基于MIMO-OFDM系統的盲源分離算法研究

丁 沿， 劉 甜， 張 琪

（河海大學 江蘇 南京 211100）

頻帶利用率和多徑衰落問題一直制約著無線通信的效率，如何解決這兩個問題是未來無線通信系統的關鍵。MIMO無線通信系統通過在同樣的頻帶中創建多個獨立信道，使得信道容量隨著發送和接收天線的數量的增加而線性增加，極大地提高了系統的頻帶利用率。但是MIMO系統的空間多路的方法產生的數據流所傳輸的信道不是正交的，并且接收到的數據流是混合的。在平坦衰落信道中，接收到的信號在時域上是發送的源信號的線性組合。但是在更加典型的現實環境中存在著多徑效應，經過頻率選擇性信道后的信號在接收端產生碼間串擾。在SISO系統中，為了解決這一問題優先的方法是使用串并轉換，即將高速數據轉換為低速率的子數據流，這些子數據流輪流通過OFDM技術復用到幾個子載波上。這種方法有效地將頻帶劃分為更小的能夠被近似估計為具有平坦頻率響應的子頻帶。在MIMO系統中使用頻率選擇性信道是一個公認的問題，并且使用OFDM調制信號是解決這一問題的一個可選的方法。MIMO和OFDM的結合被稱為MIMOOFDM系統，并且是目前無線通信創新中的最優前途的領域之一，它目前被應用于802.11n無線標準。

在接收端有許多技術可以用來分離這些混合的平行數據流，并且通常他們依賴信道狀態信息接收器的知識。最理想的數據恢復是當接收端沒有關于信道狀態信息的任何先驗知識并且就好像數據通過未知的方式傳輸為前提來恢復數據,通過這種方式恢復源信號的過程被稱為盲源分離（Blind Source Separation,BSS）。 文獻[1]、[2]作為國內最早介紹盲源分離的文章，講述了盲源分離提出的背景和意義，以及基本的原理和方法。文獻[3]、[4]詳細論述了盲源分離的研究現狀和一些經典算法。文獻[5]講述了MIMO系統的忙均衡，涉及OFDM調制。文獻[6]采用了Nyquist采樣率，對MIMO-OFDM系統的接收信號進行采樣，使用ICA對每一路進行分析。既然OFDM在頻域中定義了，很自然的就需要在頻域中考慮盲源分離的問題。本文嘗試使用擴展FastICA算法，在頻域對MIMOOFDM系統的接收信號進行盲源分離。

1 盲源分離理論

1.1 盲源分離基礎

文獻[4]中對盲源分離的定義是：從若干觀測到的混合信號中提取、恢復（分離）出無法直接觀測的各個原始信號的過程。這里的“盲”是指源信號未知，并且混合系統特性也事先未知或只知道少量的先驗知識（如非高斯性、循環平穩性、統計獨立性等）這兩個方面。

盲源分離的數學模型可以表示如下：已知從多輸入多輸出（MIMO）非線性動態系統中測得傳感器信號為X(t)=[x1(t)，x2(t)，…，xMr(t)]T，要求找到一個逆系統，以重構估計原始的源信號 S(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sMr(t)]T。 源信號 S(t)未知，源信號如何混合得到觀測信號也未知，盲源分離輸出可由式（1）表達：

其中，A為信道混合矩陣，W為分離矩陣，G=WA為混合-分離/全局矩陣。如果G滿足條件G=PD，則y(t)是混合信號被成功分離，其中P為置換陣，D為對角陣。

圖1 盲源分離理論模型Fig.1 Blind source separation theory model

1.2 獨立分量分析理論

獨立分量分析[4]（Independent Component Analysis,ICA）是從多元（多維）數據中尋找其內在具有統計獨立和非高斯的因子或成分的一種盲源分離方法。ICA主要用于解決盲源分離問題，在不知道源信號及混合矩陣的任何信息情況下，只需假設源信號是相互統計獨立的，ICA就能很好地將源信號從混合信號中分離出來。

ICA的模型估計首先先選擇一個合適的目標函數，然后對其進行最小化或最大化。因此，一個ICA方法的性質主要依賴于目標函數和優化算法兩個方面。一般來講目標函數的選取決定了ICA方法的統計性質，如一致性、漸變性、魯棒性；最優化算法的選擇則決定了算法的性質，如收斂速度、內存要求和穩定性等。

