高中數學教學中“啟發設疑”的幾點要求
———正弦定理的教學感悟

◇ 山東 楊大偉

(作者單位:山東省淄博市高青縣第一中學)

數學中涉及眾多的公式、性質、定理,這些內容如果僅讓學生強行記憶,很容易造成遺忘或混淆.反之,若通過教師的啟發設疑,讓學生自己去發現,并進行證明,就會使學生產生深刻的印象.本文以正弦定理的教學為例,說明“啟發設疑”教學方式的應用.

案例正弦定理:在△ABC 中,a,b,c 分別為角A,B,C 的對邊(其中2R為三角形外接圓直徑).

1 要立足學生的最近發展區

教師:在直角△ABC 中,角C 為直角,由三角函數的定義,得

觀察一下這三個式子的結構,有什么特征?

生1:a 和A,b 和B,c 和C 成對出現,且這三個式子中都含有c.

教師:能不能據此建立三個式子之間的關聯?

直角三角形是特殊的平面幾何圖形,探究三角形有關性質、定理,可從直角三角形入手.

2 要承上啟下、循序漸進

教師:如果把直角三角形換成一個普通的鈍角或銳角三角形呢?

生3:如圖1所示,作BC 邊上的高AD,在直角△ABD 中有在直角△ADC 中,有所 以csinB ＝bsinC,進而可得同理,得在鈍角三角形中也存在這一關系.

圖1

數學中很多重要的性質、定理都是由特殊到一般的推理得到的,對于正弦定理的教學,由直角三角形,可順理成章地推廣到斜三角形中.

3 要善于激發學生的探究熱情

生4:c 是直角三角形的斜邊,也是三角形外接圓的直徑,那有可能等于三角形外接圓的直徑.

教師:有了大膽的假設,就進行大膽的證明.

生4:如圖2,作出△ABC的外接圓O,過點B 作直徑BD.根據圓的幾何性質可知在Rt△ABD 中即

圖2

隨著教師設問的引導,學生探究不斷深入,探究熱情被有效地激發出來,都想盡快發現這一新大陸.

4 要讓學生明確探究的價值

上述探究過程,提供了一種解題的方法,即與三角形有關的問題,往往可通過構造其外接圓進行求解.

練習在△ABC 中,a,b,c 分別為角A,B,C 所對的邊,若a＝2,A＝60°,求△ABC 面積的最大值.

構造三角形的外接圓,在圓中弦BC 為定值,其所對的圓周角為角A(定角),過點A 作AD ⊥BC 于點D,則三角形的面積等于當AD 最大時,三角形的面積最大,即△ABC 為等腰三角形.

將探究方式應用于解題,使學生明白“過程決定方法”的真諦,明確探究價值所在.

總之,數學學習就是提出、分析、解決問題的過程,恰當、巧妙的設問方式是引導學生學習新知識、探究新規律、發現新結論的有效形式.