帶有光電反饋的半導(dǎo)體激光器系統(tǒng)分叉研究*

劉夢蕾, 趙曉華

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

?

帶有光電反饋的半導(dǎo)體激光器系統(tǒng)分叉研究*

劉夢蕾, 趙曉華

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

主要研究了一個具有AC耦合非線性光電回路的單模半導(dǎo)體激光系統(tǒng)的分叉行為.應(yīng)用分叉理論及Hopf分叉定理，詳細(xì)分析了它的平衡點分叉及穩(wěn)定性隨系統(tǒng)參數(shù)的變化規(guī)律，獲得了平衡點附近存在Hopf分叉周期解的解析條件.最后的數(shù)值試驗表明這樣的周期解是不穩(wěn)定的.

半導(dǎo)體激光器;穩(wěn)定性;平衡點;Hopf分叉

0 引 言

半導(dǎo)體激光器由于其所用材料和結(jié)構(gòu)的固有特性，使得其對外部微擾十分敏感，易于產(chǎn)生非線性 動態(tài)輸出.半導(dǎo)體激光器的混沌、雙穩(wěn)、多穩(wěn)等非線性輸出特性在光通信、光存儲、光開關(guān)器件、光學(xué)計算機(jī)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用前景.基于此，對半導(dǎo)體激光器非線性特性的基礎(chǔ)性理論及實驗研究十分重要[1].

在半導(dǎo)體激光器中，光電反饋是對注入電流的一個擾動，從而誘導(dǎo)不穩(wěn)定性.在半導(dǎo)體激光器的光反饋中，相位的敏感性對激光器的動力學(xué)起重要作用.然而,不同于光反饋，在光電反饋系統(tǒng)中并不需要考慮相位效應(yīng)，這是因為相位信息在反饋過程中通過光電探測器已消除.通過注入電流的光電反饋可分為2類：一是正反饋，二是負(fù)反饋.在負(fù)反饋中，反饋電流是從偏注電流中扣除的，它導(dǎo)致更強烈的松弛振蕩.另一方面，在正反饋中，反饋電流加到偏注電流中，增益開關(guān)會驅(qū)動激光器在輸出功率中呈現(xiàn)脈沖狀態(tài)[2].

以及時間尺度t′=γ0t，則系統(tǒng)(1)可簡化為

文獻(xiàn)[3-4]對系統(tǒng)(2)通過數(shù)值試驗和理論推導(dǎo)研究了慢混沌激發(fā)序列的存在性，發(fā)現(xiàn)了不同的時間尺度導(dǎo)致不變流形非常接近一個鞍焦點，類似一個同宿軌，但是，精確的同宿連接并沒有出現(xiàn).文獻(xiàn)[4]研究了該系統(tǒng)混沌脈沖(chaotic spiking)或激發(fā)脈沖(excitable spikes)的存在性，得出當(dāng)固定反饋增益和切斷頻率時，增加抽送電流，將出現(xiàn)混沌激發(fā)，此時大強度脈沖被不規(guī)則時間間隔分開，系統(tǒng)展現(xiàn)出小振幅混沌振蕩；當(dāng)抽送電流保持不變，放大器增益改變時，可得到相似的現(xiàn)象；當(dāng)切斷頻率增加時，也出現(xiàn)了混沌激發(fā)機(jī)制.

本文通過對三維系統(tǒng)(2)的平衡點及其穩(wěn)定性分析，給出了系統(tǒng)隨參數(shù)變化時平衡點類型及其穩(wěn)定性的相應(yīng)變化;同時,給出了系統(tǒng)發(fā)生平衡點分叉及Hopf分叉的參數(shù)條件，重點研究了Hopf分叉的類型及其分叉周期解的穩(wěn)定性.

1 平衡點及穩(wěn)定性分析

直接分析不難導(dǎo)出，當(dāng)δ0≠1時，系統(tǒng)(2)存在2個平衡點A(0,δ0,0)和B(δ0-1,1,1-δ0),當(dāng)δ0=1時，系統(tǒng)(2)只存在1個平衡點(0,1,0).進(jìn)一步,考慮到變量x對應(yīng)于光子密度只能取正值,因此推知，在δ0≤1時系統(tǒng)只有1個平衡點A(0,δ0,0),而δ0>1時系統(tǒng)有2個平衡點A(0,δ0,0)和B(δ0-1,1,1-δ0),在δ0=1處發(fā)生平衡點分叉.

為了分析各平衡點的穩(wěn)定類型，先計算系統(tǒng)在各平衡點處的Jacobi矩陣

式(3)中:E分別取平衡點A,B;(x,y,w)分別取對應(yīng)平衡點的坐標(biāo)值;fx(w+x)與fw(w+x)分別是f(w+x)對x和w的導(dǎo)數(shù).下面通過討論J(E)的特征值分布來獲取平衡點的穩(wěn)定性質(zhì).

