錐形揚聲器振膜的諧波失真*

鄭保賓， 張志良

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

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錐形揚聲器振膜的諧波失真*

鄭保賓， 張志良

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

用揚聲器振膜在某個驅動頻率下的線性振型對連續體進行了離散，得到了1個自由度的非線性振動方程，給出了由積分表示的方程中系數的計算表達式.通過求解非線性方程得到了諧波失真與非線性系數的關系.然后通過數值計算探討了錐體的幾何參數對非線性系數的影響.計算結果表明:選擇合適的幾何參數，可以使諧波失真得到一定程度的減小.

錐形揚聲器；諧波失真；非線性系數；數值計算

0 引 言

揚聲器振動系統的非線性在低頻處主要由驅動力和支撐系統剛度的非線性引起，在中高頻處主要由振膜的非線性引起.而振膜的非線性，則由應變和位移關系的非線性，即幾何非線性引起，文獻[1-3]對于揚聲器分諧波失真的研究證實了這一點.振膜非線性還可引起分叉和混沌等復雜的非線性現象[3-6].

文獻[7]在已知薄殼振型的條件下，將振型展開為薄殼線性模態的疊加，根據虛功原理，推導得到了1組離散的耦合非線性模態振動方程.文獻[1]采用類似方法處理了旋轉薄殼非線性振動方程的離散問題，并給出了方程系數的有限元計算表達式.不同于上述將振型分解為固有模態的疊加方法，本文假設揚聲器振膜在考慮非線性因素后振型保持不變，即直接根據線性振型計算振膜的勢能和動能，從而得到非線性振動方程.由于根據線性振型離散得到的僅是1個非線性方程，求解和計算相對容易，這是本文方法的優點.但本方法不適用于非線性因素對振型有明顯影響的情形，例如揚聲器振膜的分諧波、分叉和混沌等非線性效應[2-6].在得到并求解非線性振動方程的基礎上，本文進一步計算分析幾何參數對揚聲器諧波失真的影響.

1 彈性體錐殼的基本幾何結構

錐形揚聲器振膜的幾何結構如圖1所示.x為經線坐標;u,w分別為錐體中面上一點的縱向和橫向位移;Ra和Rb分別為揚聲器錐體的內邊緣和外邊緣的半徑;α為半錐頂角.取錐體的頂點為經線坐標原點，xa,xb分別為內、外邊緣處的經線坐標.

2 錐殼非線性振動方程的推導和求解

2.1 方程的推導

推導過程和文獻[1]類似，為了論文的完整性和方便閱讀，簡述過程如下.Hamilton變分原理指出，從t1狀態到t2狀態過程中，對于所有的可能運動狀態，真實的解滿足[8]

式(1)中：T為動能；U為應變能；FI為荷載體力分量；fI為邊界面力分量.

設揚聲器振膜在考慮非線性因素后振型保持不變，即設非線性位移和線性振型的關系為

式(2)中的線性振型ui和wi根據Frankort理論[9]由線性方程采用數值方法求得.

考慮了幾何非線性的應變能U、動能T和位移u,w的關系[8]，體荷載FI為慣性力，面力fI為振膜受到的軸向驅動力，將其代入式(1)，經較為復雜的推導過程得到非線性振動方程如下：

式(3)中的阻尼項是由令楊氏模量為復數引入的，即令E=E(1+jγ)；其余符號的表達式如下：

式(4)中：伸長剛度K=Eh/(1-υ2);E為振膜的楊氏模量;h為厚度;υ為泊松系數；N1i,N2i，M1i，M2i分別為由線性振型ui和wi算得的縱、周向內力和力矩;Fa為軸向驅動力；uia,wia表示振型函數在邊界處的取值；撇代表對x求導.

由于線性振型ui和wi隨頻率而變，故非線性方程的系數同樣隨頻率而變，本文在每個分析頻率上重新計算線性振型ui和wi.

2.2 方程的求解

將式(3)寫成如下形式：

式(5)中,

采用多尺度法[10]求解方程(5)，可得基波振幅a的幅頻方程如下：

直流項和二次、三次諧波項的幅值如下：

這樣首先通過式(7)求得基波項振幅a，再由式(8)可求得二次、三次諧波項振幅，結合此時的振型函數進而可求得基波和二次、三次諧波的聲壓.由式(8)可見，揚聲器的2次諧波失真由非線性系數k2引起，3次諧波失真由非線性系數k3和k2共同引起.

