關于高等數學教學中部分知識點的探討①

陳 茜

(中南林業科技大學理學院，湖南長沙10004)

教學授課是一個非常靈活的過程。教師在講授課本知識的基礎上，能夠根據教學目標、教學對象、課堂氣氛等的需求，及時引入、總結一些教學知識點，會使得教學課堂更豐富，教學對象更受益。為此，我們討論了高等數學教學中的幾個知識點。

1 函數極限教學的調整

極限概念的教學是從數列極限開始的［1］。數列是特殊的函數，在于它的變量只能取正整數，所以數列的極限只討論n 趨于正無窮時數列收斂的情況。但對于廣義上的函數來說，除了x →+ ∞，還有x→- ∞，x →∞，x →a，x →a-，x →a+這5 種方式。那么在學習數列極限的基礎上，再引入函數極限時，可首先引入x →+∞時函數的極限。原因在于:兩者的自變量都在趨于正無窮，只要將數列自變量取離散正整數的狀態推廣為連續狀態下的正實數，就過渡到了函數的極限。

但在同濟版高等數學教材［2］中引入函數極限是從x →a 開始的，隨后才是x →∞。這樣就將數列和函數在無窮下的極限聯系斷開，不利于極限概念的深入理解和鞏固。

2 等價無窮小替換在冪指函數極限中的應用

對冪指函數求極限，除了教材中涉及到的對數法、恒等變形法來求解外，有很多同學還會有這樣的疑問:能否運用等價無窮小替換原理求解，尤其是針對00的未定式。

實際上，如果f(x)和g(x)在x0的某一去心鄰域內為連續函數，當x →x0時，若f(x)→0，g(x)→0 且，則

其實對于1∞和∞0這2 種未定式，間接利用上面的結論同樣可以得到有效的結論。如:

3 有理函數積分的常見類型

有理函數分為假分式和真分式2 種情況。假分式一般通過多項式的除法可化為整式和真分式。所以有理函數的積分最實質的就是真分式的積分。如果真分式中的分母可以分解因式，真分式必可裂為部分分式之和。最后，真分式的部分分式中只出現和為二次質因式)等兩類函數。

在同濟第6 版高等數學有理函數的積分教學中［2］，認為P1(x)為小于k次的多項式，P2(x)為小于2l次的多項式。我們認為這樣的敘述有失嚴謹性，因為P1(x)到底應是k -1次的，還是k -2次的，還是……，在解題中學生無法清晰把握;對于P2(x)也是同樣的情況。實際上將部分分式通分，與原真分式相等下比較分子中x 的冪會得到:P1(x)應是(k-1)次的多項式;P2(x)應是(2l-1)次的多項式。對部分分式中常見的類型:

以上為有理函數積分中常見的三類形式。在具體的題解中這幾種形式常常交錯出現，使得積分看似繁瑣，但掌握其規律并多加練習后就會得心應手。

4 微分方程和重積分對稱性題目的引入

像這樣隱藏初始條件于表達式中，同時還先需求導再明了為微分方程的題目，比較少見。如果能在實際的課堂教學中提出這樣的題目給學生思考、求解再總結，這對于學生知識的聯系性、思維的發散性和基礎功的鞏固都非常有利。同樣，在現有的教材中對于二重積分知識點的教授沒有涉及對稱性，但在有些題目中如果利用二重積分的對稱性，勢必會做到事半功倍。

由二重積分的對稱性，第二項積分為零(D 關于y 軸對稱，f(x，y)= xy 為x 的奇函數)，使得求兩個積分減化為求一個積分，簡化了計算過程，提高了做題效率。因此，在課堂教學時如果能適當添加這個知識點，并給出幾個具體的題目練一練，不但能豐富同學的積分知識，又可為考研這樣的大型考試添磚加瓦。

［1］劉玉璉，付沛仁．數學分析講義［M］．北京:高等教育出版社，1995．

［2］同濟大學數學系．高等數學［M］．6 版．北京:高等教育出版社，2008．

［3］陳茜，舒慧穎．淺析冪指函數的極限問題［J］．衡水學院學報，2011(4):8－9．

［4］郝海龍．考研數學復習大全(歷年統考真題分類訓練)［M］．北京:北京航空航天大學出版社，2014．