尋找“那些數”背后的意蘊

穆傳慧

【設計理念】

綜合性知識有助于我們運用所學的知識有效地解決實際問題。然而，傳統的數學課程不太注意與學生熟悉的現實生活相聯系，對數學應用的處理則明顯帶有人為編造的痕跡。幾何、代數都是按著各自的學科體系以直線的結構發展，即使有些聯系也比較牽強，更不要奢談綜合運用了。這在一定程度上造成了我們的學生“強于基礎、弱于應用，強于答卷、弱于動手，強于考試、弱于創造”的局面。

或許基于上述原因，“綜合與實踐”作為新課改的一個特色和亮點“橫空出世”了。這一領域溝通了生活中的數學與課堂上的數學的聯系，使得幾何、代數和統計與概率的內容有可能交織在一起出現，使發展學生綜合應用知識的能力成為可能。面對這一陌生而又熟悉的領域，有些教師如“霧里看花”而未能識得“廬山真面目”，在深一腳、淺一腳地行走著。

《走近無理數》一課，是我根據學生的需要和自己對“綜合與實踐”教學的理解開發設計的。源于我在校園里偶然聽到兩個高年級學生的“嘀咕”——生1：怎么會有這樣的數，無限的，還不循環？生2：是啊，沒有規律，太亂了，算不出準確的結果……好奇的我帶著“職業敏感”上前詢問，原來他們是五年級的學生，剛剛學習了圓周率π。圓周率π是學生接觸的第一個無理數。相當長的一段時間內，無理數對人們來說就是一團迷霧：它是否真的存在于現實世界？它到底是不是數？如果是數又該怎樣表示？諸如此類的問題始終困擾著人們，成了人們思想上難以逾越的鴻溝。

時至今日，“無理數”這個名稱仍給許多中學生造成心理上的疑惑：既然是“實實在在”的數，為什么稱它為“無理數”？如果它的存在本身就“不合理”，為什么還要下大力氣去研究它呢？由此想來，對于剛剛接觸“無理數”的小學生來說，他們心中充滿疑惑應該是情理之中的事情。只是作為教師的我們，考慮過學生的“困惑”嗎？對于學生的“嘀咕”，我也不禁犯起了嘀咕：究竟有多少學生有這樣的疑惑呢？我們該不該為學生解惑？什么時候解？如何解呢？我隨機對所在學校五年級5個班做了一個調查：

我們剛剛學習了圓周率π，它是一個無限不循環小數，對于這樣的數，你內心的感受是什么？

A.很奇怪 B.不奇怪 C.沒想過

請在以上三個選項中選出你內心最真實的感受。

統計結果還是讓我大吃一驚——5個班274人共有225人選A，占總人數的82.1%，選B與選C的人數則分別只占總人數的12.8%與5.1%。

學生有惑，豈能不解？我翻閱了大量資料，結合學生在小學階段接觸的兩個無理數（五年級下冊的“圓周率”和六年級上冊的“黃金分割數”），反復推敲，幾經取舍，決定為讓學生在小學畢業前消除心中的疑惑，做一番“拋磚引玉”的嘗試：

【教學過程】

一、情境與導入：喚醒心靈的文化訴說

1.課件演示講述愛因斯坦12歲時，在雅各布叔叔的引導下，獨立探索證明“勾股定理”的故事。

2.學生獨立測量相關數據并發現數據背后隱藏的奧秘。

二、探索與實踐：“數學教育”的價值實現

1.走近“第一個無理數”：感受數學的經典。

師：誰愿意與大家一起分享你的探索成果？

生1：我發現3的平方加4的平方等于5的平方。

生2：我發現直角三角形底的平方加上高的平方等于斜邊的平方。

師：這樣的發現就更深入了。（生鼓掌）這就是雅各布叔叔告訴小愛因斯坦的秘密……畢達哥拉斯學派提出了一個響亮的口號——“萬物皆數也”，你怎么理解這句話？（生答略）

師：世間萬物，都可以用數來刻畫和表達。這句話說得多好啊，非常有道理！但當時的畢達哥拉斯學派卻犯了個錯誤，在他們心中，世間萬物都歸結為整數或分數，沒有其他的數。學派中一位非常優秀的青年叫希帕索斯，在用“勾股定理”研究正方形的時候，竟然發現了一個新的數——無限不循環小數，大家猜一下，希帕索斯得到了什么待遇呢？