3 數值計算

3.1 計算實例參數

算例采用Frankort[9]給出的一個揚聲器錐體模型，其幾何、材料參數：半頂角α=50°;錐底半徑Ra=17 mm；Rb=93 mm；厚度h=0.23 mm；楊氏模量E=2×109N/m2；密度ρ=600 kg/m3；泊松系數ν=0.3;阻尼系數γ=0.001.計算中，軸向驅動力取2.6 N，聲壓測試距離r取為1 m.

3.2 計算結果與分析

圖2所示為2個典型的振膜橫向線性振型，頻率較低時，位移基本均勻，振膜近似作剛體運動，因而非線性很小；進入分割振動區域后，應變增大，非線性效應隨之增大.

揚聲器遠場軸線上聲壓幅值為[9]

式(9)中的Vt(x)為橫向速度.空氣中聲壓級定義為SPL=20 lgp+94.算得錐體基波和諧波聲壓級如圖3所示.可見，諧波失真的較大值出現在共振頻率處，即基波聲壓響應的峰值處.

3.3 錐體幾何參數對諧波失真的影響

由式(8)可知，要減小諧波失真，必須使k2/k1,k3/k1盡量小.為了方便考察振膜參數和諧波失真的關系，引入指標

圖4顯示錐頂角對Г2和Г3數值的影響，可以看到，隨著錐頂角度的減小，在前8階共振頻率范圍內，相對非線性系數Г2和Г3在逐漸減小.另外，從總體上看，隨著錐頂角度的減小，曲線的起伏逐漸平緩，這將有利于輻射聲壓曲線的平坦響應.厚度對Г2和Г3數值的影響見圖5.隨著厚度的增加，Г2和Г3總體在逐漸減小，所以適當增加振膜厚度，可以減小諧波失真.

4 結 論

揚聲器錐體的幾何參數是影響振型函數形狀的重要因素.本文的計算表明，合理選擇揚聲器振膜的錐頂角度和適當增加振膜的厚度,可以有效減小揚聲器振膜的諧波失真.本文提出的揚聲器振膜的諧波失真分析方法，可用于工程實際中揚聲器振膜的優化設計.

[1]張志良，楊虹，劉世清.揚聲器輻射體旋轉薄殼的非線性振動方程[J].聲學學報，2012，37(2)：123-131.

[2]張志良，劉世清，曾憲陽.無內共振時的揚聲器分諧波[J].聲學學報，2012，37(3)：279-285.

[3]張志良，劉世清，李小菊.有內共振時的揚聲器分諧波和混沌[J].聲學學報，2012，37(4)：386-392.

[4]Wei Rongjue,Tao Qingtian.Bifurcation and chaos of direct radiation loudspeaker[J].Chinese Phys Lett,1986,3(10):469-472.

[5]Miao Guoqing,Ni Wansun,Tao Qingtian,et al.Bifurcation,chaos and hysteresis in electro-dynamic cone loudspeaker[J].Chinese Phys Lett,1990,7(2):68-71.

[6]Zhang Zhiliang,Tao Qiangtian.Experimental study of non-linear vibrations in a loudspeaker cone[J].Journal of Sound and Vibration,2001,248(1):1-8.

[7]Radwan H,Genin J.Non-linear modal equations for thin elastic shells[J].Non-linear Mechanics,1975,10(1):15-29.

[8]李卓球，董文堂.非線性彈性理論基礎[M].北京：科學出版社，2004：129-138.

[9]Frankort F J M.Vibration and sound radiation of loudspeaker cones[M].趙志誠，楊良柏，李聯芳,譯.北京：科學出版社，1988：70.

[10]周紀卿，朱因遠.非線性振動[M].西安：西安交通大學出版社，1998：200-203.

(責任編輯 杜利民)

Theharmonicdistortionofloudspeakerscausedbyconevibration

ZHENG Baobin, ZHANG Zhiliang

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering，ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

The nonlinear vibration equation for loudspeaker shell was obtained by using its linear displacement patterns. The coefficients of the nonlinear equation were given in integral form. The relation between the harmonic distortion and nonlinear coefficients was presented. The effects of the geometrical parameters on harmonic distortion were discussed. The results showed that nonlinear harmonic distortion could be decreased by choosing proper loudspeaker diaphragm geometry.

cone loudspeakers; harmonic distortion; nonlinear coefficients; numerical calculation

10.16218/j.issn.1001-5051.2015.04.007

2014-08-08；

：2015-01-30

國家自然科學基金資助項目(11174255)

鄭保賓(1990-),男,山東聊城人,碩士研究生.研究方向：揚聲器非線性失真.

張志良.E-mail: zzl@zjnu.cn

O326

：A

：1001-5051(2015)04-0397-05