1.1 平衡點A的穩(wěn)定性及其類型

系統(tǒng)(2)在平衡點A(0,δ0,0)處對應(yīng)線性系統(tǒng)的Jacobi矩陣為

其對應(yīng)的特征方程為

f(λ)=(λ-δ0+1)(λ+γ)(λ+ε). (5)

由式(5)可知，特征值為：λ1=δ0-1,λ2=-γ,λ3=-ε，則可得下面的命題：

命題1當(dāng)δ0>1,γ>0,ε>0時，特征方程存在1個正的特征值和2個負(fù)的特征值，此時平衡點A是不穩(wěn)定鞍點；當(dāng)δ0<1,γ>0,ε>0時，特征根為 3個負(fù)實根，此時，平衡點A是穩(wěn)定結(jié)點.

1.2 平衡點B的穩(wěn)定性及其類型

系統(tǒng)(2)在平衡點B(δ0-1,1,1-δ0)(δ0>1)處對應(yīng)線性系統(tǒng)的Jacobi矩陣為

其對應(yīng)的特征方程為

下面討論f(λ)=0的根的情況.

1)f(λ)=0有3重實根λ0，即

比較式(7)與式(8)的系數(shù)得

由ε+γδ0=-3λ0可知λ0<0,平衡點B是穩(wěn)定的.

2)f(λ)=0沒有3重實根.此時因為f(0)=-(1-δ0)γε，所以當(dāng)δ0>1時，f(0)>0，從而必存在1個實根λ3<0,進(jìn)而有f(λ)=(λ-λ3)g(λ).其中:

g(λ)=λ2+(ε+γδ0+λ3)λ+p;

p=γδ0ε-(1-α)(1-δ0)γ+λ3(ε+γδ0+λ3).

進(jìn)一步分析g(λ)的根即可得全部特征根的信息及平衡點B的穩(wěn)定性質(zhì)如下:

1)當(dāng)ε+γδ0+λ3>0時，λ1,2<0，此時，3個特征根均為負(fù)實根，平衡點B為穩(wěn)定結(jié)點;

2)當(dāng)ε+γδ0+λ3<0時，λ1,2>0，此時，2個特征根為正實根、1個為負(fù)實根，平衡點B為鞍點;

3)當(dāng)ε+γδ0+λ3=0時，λ1,2=0，此時，平衡點B的穩(wěn)定性待定.

1)當(dāng)ε+γδ0+λ3>0時，λ1,2<0，此時，其特征根為3個負(fù)實根，平衡點B穩(wěn)定;

2)當(dāng)ε+γδ0+λ3<0時，λ1,2>0，此時，其特征根為2個正實根和1個負(fù)實根,平衡點B不穩(wěn)定.

1)當(dāng)ε+γδ0+λ3>0時，λ1,2為共軛復(fù)數(shù)根，且實部小于0，平衡點B穩(wěn)定;

2)當(dāng)ε+γδ0+λ3<0時，λ1,2為實部大于0的共軛復(fù)數(shù)根,平衡點B不穩(wěn)定;

2 平衡點B附近的Hopf分叉分析

2.1 Hopf分叉理論

考慮系統(tǒng)

假設(shè)F(x,μ)是參數(shù)μ的解析函數(shù)，不妨設(shè)對一切μ有F(0,μ)=0，即x=0是系統(tǒng)(10)的平衡點.記A(μ)=DxF(0,μ),將線性部分分離出來.系統(tǒng)(10)可改寫為如下形式:

假設(shè)A(μ)的特征值為

且在臨界值μc處，有

定理2假設(shè)系統(tǒng)(10)滿足定理1的條件，且μ2≠0，則當(dāng)μ2>0時，Hopf分叉周期解pε(t)在μ>μc=0一側(cè)存在(稱為跨臨界分叉)；而當(dāng)μ2<0 時，Hopf分叉周期解pε(t)在μ<μc一側(cè)存在(稱為亞臨界分叉).進(jìn)一步，若μ2α′(μc)>0，則分叉周期解是漸進(jìn)穩(wěn)定的；若μ2α′(μc)<0，則分叉周期解是不穩(wěn)定的.

在Hopf分叉理論的具體應(yīng)用中，判定Hopf分叉周期解的分支方向和穩(wěn)定性的關(guān)鍵是確定μ2的符號.文獻(xiàn)[6-7]給出了如下便于應(yīng)用的公式：

(14)

式(14)中:

其中，P為非奇異矩陣，且使得

成立.

2.2 平衡點B附近的分叉

命題5對于滿足條件

Δ2=-4(γδ0ε-(1-α)(1-δ0)γ)<0

的正參數(shù)γ,ε,s,α,當(dāng)δ0接近臨界值δH的某一側(cè)時，系統(tǒng)(2)在平衡點B附近存在Hopf分叉周期解.

進(jìn)一步確定平衡點B附近Hopf分叉周期解的分叉方向和穩(wěn)定性.