令x=(x1，x2，…，xn)T為n維隨機觀測向量，由n個未知源信號s=(s1，s2，…，sn)T線性組合而成。不失一般性，假設混合信號的隨機變量和獨立源都具有零均值。ICA線性模型的矩陣表示形式為：

其中，si稱為獨立成分(Independent Component,IC)；A=(a1，a2，…，an)∈Rn×n為一滿秩矩陣，ai稱為混合矩陣；是混合矩陣的基向量。由此可知，各觀測數據xi是由獨立源信號si經不同aij線性加權得到的。進行ICA處理的目的就是找到混合信號x的一個線性變換矩陣W，使得輸出盡可能的獨立，即y(t)=Wx(t)=WAs(t)，獨立源si也稱為隱含變量，也就是說這些獨立成分是無法直接觀察到的；而混合矩陣A也是未知矩陣，唯一可利用的信息只有觀測的隨即向量x。ICA就是在某些限制條件下，根據x的統計特性，給出方程唯一解，實現獨立成分的提取。

1.3 信號預處理

在對混合信號進行盲分離以前，由于可以利用的信息很少，通常都要先進行一些預處理,以降低分析難度。最常見的預處理過程有兩個，一是去除信號的均值，有時也稱為“對中”。另一個重要預處理過程是白化，有時又稱為“圓整”。

在提出的大多數盲源分離算法中，都是假設源信號的各個分量是均值為零的隨機變量，因此為了使實際的盲分離問題能夠符合所提出的數學模型，必須在分離之前預先除去信號的均值。設π為均值不為零的隨機變量，只需要用ˉ=x-E(x)代替x即可。在實際的計算中，通常使用算術平均代替數學期望，用來去除隨機變量的樣本的均值。 設 X(t)=(x1(t)，x2(t)，…，xn(t))T(t=1,2,…,N)為隨機矢量x的N個樣本，則采用以下的方法除去樣本的均值，如式（3）:

1)由觀測信號估計零時間延遲相關矩陣：Rxx(0)=E[x(t)x(t)T]。

2)對 Rxx(0)進行奇異值分解，得 Rxx(0)=U∧UT。

4)預白化信號與源信號之間的正交關系：z(t)=Qs(t)，其中Q=TA為一正交矩陣。

1.4 目標函數的選擇

本文選取基于峭度的目標函數方法，對信號進行盲分離處理。對一個隨機變量y的峭度的定義如式（4）：

由中心極限定理知，一組值和方差為統一數量級的隨機變量疊加的結果必接近高斯分布。因此，如果觀測信號是多個獨立源的線性組合，則觀測信號比源信號更加接近高斯分布，其峭度與源信號相比，更接近零值。盲源分離的目的就是通過迭代找到一個分離矩陣W，使得恢復信號Y=WHX的各個分量的峭度值遠離零值，這樣分離出的信號Y就是源信號S的估計。

通過IFFT方式調制后的信號是復數信號，將峭度的概念擴展到復數域后得到的峭度定義公式如式（5）所示。

其中y′是復數隨機向量。

為了使得目標函數的收斂計算更具有魯棒性，通常選擇合適的非線性函數G(y)來替代y，文獻[7]給出了如下幾個比較有效的非線性函數：

2 MIMO-OFDM系統模型

本文采用的MIMO通信系統的結構是采用多發射機和多接收機的方式來提高頻帶利用率，而沒有使用空間編碼。通常，獨立平行數據流通過Mt個天線發送和Mr個天線接收。在基帶等效的情況下，每個發送天線發送信號st(t)，接收天線收到一個顯著的信號xr(t)，其中下標t，r,表示相應的發送天線和接收天線。在平坦衰落環境中，發送端和接收端信道系數表示為hrt，表示從第t個發送端傳送到第r個接收端。MIMO信道模型如圖2所示。

圖2 MIMO信道模型Fig.2 MIMOchannel model

在這一系統中，首先不考慮信道噪聲，MIMO系統的輸入和輸出的關系可以通過時域中的一組線性方程組來表示，如下式（9）：

在一個真實的無線通信環境模型中，每一個信號通路是服從多徑衰落的。多徑衰落信道如下圖3所示，一個單發送和單接收天線對，假設MIMO系統的多徑階數為L，則hrt(l)(L=0,1,…,L-1)表示第t個發送天線到第r個接收天線的第l徑的時域沖擊響應，所以接收信號xm(t)可以表示為如式(10)：

