一個(gè)含混合核的Hilbert型積分不等式

有名輝

（浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，浙江杭州310053）

一個(gè)含混合核的Hilbert型積分不等式

有名輝

（浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，浙江杭州310053）

通過引入多個(gè)參數(shù)，建立一個(gè)具有最佳常數(shù)因子的Hilbert型積分不等式，并給出其等價(jià)形式，推廣了相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果．

Hilbert型不等式；等價(jià)形式；Euler數(shù)；H?lder不等式；Gamma函數(shù)

其中π2是滿足（1）式的最佳常數(shù)因子[1].通常稱不等式（1）為Hilbert型不等式.Hilbert型不等式在分析學(xué)及其應(yīng)用領(lǐng)域有著重要的作用[2].近年來，通過引進(jìn)參數(shù)，研究者們給出了（1）式及其對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)形式的一些推廣和改進(jìn)，建立了一些深刻且有價(jià)值的成果[3-8].

2011年，周昱、高明哲[9]又證明了一個(gè)類似于（1）式并與Euler數(shù)有關(guān)的不等式，即其中λ＞0,E0=1,En(n∈N+)是Euler數(shù)，即E1=1, E2=5,E3=61,E4=1385…

本文的目的是建立一個(gè)含有混合核的Hilbert型積分不等式，它是（2）式的推廣.首先給出以下定義及引理.

定義[10]對(duì)于a＞0,定義：

為第二型歐拉積分，即Γ函數(shù).特別地，當(dāng)a∈?+時(shí)，Γ(a)=(a-1)!.

為行文方便，以下約定：

引理 1設(shè) λ＞0,0≤α＜λ,β≥0,2r=λ-α,則：

因此

結(jié)合（3）式和（4）式，即得引理1.

引理2設(shè)β≥0,2r=λ-α,則ε→0+時(shí)，有：

證明：作變量替換y=ux,注意到2r=λ-α,由Fubini定理可知：

當(dāng)ε→0+時(shí)，由引理1，可得

由（5）式和（6）式，即得引理2.

下面是本文的主要結(jié)果.

定理1設(shè)β≥0,2r=λ-α,f(x),g(x)≥0,滿足

且

則

其中φ(α,β,λ)由引理1定義，Γ(β+1)φ(α,β,λ)是滿足（7）式的最佳常數(shù)因子.

證明：由H?lder不等式，可知：

若（8）式取等號(hào)，則有不全為零的實(shí)數(shù)A與B,使得

即：

于是，有常數(shù)C，使得

通過變量替換，根據(jù)引理1,結(jié)合2r=λ-α,不難算得：

類似地，可算得

“把社區(qū)命名為‘騰飛’，就是希望大家跟著飛機(jī)一起騰飛，早日過上好日子。”響水鄉(xiāng)宣傳委員顏登席說，鄉(xiāng)里擬投資3.17億元啟動(dòng)70余個(gè)建設(shè)項(xiàng)目，把響水鄉(xiāng)打造成一個(gè)4A級(jí)景區(qū)。“現(xiàn)在，不僅是騰飛社區(qū)依托機(jī)場(chǎng)建設(shè)‘騰飛’，整個(gè)響水鄉(xiāng)也和畢節(jié)一樣，依托立體交通網(wǎng)絡(luò)在‘騰飛’。”

因此（8）式可寫成

以下將證明（7）式中的常數(shù)因子Γ(β+1)φ(α,β,λ)為最佳值.事實(shí)上，若此常數(shù)因子不為最佳，則存在實(shí)數(shù)k( ) 0＜k＜Γ(β+1)φ(α,β,λ),使得（7）式中的常數(shù)因子換成k后（7）式仍成立.即

定義函數(shù) fε(x)和gε(x)（其中ε充分小）如下：

①若x∈(0,1),令 fε(x)=gε(x)=0;

用 fε和gε分別取代（9）式中的 f和g,則：

把引理2的結(jié)果代入，可得

令 ε→0+，則 k≥Γ(β+1)φ(α,β,λ)，這與 k＜ Γ(β+1)φ(α,β,λ)矛盾.故（7）式中的常數(shù)因子為最佳值.定理1證畢.