生：他受到了人們的頂禮膜拜。

師：握握手！我非常同意你的觀點。但事實上，他被拋進了大海！因為他動搖了學派“萬物皆數”的信仰……千百年來，很多人覺得這個數沒有道理，甚至到了十五世紀，大畫家達·芬奇還說它是一個無理的數，所以無理數這個名字就流傳至今了。今天，就讓我們一起走近無理數。

2.走近圓周率：體驗數學的理性精神。

師：猜一猜，算得最準確的同學能算到多少？

生1：3.14。

生2：3.12與3.16之間。

（出示電子表格，反饋學生測量出的周長與直徑數據，表格自動計算出π值。）

師：離3.14還挺遠的，為什么呢？

生1：因為我的工具很簡陋，還因為我們測量得不夠細心。

生2：看來圓周率的測量與計算不是我們想象得那樣簡單。

3.走近黃金比：享受數學的神奇美妙。

（學生測量作業紙上的正五角星形并計算。然后反饋交流，大多數學生算出了0.618。）

師：神奇的黃金分割在我們生活中有很多很多，誰知道？（生答略）

師：其實在我們身上就有0.618（隨機選擇一位學生的數據，下半身與全身各增加4厘米后計算，學生討論為何結果接近0.618），所以啊，舞臺上，踮起腳尖的芭蕾舞演員顯得那樣優雅美麗；法國的埃菲爾鐵塔、中國的東方明珠塔無不煥發出黃金分割比的魅力。（生贊嘆）

師：神奇嗎？讓神奇繼續。音樂被譽為“思維著的聲音”，許多世界名曲的高潮部分都在整個樂曲的0.618處。世界名畫《蒙娜麗莎》畫面的主體部分占整個畫面的0.618，有愛好者竟然僅從蒙娜麗莎臉上就找到了十幾處黃金分割比。（生贊嘆）……

三、總結與評價

師：此時此刻，你心中的無理數是怎樣的？

生1：無理數很神奇。

生2：無理數不是沒有道理的數。

生3：無理數有理。

師：好一個“無理數有理”！同學們真了不起！要知道人類歷史上，從發現第一個無理數到發出這樣的吶喊經過了幾千年啊！讓我們一起呼喊——

生（齊）：無理數有理！

【課后思考】

這節課的價值到底在哪里？它是如何實現的？為了數學教育的需要，我們應該怎樣對數學成果進行再開發、再創造？課后，我一直在冷靜地思索著這諸多問題。《走近無理數》這節“綜合與實踐”活動課，在“大數學”視野下，是否應該“返璞歸真”再度思考三個問題：教什么？怎樣教？為什么這樣教？由對《走近無理數》一課的總結，我自然而然延伸到對“綜合與實踐”教學的反思。在我心中，“綜合與實踐”教學應該是這樣的：

1.綜合性與實踐性相統一。

綜合性是指數學與其他學科之間的聯系，或者是不同領域的知識與技能的綜合，還可以是同一領域不同知識和技能的結合。綜合性知識可以讓學生與問題意識、數學意識、創新意識無限親近。實踐與操作是培養學生實踐能力的重要途徑，可以讓學生“動”起來——動手、動腦、動口，調動學生多種感官協同發揮作用，提升數學素養。

2.凸顯探索性與價值性。

學習知識的最佳途徑是讓學生自己去探索與發現。同時，在與他人合作的過程中，體驗合作的力量與快樂。價值性其實體現著一種需要性，可以幫助學生更全面地了解數學，使數學在學生未來的職業與生活中發揮作用，成為學生終身受用的價值體系，是眼前利益與長遠規劃的辯證統一。

3.展露靈活性與開放性。

靈活性是指“綜合與實踐”教學不應局限在課內，要課內與課外、校內與校外相結合。設計活動時，要注意充分利用社會教育、家庭教育的資源和優勢，使學生廣泛聯系生活和生產實際以及個人經驗獲得知識和教育。開展“綜合與實踐”教學的時間與空間都是開放的。不同層次的學生都能參與，不同學生在問題解決的活動中都能展示不同的個性和思考品質。

在具有挑戰性、價值性、探索性、開放性的情境中學習，有利于學生感悟數學知識、發展策略意識、增強應用能力、錘煉思維品質、催生創新思維、提升綜合素養，最終實現從數學的“本位主義”到“大數學理想”的跨越。

（作者單位：江蘇省連云港師范高等專科學校第二附屬小學）