其中L是信道多徑階數，k是離散數據信號。

圖3 SISO系統多徑傳輸模型Fig.3 SISO system multipath transmission model

對 hrt(l)(L=0,1,…,L-1)補零成為序列{hrt(0),hrt(1),hrt(2),…,hrt(L-1),0,…,0}，并作N點傅里葉變換可以獲得天線對(t,r)之間的信道響應矩陣為：Hrt=[Hrt(1),Hrt(2),…,Hrt(N)]，即：

在具有N路子載波的MIMO-OFDM系統模型中，正如圖4所示,k=1,…,N是第t個發送天線發送的數據符號，它可以是通過M-QAM或MPSK調制的，不同的子載波k可以采用不同的調制方式。

圖4 MIMO-OFDM信道模型Fig.4 MIMO-OFDM channel model

IFFT和FFT操作用來生進行OFDM調制，添加循環前綴后組成OFDM數據幀，考慮到一個具體的OFDM副載波的隔離。以第k路舉例來說，發射天線的第k個子載波的發射信號向量為S(k)=[s1(k),s2(k),…,sMt(k)]T：，接收天線端接收到的第k個子載波信號為：X(k)=[x1(k),x2(k),…,xMr(k)]T，第k個子載波的信道響應可以表示為：

結合式(9)推導出如下關系式(13)：

其矩陣形式如式（14）：

其中N(k)是Mr×1維的零均值加性高斯白噪聲。

3 FastICA算法在MIMO-OFDM源信號分離的應用

目前人們對FastICA盲源分離算法的研究主要集中在非頻選的MIMO時域信道中，本文運用MIMO-OFDM技術，將擴展FastICA算法應用到MIMO-OFDM系統的盲源分離中。具體思想如下：

假設信道長度為L，采用循環前綴的長度為Ncp，當滿足Ncp＞L時，第k個子載波所傳輸的數據向量S(k)=[s1(k),s2(k),…,sMt(k)]T可以認為經歷了平坦衰落的MIMO信道。接收端接收到的數據經過FFT解調后，得到的第k個子載波的數據向量為X(k)=[x1(k),x2(k),…,xMt(k)]T，那么我們可以通過MIMO頻率非選擇衰落信道下的FastICA算法進行盲信號分離。

假設MIMO-OFDM系統的子載波數為N,取b幀的OFDM符號，那么在接收端經過FFT解調和去除循環前綴后的第i(i=1,2,…,b)幀的信號可以表示為：

那么第k個子載波的數據塊可以表示為：

由于各個子載波之間相互正交，互不干擾，每一路子載波都進行同樣的ICA處理，在此本文僅以第k個子載波數據塊X(k)為例,運用FastICA算法，進行盲信源的分離。

分離矩陣迭代公式為式(17)：

其中 H 是共軛轉置變換，g(·)和 g′(·)分別是非線性函數的一次和二次導數。

4 仿真

為了證明本文提出的盲源分離方案的性能，選取Mt=Mr=2，即兩個發送天線和兩個接收天線的MIMO系統。OFDM調制采用子載波數N=64，每一路子載波上的數據都采用4QAM的調制方式，信道階數L=8，循環前綴長度Ncp=16，OFDM數據幀個數b=50。時域到頻域之間的轉換采用64點FFT,生成了64個信道矩陣，每一個信道矩陣對應一個子載波。在信道矩陣混合數據符號之后，對每一路數據流添加加性高斯白噪聲。k=32路子載波頻域混合信道響應為:

圖5分別展示了以第k=32路子載波為例的發送數據源、信道混合矩陣混合后和FastICA算法分離后恢復的數據的星座圖。

圖5 發送信號、混合信號和恢復信號的星座圖Fig.5 Constellations of Original、mixed and recovered signals

5 結論

仿真結果表明，本文提出的基于復數數據的擴展FastICA算法能夠有效處理MIMO-OFDM系統的源信號的分離，并且算法收斂的速度也比較快。

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