一個較為精密的Hardy-Hilbert型不等式的加強及應用

隆建軍

（攀枝花市大河中學，四川攀枝花617061）

一個較為精密的Hardy-Hilbert型不等式的加強及應用

隆建軍

（攀枝花市大河中學，四川攀枝花617061）

對Hardy-Hilbert不等式進行了研究，并將其進一步改進如下：若，使得則有：

Hardy-Hilbert型不等式；權系數；加強

則有

1999年，Yang在文獻[2]中，利用權系數的方法，對（0.1）式進行改進，得到：

這里γ=0.5772+.

2013年，隆建軍在文獻[3]中改進權系數不等式，得到：

從而得到（0.1）的改進式：

當p=q=2時，不等式（0.4）變為：

1998年，Pachpatte[4]建立了一些類似于（0.1）的新不等式.此后有很多專家、學者對Hardy-Hilbert型不等式進行研究，得到了一些很好的結果.

2013年，羅靜、隆建軍通過建立權系數不等式[5]：ω(n,μ)=

得到一個Hardy-Hilbert型不等式：

這里π是最佳值.它的等價形式為：

2007年，王衛宏、方波漪建立權系數不等式[6]：

得到一個Hilbert型不等式及其等價形式：

2012年，隆建軍建立了權系數不等式[7]：

得到一個Hilbert型不等式及其等價形式：

本文的目的是利用改進的Euler-Maclaurin公式，對如下權系數ω( ) r,α,n=

進行加強推廣，從而得到一個新的收斂性更好的Hardy-Hilbert型不等式.

1 幾個引理

引理1[8]設f(x)在[ ) 1,+∞ 有四階導數，及則有：

引理2設則下列權系數不等式成立：

且f(x)滿足引理1全部條件.

由引理1的（1.1）式和以上計算，有

又由

又：

把（1.4）代入（1.3）有（1.2）成立.故引理2成立.

2 主要結論及其應用

定理1若p＞1,,r,s∈R, an,bn≥0,使得

則有

證明：由Holder不等式，有

（2.1）式成立.

定理1證畢.

定理2若p＞1,an≥0,使得,則有

于是，有

這說明

因而由（2.1）式，當k→∞時，（2.3）和（2.4）式都不取等號.故有

定理2證畢.

在定理1和定理2中，對r、s適當取值，還可得到以下結論.

推論1當時，有

推論2當r=s=1時，有

推論3當r=s=0時，有

推論4當時，有

推論5當r=1時，有

推論6當r=0時，有

[1]HARDYGH,LITTLEWOODJE,PóLYAG.Inequalities[M].lin?coln:CambridgeUnivPress,1952.

[2]YANGBC.OnastrengthenedversionofthemoreaccurateHardy-Hilbert'sinequality[J].ActaMathSinica(N.S.),1999,42(6):1103-1110.

[3]隆建軍.一個推廣的Hardy-Hilbert不等式及應用[J].佳木斯大學學報(自然科學版),2013,3(31):456-460.

[4]PACHPATTEBG.OnsomenewinequalitiessimilartoHilbert's inequality[J].JMathAnalAppl,1998,226(1):166-179.

[5]羅靜,隆建軍.關于一個Hardy-Hilbert型不等式的改進與推廣[J].四川理工學院學報(自然科學版),2013,26(5):67-70.

[6]王衛宏,方波漪.一個Hilbert型不等式的推廣與加強[J].五邑大學學報(自然科學版),2006,20(4):19-23.

[7]隆建軍.一個Hardy-Hilbert型不等式的推廣與加強[J].山東理工大學學報(自然科學版),2012,26(2):25-28.

[8]KUANGJC,DEBNATHL.OnnewgeneralizationsofHilbert'sin?equalityandtheirapplications[J].JMathAnalAppl,2000,245(1): 248-265.

【編校：許潔】

TheStrengtheningofaMoreAccurateHardy-HilbertTypeInequalityandItsApplication

LONGJianjun
(DaheMiddleSchoolofPanzhihua,Panzhihua,Sichuan617061,China)

AfterstudyingonHardy-Hilbert'sinequality,theimprovementsasfollowingareachieved:ifTheresultsimproveandunifysomerecentresultsinthisfield.

Hardy-Hilberttypeinequality;weightcoefficient;strengthening

O178

A

1671-5365(2015)12-0074-06

隆建軍.一個較為精密的Hardy-Hilbert型不等式的加強及應用[J].宜賓學院學報,2015,15(12):74-79. LONGJJ.TheStrengtheningofaMoreAccurateHardy-HilbertTypeInequalityandItsApplication[J].JournalofYibinUniver?sity,2015,15(12):74-79.

2015-09-07修回：2015-09-21

四川省自然科學青年基金項目（2013SC113）

隆建軍（1981-），男，中學一級教師，學士，研究方向為解析不等式

時間：2015-09-2208:38

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.z.20150922.0838.001.html

所得結果改進和推廣了最近文獻的一些相應結果.