數控編程中橢圓參數方程與標準方程的應用分析

秦運棟

（宿遷學院 機電工程系，江蘇 宿遷 223800）

0 引言

隨著數控技術的發展與普及，越來越多的數控加工采用編程軟件進行自動編程。但是對于一些有一定規則的圖形，若采用手工編程，只要選擇合理的編程思路，就能對程序進行方便的修改，可以避免因編程軟件在產品后期的調試、調整所帶來頻繁出程序的麻煩。如橢圓形的機加工在普通機床上無法實現，通過數控機床宏程序功能可以較好的逼近理想的橢圓形狀，但是如果編程不當將會引起理論編程形狀與實際加工形狀產生誤差的現象，本文主要討論橢圓參數方程與標準方程兩種編程方法的不同之處和注意要點。

1 橢圓方程

橢圓可以用兩種不同的數學關系式來表示：

（1）參數方程：

X=a.Cosα

Y=b.Sinα

式中：a、b 分別表示對應直角坐標系中X、Y 軸向的半軸尺寸；α 表示360°圓周上任意一點時的角度（0°～360°）；X、Y表示在圓周上任意一角度α 時，對應在橢圓上某一特征點時的x，y 坐標值。

（2）標準方程：

圖1 橢圓Fig.1 Ellipse

式中：a、b 分別表示對應直角坐標系中X、Y 軸向的半軸尺寸。X、Y 表示在已知a、b 半軸橢圓上，對應X、Y 的坐標值。

2 橢圓軌跡分析

（1）參數方程橢圓軌跡分析。橢圓參數方程在運行過程中，是通過不斷的改變角度α 計算出相應的點坐標x,y。如圖2 所示，通過圓心Ο 分別以長、短半軸a、b 為半徑作圓，同時經圓心取一角度α 作斜線ΟL。此時可以看到線段ΟL 與圓Ra、Rb 分別相交于a、b 兩點，再通過a、b 兩點分別作垂線得ax、bx 兩點，過b 點作垂線得ay 并于橢圓輪廓重合于X1Y1 點。

圖2 參數方程示意圖Fig.2 Parameter equation sketch map

通過圖2 觀察可以看出參數方程中X=a.Cosα=Ο.ax即X1；Y=b.Sinα=b.bx=ay.ax 即Y1，得到相應的點坐標X1Y1。由此可知在0°～360°取一任意角度時，都會在橢圓上產生一個相應的點x，y。當取n 個角度時便會產生n 個x，y 點，如并把每相鄰的點相互連接時便會產生逼近橢圓的形狀，若如角度取值越小曲率越平滑。

如圖3 所示，將Ο、X1Y1 點連接，會發現在第一象限中角度α1 大于α2，在加工中會產生刀具實際加工角度α2 跟隨不到理論角度α1，從而在第一象限中產生少切的現象，同時少切現象也受長、短半軸的差值及在第一象限中所處角度的影響，見圖4。

圖3 少切Fig.3 Less cutting

圖4 少切示意圖Fig.4 Less cutting sketch Map

參數方程在加工中，在第一象限會產生少切現象，在第二、三、四象限也存在類似問題，總的歸納為一、三象限少切，二四象限過切，各象限情況參見圖5。

（2）標準方程分析。標準方程在計算過程中，長短半軸尺寸已確定，當把已知值x 或y 帶入公式求另一未知數時，得到的值始終為相對應數值，不存在少切或過切現象，如圖6 所示。

圖5 第1-4 象限少切或過切示意圖Fig.5 Quadrant 1-4 Less cutting or over cutting sketch Map

3 參數方程與標準方程的應用選擇

圖6 標準方程示意圖Fig.6 Standard equation sketch Map

橢圓宏程序采用參數方程編寫較為簡單，便于記憶，但是不適合加工任意角度的橢圓，只適用于加工整圓或是90°整倍數的4 個象限特征點上，即90°、180°、270°、360°時可以選擇參數方程編程，方可避免少切或過切的現象產生，多應用于銑床。

橢圓宏程序采用標準方程編寫較為煩鎖，需要將標準方程進行推導，變換成所需的求未知數公式,如y=b/a*SQRT（a2-x2），但是標準方程每次只能加工半個橢圓，如需加工整橢圓，需要兩個宏程序配合使用，適用于車床。

橢圓編程時，選擇參數方程編程或者標準方程編程，需要根據實際加工情況進行分析，合理的選擇，能有效縮短試制階段的調試時間。如選擇不當，很容易產生次品或廢品，需要謹慎選擇。

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