教材研究：編排意圖指向何方？
——以人教版“平方根”教學編排為例

☉江蘇省南通市第一初級中學 周 玉

教材研究：編排意圖指向何方？
——以人教版“平方根”教學編排為例

☉江蘇省南通市第一初級中學 周 玉

華東師大終身教授鐘啟泉先生關于教材使用，曾有深刻的闡釋，鐘教授認為：“教師究竟是‘教教材’還是‘用教材教’，這是區分新舊教學的分水嶺.”并進一步指出：“教師的‘教材研究’，實際上是指教師在深刻理解教材本質的基礎上，思考如何借助教材使學習者掌握某種能力（關于自然、社會、文化的知識、技能和態度），從而思考怎樣的教學設計.教師的‘教材研究’的焦點在于如何實現教材的兩個轉化.”受到啟發，筆者將圍繞義務教育階段人教版教材中關于“平方根”的編排，就其編排意圖展開深入思考，與同行展開研討，就教于大家.

一、人教版“平方根”的編排及初步理解

在人教版“平方根”中，教科書從典型的實際問題（已知正方形的面積求邊長）出發，首先介紹算術平方根，給出算術平方根的概念和它的符號表示；再對數的平方根展開討論，介紹利用乘方與開方互為逆運算求數的平方根的方法，給出平方根的概念和它的符號表示，并探討數的平方根的特征.

教材中“算術平方根”是這樣定義的：“如果一個正數x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x叫做a的算術平方根.”在實際教學過程中發現，學生無論在嘗試定義，還是理解定義時，往往會忽視“正數x”這個條件，所以導致部分同學在求算術平方根時反而多出一個答案.事實上能做對的同學也未必真正理解了算術平方根的定義，他們中部分人對數的認識，本身就僅停留在前面兩個學段所學的“正有理數和零”的范疇，做對實屬歪打正著.因為他們在后面“平方根”的學習過程中，又再一次暴露出這個問題，出現了丟解的情況，對于“算術平方根”與“平方根”之間的聯系與區別，學生在認知結構上未能將新經驗與舊經驗進行綜合概括去建構知識，所以理解出現偏差.

鑒于學生現有的知識儲備與認知水平，我們能否把教學順序進行調整，先介紹平方根，再介紹算術平方根呢？

先來看看教科書為何作此安排，人教版八年級上冊《教師教學用書》指出：由于實際中所求問題的答案往往是正數的情況，因此教科書先介紹算術平方根，讓學生看到算術平方根與實際的聯系，在學習算術平方根的基礎上再學習平方根.初中數學新課程特別重視問題情境的創設，常常把它作為數學知識的重要來源.那么此處的問題情境究竟能否起到拋磚引玉的作用呢？

二、基于“認知根源”的進一步分析

塔爾在1989年提出認知根源的概念，與某個數學概念相關的特定的生活經驗是個體認識這個數學概念的認知根源.教材為引入“算術平方根”創設的問題情境，可以看作是學生學習“算術平方根”的認知根源.認知根源具有兩重性，一方面有可能助長概念生成，一方面也可能阻礙概念發展.此處的問題情境有助于學生生成“算術平方根”的概念，卻不利于學生在“算術平方根”的基礎之上建構“平方根”的概念，甚至給學生造成一種錯誤的印象，即“方程x2=25只有一個解”.

如何發揮這個認知根源的優勢，幫助學生由具體的實例向抽象的概念過渡，避免給“平方根”的學習造成不必要的困惑，筆者認為可以調換一下“平方根”的教學順序，先教“平方根”再教“算術平方根”.順便指出，著名特級教師李庾南老師在平方根的第1課時，就是先組織學生學習平方根，再引出算術平方根的概念，筆者感覺非常自然、大方，而且有數學味.

學生在抽象“已知正方形求面積”這個問題時，僅能到達“已知x2=25，求x”這個水平，無法達到“已知正數x的平方等于25，求正數x”這一水平，鑒于此，作為教者，我們應充分尊重學生的實際認知能力，在此基礎上開展教學.

平方根屬于運算性概念，而運算性概念包含“過程”和“對象”兩重特性.斯發德認為“運算性（即過程）是獲得概念的第一步”，研究表明，只有在“過程”上花足夠的時間，積累相當多的經驗，才能最終形成概念“對象”.由此可見，平方運算是認識“平方根”的基礎，而且是必經之路.那么就讓學生從平方運算“x2=25”開始，認識開平方運算、認識平方根，又有何不可呢？為什么要人為地制造障礙，增加附加條件“（正數x）2=25”，使簡單運算復雜化呢？

而且學生的這個認知漏洞可以在后面的解答中得到彌補，因為“正方形邊長不可能為負數”這一認知水平學生還是具備的，學生完全可以通過檢驗這一步驟來完善整個問題的解答.也許學生在建模過程中出現瑕疵，讓教學看上去不那么完美，但是以尊重學生認知規律為基礎的教學本身才是完美.教材如此安排，還有一個原因是“正數有兩個平方根”與學生過去遇到的運算結果唯一的情況有所不同，學生不易接受，所以教材先介紹算術平方根的概念，再介紹平方根的概念.那么學生是否真的對此一窮二白，毫無準備呢？事實上，學生進入初中數學的學習，遇到的第一個問題就是“從正數到負數”，因此八年級的學生所認識到的數已擴充至有理數，包括正有理數、負有理數和零，“負數”是他們認知概念中必須具備的；而且在七年級第一學期就認識到“絕對值是1的數有兩個”這類雙解的問題.

三、建議先講平方根，再定義算術平方根

前蘇聯教育家維果茨基提出的最近發展區理論表明，兒童有兩種發展水平，“一種是已經達到的發展水平；另一種是兒童可能達到的發展水平”，這兩種水平之間的距離，就是“最近發展區”.他主張“教學應走在學生已有發展水平前面”，那么在“平方根”的教學中，我們完全可以不必降低要求，從“算術平方根”入手；相反我們可以在學生已有發展水平之上，提出問題，引出平方根的概念，這樣才能真正促進學生的發展，而不是原地踏步.也許從難到易有違情理，看上去不那么完美，但是帶動學生更高、更快、更強地發展才是真正的完美.新課程以促進學生全面、持續、和諧的發展為目標，它不僅要考慮數學自身的特點，更強調遵循學生學習數學的心理規律，而先講平方根正是“數學的不完美”成就了“學生學習的完美”.

1.喻平.數學教育心理學［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

2.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.鐘啟泉.新舊教學的分水嶺［J］.基礎教育課程，2014（2）.

4.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013（6）.

5.劉東升.悠然神會，妙處與君說——李庾南老師“平方根”課例賞析［J］.中國數學教育，2014（5）.