一類具臨界指數的分數階拉普拉斯方程對稱解的存在性*

沈 慧1, 王桂云2, 沈自飛1

(1.浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004;2.浙江交通職業技術學院 數學教研室,浙江 杭州 311112)

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一類具臨界指數的分數階拉普拉斯方程對稱解的存在性*

沈 慧1, 王桂云2, 沈自飛1

(1.浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004;2.浙江交通職業技術學院 數學教研室,浙江 杭州 311112)

研究了一類分數階拉普拉斯方程

解的存在性問題.其中,2*(s)=2N/(N-2s),N>2s,s∈(0,1),函數f:RN×R→R對于u次臨界增長.運用變分方法建立了方程對稱解的存在性定理.

分數階拉普拉斯算子;變分法;臨界非線性;對稱解

0 引 言

近年來,分數階拉普拉斯算子方程解的存在性問題引起了很多學者的關注,這類問題來自于一些不同類的實際問題,比如阻礙問題、金融市場問題、相位變換問題、反常擴散問題、晶體脫位問題、軟薄膜問題、半透膜問題、極小曲面問題、材料科學、水波問題，等等.

文獻[1]研究了帶分數階拉普拉斯算子的非線性薛定諤方程

式(1)中:0<α<1;N≥2;f:RN×R→R是超線性的且對于u次臨界增長.分數階拉普拉斯算子可以被刻畫為F((-Δ)αφ)F(ζ)=|ζ|2α(φ)(ζ),其中F表示傅里葉變換.文獻[1]證明了正解的存在性,并且分析了解的正則性、退化性和對稱性.

本文考慮以下方程:

式(2)中:2*(s)=2N/(N-2s);N>2s;s∈(0,1)是固定的;Hs(RN)是分數階Sobolev空間,被定義為

其范數為

(-Δ)s是分數階的拉普拉斯算子,被定義為

若對任意φ∈Hs(RN),有

(3)

則稱u∈Hs(RN)是方程(2)的弱解.

方程(2)的能量泛函被定義為

下面給出方程(2)中函數f:RN×R→R的假設:

(f0)f:RN×R→R是Carethéodory函數.

(f2)對于任意的x∈RN,t∈R,存在a1,a2>0,q∈(2,2*(s)),使得

|f(x,t)|≤a1+a2|t|q-1.

(f3)對于任意的M>0,sup{|f(x,t)|,x∈RN,|t|≤M}<+∞.

(f4)存在μ>2,使得對于所有的t>0和x∈RN,

0<μF(x,t)≤tf(x,t),

為方便起見,記

本文的主要結果是:

定理1如果N>2s,s∈(0,1),函數f滿足假設(f0)～(f4),那么方程(2)至少存在一個非平凡徑向對稱解.

1 一些概念及引理

引理1[1]如果2≤q≤2*(s)=2N/(N-2s),那么

且當 2≤q<2*(s),Ω?RN是一個有界區域時,Hs(Ω)中的任意有界序列{uk}在Lq(Ω)中有一個收斂子列.

由引理1 知,式(4)所定義的Ss是有意義的,且Ss>0.

引理2[1]設R>0,N≥2,2

那么在Lp(RN)中uk→0.

證明 對任意的x∈RN,R>0,記m(x,R)是球心在以|x| 為半徑、原點為球心的球內,且以R為半徑的不相交球的最大個數.易知,當|x|→∞時,有m(x,R)→∞,且對任意的u∈L2(RN),r>0,有

且

于是,對于q∈(2,2*(s)),由 式(5)、式(6)和引理2可知,在Lq(RN)中,有

unj→0,j→∞. (8)

即{un}有收斂子列.引理3 證畢.

引理4[2]如果f滿足假設(f0)～(f4),那么對于任意的ε>0,存在δ=δ(ε)>0，使得對于任意的x∈RN,t∈RN,有

|f(x,t)|≤2ε|t|+qδ(ε)|t|q-1. (9)

且進一步有

式(10)中:F由假設(f4) 給出;q∈(2,2*(s)).