其中[Γ (β+1)φ(α,β,λ)]p是滿足（10）式的最佳常數(shù)因子，且（10）式和（7）式等價(jià)．

故

結(jié)合定理2的條件和（12）式可知應(yīng)用定理1的條件是充分的.因此（11）式和（12）式都取嚴(yán)格不等號(hào).故（10）式成立.

以上從（7）式證得了（10）式.要說明（7）式和（10）式等價(jià)，以下只需從（10）式證得（7）式.事實(shí)上，由H?lder不等式，可知

把（10）式代入到（13）式，可知（7）式成立.若（10）式中的常數(shù)因子[Γ (β+1)φ(α,β,λ)]p不是最佳值，則由（10）式和（13）式證得的（7）式的常數(shù)因子也不是最佳的，這顯然矛盾.故（10）式中的常數(shù)因子是最佳值.

定理2證畢.

在定理1中,令α=0,β=2n,注意到[12]

則有下面推論.

推論1設(shè)p＞1,n是非負(fù)整數(shù)，f(x),g(x)≥0，滿足∞且則：

在（14）式中,令p=q=2,即得（2）式,因此定理1是（2）式的推廣.

在定理1中,令β=0,則有以下負(fù)齊次核Hil?bert型不等式：

推論2設(shè)p＞1,2r=λ-α,f(x),g(x)≥0,滿足

且

則：

[1]HARDYGH,LITTLEWOODJE,POLYAG.Inequalities[M].Lon?don:CambridgeUniversityPress,1952.

[2]MINTRINOVICDS,PECARICJE,FINKAM.Inequalitiesinvolv?ingfunctionsandtheirintegralsandderivatives[M].Boston:Kluwer Academic,1991.

[3]楊必成.關(guān)于一個(gè)Hilbert類積分不等式的推廣及應(yīng)用[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2003,16(2):82-86.

[4]楊必成.關(guān)于一個(gè)推廣的具有最佳常數(shù)因子的Hilbert類不等式及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,2005,25(2):341-346.

[5]KUANGJC,DEBNATHL.OnNewgeneralizationsofHilbert’s inequalityandtheirapplications[J].JMathAnalAppl,2000,245 (1):248-265.

[6]JINJJ.AnewgeneralizationofHardy-Hilberttypeinequalitywith multi-parameters[J].JMathResExposition,2009,29(6):1131-1136.

[7]JINJJ.OnHilbert'stypeinequalities[J].JMathAnalAppl,2008, 340(2):932-942.

[8]楊必成.一個(gè)較為精密的Hardy-Hilbert型不等式及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)(中文版),2006,49(2):363-368.

[9]周昱,高明哲.一個(gè)新的帶參數(shù)的Hilbert型積分不等式[J].數(shù)學(xué)雜志,2011,31(3):575-581.

[10]菲赫金哥爾茨 ΓΜ.微積分學(xué)教程（第二卷）[M].北京:高等教育出版社,2006.

[11]匡繼昌.常用不等式[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2003.

[12]王連祥,方德植.數(shù)學(xué)手冊(cè)[M].北京:人民教育出版社,1979.

【編校：許潔】

ANewHilbert-TypeIntegralInequalityInvolvingMixedKernel

YOUMinghui
（MathematicsTeachingandResearchSection,ZhejiangInstituteofMechanicalandElectricalEngineering,Hangzhou,Zhejiang 310053,China）

Byintroducingmultipleparameters,anewHilbert-typeinequalityanditsequivalentformwereestablished, andsomeknownresultswereextended.

Hilbert-typeinequality;equivalentform;Eulernumber;H?lderinequality;Gammafunction

O178

A

1671-5365(2015)12-0091-04

有名輝.一個(gè)含混合核的Hilbert型積分不等式[J].宜賓學(xué)院學(xué)報(bào),2015,15(12):91-94.

YOUMH.ANewHilbert-TypeIntegralInequalityInvolvingMixedKernel[J].JournalofYibinUniversity,2015,15(12):91-94.

2015-06-24修回：2015-07-09

有名輝（1982-），男，講師，碩士，研究方向?yàn)榻馕霾坏仁?/p>

時(shí)間：2015-07-1010:35

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20150710.1035.001.html