例析均值不等式工具性視角下的解題技巧

王莉敏

（江西省信豐中學）

均值不等式作為一種解題工具，它在許多問題的解決中應用得較為廣泛，而且表現出獨特的功能.然而，在使用均值不等式解決問題時，通常需要配合一定的變形與轉化技巧，既有難度又不失靈活性.現舉例說明如下：

一、湊項

例1.若0＜x＜1，求函數y=x4（1-x2）的最大值.

二、配項

證明：要證原不等式成立，

三、拆項

例3.已知a1，a2，…，an∈R+且a1·a2…an=1，求證：（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n.

當且僅當a1=a2=…=an=1 時等號成立.所以原命題得證.

四、串求

時

五、換元

例5.已知a，b，c 為△ABC 三邊的長，求證：abc≥（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）.

證明：設m=b+c-a，n=c+a-b，p=a+b-c，

即abc≥（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）.

六、待定系數

例6.已知0＜x＜1，求y=x-x3的最大值.

解：因為0＜x＜1，所以1-x=0，又因為y=x-x3=x（1-x）（1+x）