引理5[3]如果f滿足假設(f0)～(f4),那么存在2個正可測函數m=m(x)和M=M(x),使得對于任意的x∈RN,t∈R,有

式(11)中:F由假設(f4)給出;2<μ<2*(s);m,M∈L∞(RN).

2 定理1 的證明

泛函I的Fréchet導數為

為了證明定理1,還需要下面的引理:

其中,C4,C5和C6是適當的正數.

即引理6成立.引理6證畢.

再由假設(f4)和式(4)可知,存在t0>0,使得

引理7證畢.

特別地,可取

式(16)中:u0由式(13)給出;t0>0充分大.

容易看出,I(0)=0<β,其中β由引理8給出.設

式(18)中:

e=t0u0由引理8給出.

引理9[2]如果N>2s,s∈(0,1),f滿足假設(f0)～(f4),那么式(18)中的常數c滿足

式(20)中:β由引理6給出;Ss由式(4)定義.

且

證明 分以下幾步證明引理10.

事實上,對于任意的j∈N,由式(21)和式(22)知,存在C1>0,使得

進一步,由式(23)和式(24)可知

由假設 (f4),有

(27)

由2<μ<2*(s)及式(25)、式(26)可知,序列{uj}在L2*(s)(RN)中是有界的.又因為L2*(s)(RN)是自反空間,所以序列{uj}存在子列,使得在L2*(s)(RN)中有

uj?u∞,j→∞. (28)

對于任意的ν∈(2,2*(s)),由引理3知,{uj}存在子列,使得在Lν(RN)中有

|uj|2*(s)-2uj?|u∞|2*(s)-2u∞,j→+∞. (30)

又由引理4可知

現取ε=1,則存在常數C1,C2>0,使得

容易看到,當j→+∞時,

特別地,當j→+∞時,有

(36)

因此,u∞使得式(3)成立.

3)以下不等式成立：

于是由假設(f4)便有

(38)

且

因此,

(40)

(41)

由〈I′(u∞),u∞〉=0和〈I′(uj),uj〉→0可得

定理1的證明 由引理6、引理8、引理10和Mountain Pass定理,即可知定理結論成立.定理1證畢.

[1]Felmer P,Quaas A,Tan J G.Positive solutions of nonlinear Schr?dinger equation with fractional Laplacian[J].Proc Roy Soc Edinburgh Sect A,2012,142(6):1237-1262.

[2]Servadei R,Valdinoci E.A Brezis-Nirenberg result for non-local critical equations in low dimension[J].Commun Pure Appl Anal,2013,12(6):2445-2464.

[3]Servadei R,Valdinoci E.Mountain Pass solutions for non-local elliptic operators[J].J Math Anal Appl,2012,389(13):887-898.

[4]Brézis H,Nirenberg L.Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents[J].Comm Pure Appl Anal,1983,36(4):437-477.

(責任編輯 陶立方)

Existence of symmetry solutions for a fractionalLaplacian equation with critical nonlinearity

SHEN Hui1, WANG Guiyun2, SHEN Zifei1

(1.CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China; 2.MathematicsTeachingandResearchSection,ZhejiangInstituteofCommunications，HangzhouZhejiang311112,China)

The existence of solutions for the following nonlocal fractional Laplacian equation was studied,

with critical exponent 2*(s)=2N/(N-2s),N>2sands∈(0,1).f:RN×R→Rhad subcritical growth with respect tou. The existence of symmetry solutions for the equation was obtained by using variational method.

fractional Laplacian; variational method; critical nonlinearity; symmetry solutions

10.16218/j.issn.1001-5051.2015.04.004

2014-06-05；

：2015-02-03

國家自然科學基金資助項目(11271331)

沈 慧(1988-),女,河南信陽人,碩士研究生.研究方向：非線性泛函分析.

沈自飛.E-mail: szf@zjnu.cn

(-Δ)su+u=|u|2*(s)-2u+f(x,u),x∈RN

O175.25

：A

：1001-5051(2015)04-0379-08

(-Δ)su+u=|u|2*(s)-2u+f(x,u),x∈RN