利用數學巧學《電磁場理論》課程

2015-01-22 12:42:46原立格

產業與科技論壇 2015年16期

□原立格

一、引言

《電磁場理論》課程是電子類、通信專業的專業必修基礎課程，學習過程中學生普遍覺得《電磁場》課程學起來難度大、數學公式多、邏輯推理性強。《電磁場理論》課程的先修課程是《高等數學》和《大學物理》。本文通過分析、探討《高等數學》內容及其學習方法巧學電磁場課程，從而讓每一位學習者都能掌握住快速學習電磁場課程的技巧。

二、電磁場中數學的分布

《電磁場理論》課程學習之前首先需要學習《工程數學》也就是“矢量分析”部分，該部分的內容有:矢量代數、矢量分析、場、數量場的方向導數和梯度、矢量場的方向導數和梯度、矢量場的通量和散度、矢量場的環量及旋度、有勢場、管形場、調和場、哈密頓算子、正交曲線坐標系和赫姆霍茲定理。《工程數學》是《高等數學》中數學知識應用于《電磁場理論》中的一個過渡。電磁場理論知識部分包含的內容有:靜電場、恒定電場、恒定磁場和時變電磁場，這四個場中場的基本方程、場的邊界條件都離不開數學公式表達式;研究波傳播形式的“平面電磁波”和“導行電磁波”更是通過分析描述波形的方程分析波的傳播情況。電磁波的輻射部分有基本振子的輻射、天線的電參數、簡單的線天線介紹——對稱振子與天線陣、面天線輻射場分析都是需要數學模型的建立，進而分析場的情況。在電磁場中還有研究電磁場與電磁波的一些方法:唯一性定理、鏡像法、分離變量法、復變函數法、有限差分法、有限元法等。

三、電磁場中用到的數學知識點

《電磁場理論》課程中用的數學知識概括起來兩點是:方程的微分形式與積分形式。從《電磁場理論》課程知識點分析，該課程中的核心內容是“麥克斯韋方程組”，整個電磁場理論的分析過程中都遵循著“赫姆霍茲定理”。赫姆霍茲定理的內容是:空間有限區域內的任一矢量場，由它的散度、旋度和邊界條件唯一地確定。電磁場中處于重要地位的“梯度”、“散度”和“旋度”在《工程數學》部分中從《高等數學》知識向《電磁場理論》理論方面應用做好了準備。

梯度式子分析:高數中的一階偏微分形式賦予方向性，

賦予一定的物理含義。

式(2)此微分形式可以改寫為:

式(3)在《電磁場理論》課程中有名的“散度定理”，又名“高斯定理”。在《高等數學》課程中式(3)就是有名的“體積分與面積分”轉換公式——“高斯公式”。

式(4)此微分形式可以改寫為積分形式:

式(5)在《電磁場理論》課程中就是有名的“斯托克斯定理”，在《高等數學》課程中該式子是“格林公式”推廣后的“斯托克斯”公式，“面積分與線積分”轉換公式。

麥克斯韋方程組:

全電流定律——麥克斯韋第一方程

法拉第定律——麥克斯韋第二方程

高斯定理——麥克斯韋第三方程

磁通連續性原理——麥克斯韋第四方程

麥克斯韋方程組是在“靜電場”、“恒定電場”、“恒定磁場”的基礎上，并由麥克斯韋提出“位移電流假說”前提下總結出來的一切電磁場遵循的方程。“麥克斯韋方程組+邊界條件”就可以研究一切有限區域內的場。

“平面電磁波”和“導行電磁波”研究時利用的是電磁波的微分形式，還利用了“拉普拉斯算子”。

四、數學知識引出電磁場理論知識

《高等數學》是在學習《電磁場理論》課程前就修完的課程，相對來說在學習者的內心感覺對高數知識不陌生，因此從數學式子入手引入一定的物理意義分析。

(一)梯度。梯度:引出梯度之前介紹了方向導數，推導出梯度之后給梯度賦予一定的物理意義。第一，標量場的梯度是一個矢量，是空間坐標點的函數;第二，任何一個標量場都可以由它的梯度和在某一點上的值唯一確定;第三，梯度的大小為該點標量函數的最大變化率，即該點最大方向導數;第四，梯度的方向為該點最大方向導數的方向，即與等值線(面)相垂直的方向，它指向函數增加的方向;第五，函數φ在給定點沿任意L方向的方向導數等于函數φ的梯度在L方向上的投影(見圖1)。