首先將平衡點B移至原點，作變換

x=x1+(δ0-1),y=x2+1,w=x3+(1-δ0),

則系統(tǒng)(2)變?yōu)?/p>

可將系統(tǒng)(17)改為

J(B)X+S(X).

(18)

式(18)中，X=(x1,x2,x3)T.注意，J(B)就是平衡點B處的Jacobi矩陣，而S(X)表示非線性部分.

根據(jù)線性代數(shù)知識，存在可逆線性變換

X=P(δ0)Y,Y=(y1,y2,y3)T,

使得在這個變換下，系統(tǒng)(18)變?yōu)?/p>

式(19)中，

在δ0=δH處

(21)

P(δH)的逆矩陣為

(22)

式(22)中,d為矩陣P(δH)的行列式.若記系統(tǒng)(19)的非線性項為

P-1(δ0)S(P(δ0)Y)F(Y,δ0)=(F1,F2,F3)T,

則代入Hopf分叉臨界參數(shù)值δ0=δH，可得F(Y,δH)的分量.再由定理2便可判別Hopf分叉周期解的穩(wěn)定性和分叉方向.其中，

(23)

上面計算出的μ2的表達(dá)式無法直接分析，但利用Maple數(shù)學(xué)軟件并通過數(shù)值模擬可以得到它的值.

為了說明上述Hopf分叉周期解的分叉方向和穩(wěn)定性，筆者給出如下一個實例.

取s=11,α=1,γ=0.001,ε=0.000 02,代入式(16)，利用Maple解得δH=1.001 022 066或δH=998.978 977 9,進(jìn)而計算得相應(yīng)的平衡點B(0.001 022 066,1,-0.001 022 066)或B(997.978 977 9,1,-997.978 977 9)滿足Hopf分叉的條件.再用Maple計算可得

α′(δH)<0,μ2α′(δH)<0.

由定理2可知，Hopf分叉周期解是通過跨臨界分叉出現(xiàn)的，且是不穩(wěn)定的.即當(dāng)δ0接近并大于δH時，在平衡點B附近存在一個不穩(wěn)定的周期解.故可得如下結(jié)論:

定理3對于滿足條件

Δ2=-4(γδHε-(1-α)(1-δH)γ)<0

的正參數(shù)γ,ε,s,α，函數(shù)μ2恒大于零，當(dāng)參數(shù)δ0接近并大于臨界值δH時，系統(tǒng)(2)在平衡點B附近分叉出一個不穩(wěn)定周期解.

[1]Chow W W,Koch S W，Sargent M.Semiconductor laser physics[M].Berlin：Springer-Verlag,1994.

[2]Ohtsubo J.Semiconductor lasers-stability,instability and chaos[M].Berlin：Springer-Verlag,2008.

[3]Al-Naimee K,Marino F,Ciszakl M,et al.Chaotic spiking and incomplete homoclinic scenarios in semiconductor lasers with optoelectronic feedback[J].New J Phys,2009,11:073022.

[4]Al-Naimee K,Marino F,Ciszak1 M,et al.Arecchi,excitability of periodic and chaotic attractors in semiconductor lasers with optoelectronic feedback[J].Eur Phys J D,2010,58(2):187-189.

[5]Hassard B,Kazarinoff N D,Wan Y.Theory and application of Hopf bifurcation[M].Cambridge:Cambridge University Press,1981.

[6]Hsü I D,Kazarinoff N D.An applicable Hopf bifurcation formula and instability of small periodic solutions of the Field-Noyes model[J].J Math Anal Appl,1976,55(1):61-89.

[7]Hsü I D,Kazarinoff N D.Existence and stability of periodic solutions of a third-order nonlinear autonomous system simulating immune response in animals[J].Proc Roy Soc Edinburgh Sect A,1977,77(1/2):163-175.

(責(zé)任編輯 陶立方)

Studiesonbifurcationofasemiconductorlaserwithoptoelectronicfeedback

LIU Menglei, ZHAO Xiaohua

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

Bifurcation behaviors of a closed-loop optical system, consisting of a single-mode semiconductor laser with AC-coupled nonlinear optoelectronic feedback, were theoretically studied. By using bifurcation method of dynamical system including the Hopf bifurcation theorem, bifurcation and stability of equilibria were analysed in detail and conditions under which Hopf bifurcation occured near an equilibrium were obtained. Finally, numerical experiments were carried out to show that Hopf bifurcating periodic orbit was unstable.

semiconductor laser; stability; equilibrium; Hopf bifurcation

10.16218/j.issn.1001-5051.2015.04.003

2014-04-27；

：2014-11-26

國家自然科學(xué)基金資助項目(10872183;11172269)

劉夢蕾(1990-),女,江西瑞金人,碩士研究生.研究方向：微分方程與動力系統(tǒng).

趙曉華.E-mail: xhzhao@zjnu.edu.cn

O19

：A

：1001-5051(2015)04-0372-07