關于非擴張映射的一個新粘性迭代方法

肖 赟，劉信東

（宜賓學院數學學院，四川宜賓644007）

關于非擴張映射的一個新粘性迭代方法

肖 赟，劉信東

（宜賓學院數學學院，四川宜賓644007）

建立了Hilbert空間中關于非擴張映射的一個新隱中點規則粘性迭代方法，證明了由此迭代所生成的序列強收斂于非擴張映射的不動點，此不動點也是某變分不等式的解.

粘性迭代；隱中點規則；非擴張映射；度量投影；變分不等式

假設H是Hilbert空間，如果存在常數α∈[0,1),使得對任意x,y∈H,有則稱 f是一個壓縮映射；如果對任意x,y∈H,有,則稱T是一個非擴張映射.

文獻[1-3]介紹了Hilbert空間中關于非擴張映射的顯粘性迭代方法，即序列 xn+1=由以下迭代方式生成：

的解，其中I是H中的恒等映射.

文獻[4-6]提出了隱中點規則，并指出此規則是求解常微分方程中某些問題的一個強有力的工具.

最近，徐洪坤[7]給出了關于非擴張映射的一個隱中點規則粘性迭代方法，即通過以下迭代生成序列：

受上述文獻啟發，本文引入另一種新的隱中點粘性迭代方法，即序列由以下迭代方式生成：并將證明在一定條件下由這種迭代所生成的序列強收斂到非擴張映射T的一個不動點，同時解決問題（2），改進和推廣了現有文獻的結果.

1 預備知識和引理

本文總是假設H是一個Hilbert空間，C是H的一個非空閉凸子集.PC表示從H到C上的投影，即對任意x∈H，PCx是C中唯一滿足

的點.從文章[8]中，注意到PC是一個非擴張映射且

為證明本文的主要結論，需要下述引理.

引理1.1[9]（半閉準則） 若C是Hilbert空間H的一個非空閉凸子集，T∶C→C是非擴張映射且Fix(T)≠φ.若{xn}是C中的序列使得：

（ⅱ）(I-T)xn→0.則x=Tx.

引理1.2[10]假設是非負實數序列且xn+1≤(1-γn)xn+δn,n≥0,其中序列使得：

2 主要結果

下面給出本文的主要結果.

定理假設H是Hilbert空間，C是H的非空閉凸子集，T∶C→C是非擴張映射且Fix(T)≠φ, f∶C→C是壓縮映射.序列由迭代（4）所生成的序列，若序列{} λn滿足條件：

證明：（I）證明序列{xn}有界.令p∈Fix(T),則:

移項，整理得：

即

因而可得：

由歸納法可知對所有n有

成立.即證序列{} xn有界.

由此可得：

因而

（IV）結合步驟（I）和（III），再由引理1.1即證ωw(xn)?Fix(T).（V）下證

其中q∈Fix(T)是壓縮映射PCf的唯一不動點，即PCf(q)=q.

又由第（IV）步知p∈Fix(T),結合（8）與（9），再由（6）即得

即得：

因而：

從而：

注意到：

因而有：

移項，整理得：

其中：

注意到：

并且：

從而將（11）改寫成：

構造函數：

整理可得：

可以證明

故取ε=3(1-α)＞0,存在δ＞0,使得

從而可得

由步驟2、3可知

從而可證

再由βn的定義（10）及（8）式可得

進一步可推出

最后，由條件（C1）、（C2）和（15），利用引理1.2到不等式（14）即可推出：

定理即證.

[1]MOUDAFIA.Viscosityapproximationmethodsforfixed-points problems[J].MathAnalAppl,2000(241):46-55.

[2]ATTOUCHH.Viscosityapproximationmethodsforminimization problems[J].SIAMJOptim,1996,6(3):769-806.

[3]XUHK.Viscosityapproximationmethodsfornonexpansivemap?pings[J].MathAnalAppl,2004,298(1):279-291.

[4]AUZINGERW,FRANKR.Asymptoticerrorexpansionsforstiff equations:ananalysisfortheimplicitmidpointandtrapezoidal rulesinthestronglystiffcase[J].NumberMath,1989,56(5):469-499.

[5]BADERG,DEUFLHARDP.Asemi-implicitmidpointrulefor stiffsystemsofordinarydifferentialequations[J].NumberMath, 1983,41(3):373-398.

[6]SOMALIAS.Implicitmidpointruletothenonlineardegenerate boundaryvalueproblems[J].ComputMath,2002,79(3):327-332.

[7]XUHK,ALGHAMDIMA,SHAHZADN.Theviscositytechnique fortheimplicitmidpointruleofnonexpansivemappingsinHilbert spaces[J].FixedPointTheoryAppl,2015:41.doi:10.1186/s13663-015-0282-9.

[8]GOEBELK,REICHS.UniformConvexity,HyperbolicGeometry, andNonexpansiveMappings[M].NY:Dekker,1984.

[9]GOEBELK,KIRKWA.TopicsinMetricFixedPointTheory[M]. Cambridge:CambridgeUniversityPress,1990.

[10]XUHK.Iterativealgorithmsfornonlilnearoperators[J].LondMath Soc,2002(66):240-256.

【編校：許潔】

ANewViscosityTechniquefortheNon-ExpansiveMappings

XIAOYun,LIUXindong
（SchoolofMathematics,YibinUniversity,Yibin,Sichuan644007,China）

Anewviscositytechniquefortheimplicitmidpointruleofnon-expansivemappingsinHilbertspaceswases?tablished.Thestrongconvergenceofthistechniquewasprovedundercertainfixedpointofnon-expansivemapping.This fixedpointsolvedacertainvariationalinequality.

viscosity;implicitmidpointrule;non-expansivemapping;projection;variationalinequality

O177.91

A

1671-5365(2015)12-0086-05

肖赟，劉信東.關于非擴張映射的一個新粘性迭代方法[J].宜賓學院學報,2015,15(12):86-90. XIAOY,LIUXD.ANewViscosityTechniquefortheNon-ExpansiveMappings[J].JournalofYibinUniversity,2015,15(12): 86-90.

2015-05-13修回：2015-06-11

肖赟（1977-），男，碩士，講師，研究方向為泛函分析

時間：2015-07-0111:20

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20150701.1120.005.html