty‖≤‖x -y‖.

定義1.4設映像T∶C→C的不動點集F(T)≠?,稱T半閉于0，如果對任意的{xn}?C滿足弱收斂于x且

引理1.5[11]設C是一致凸Banach空間X的非空閉凸子集，T∶C→C是非擴張映像，則T半閉于0.

2 主要結果

定理設X1是實一致凸和2一致光滑的滿足Opial條件的Banach空間，且具有最佳光滑常數k,X2是實Banach空間.設A∶X1→X2是有界線性算子，S∶X1→X1是非擴張映像，T∶X2→X2是具系數的半閉于0的漸進非擴張映像，且F(S)≠?,F(T)≠?.對任意的 x1∈X1,定義序列如下：

證明：先證明結論（Ⅰ），并將其證明過程分為四步.

事實上，對任意的 p∈Γ有 p∈F(S)且Ap∈F(T).由（2.1）和引理1.1得:

由（2.1）和引理1.2得

事實上，由（2.3）得

這表明

和

由函數g的性質，得

由（2.1）得

由（2.4）、（2.5）和（2.6）得

類似地，有

由（2.4）、（2.7）和（2.8）得

另外，因為

由（2.4）得

由（2.4）和（2.7）得

事實上，由Banach空間X1的自反性和序列的有界性知存在的子序列使得弱收斂于x*∈X1.由（2.11）得序列也弱收斂于x*∈X.由（2.5）和引理1.5得x*∈F(S).

因為X1滿足Opial條件，所以序列弱收斂于分裂公共不動點x*∈Γ.

這完成了結論（Ⅰ）的證明.

下面證明結論（Ⅱ）.

這完成了結論（Ⅱ）的證明.

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【編校：許潔】

TheSplitCommonFixedPointProblemofNonexpansiveMappingandAsymptoticallyNonexpansive MappinginBanachSpaces

TANGJinfang,DONGJian
（SchoolofMathematics,YibinUniversity,Yibin,Sichuan644007,China）

Thesplitcommonfixedpointproblemofnonexpansivemappingandasymptoticallynonexpansivemappingwas introducedinthesettingoftwoBanachspaces.Underappropriateconditions,theiterativesequencewasconstructedto convergeonthesplitcommonfixedpointofnonexpansivemappingandasymptoticallynonexpansivemapping.

Banachspaces;nonexpansivemappings;strongconvergenttheorem;splitcommonfixedpoint

O177.5

A

1671-5365(2015)12-0070-04

唐金芳，董建.Banach空間中非擴張映像和漸進非擴張映像的分裂公共不動點[J].宜賓學院學報,2015,15(12):70-73. TANGJF,DONGJ.TheSplitCommonFixedPointProblemofNonexpansiveMappingandAsymptoticallyNonexpansiveMap?pinginBanachSpaces[J].JournalofYibinUniversity,2015,15(12):70-73.

2015-06-26修回：2015-07-16

四川省科技廳科研項目（2015JY0165）；宜賓學院科研項目（2013YY06）

唐金芳（1979-），女，副教授，碩士，研究方向為非線性泛函分析

董建（1963-），男，副教授，研究方向為非線性泛函分析

時間：2015-07-1620:00

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.z.20150716.2000.001.html