高考試題中的圖像斜率問題

徐定邦

（揚(yáng)州市新華中學(xué) 江蘇 揚(yáng)州 225009）

物理圖像不僅是一種純粹的數(shù)學(xué)表達(dá)，而且包含著豐富的內(nèi)容，在近幾年的全國各地高考題中圖像題的比例越來越大，2014年各地高考物理試題，除了軌跡圖和示意圖外，每一份試卷中至少會有兩道關(guān)于圖像的考查題.

清晰直觀的圖像承載了物理現(xiàn)象的本質(zhì)，學(xué)生對于圖像的學(xué)習(xí)，要能夠做到細(xì)致地讀圖、規(guī)范地作圖和恰當(dāng)?shù)赜脠D，無論哪方面，都要從點、線、斜率、面積和截距開始認(rèn)識.而對物理圖像斜率的理解也大有文章可做，今年全國高考物理試卷，幾乎每份試卷都有一條與斜率有關(guān)的圖像問題，如表1.斜率雖是數(shù)學(xué)概念，但不能只從數(shù)學(xué)的角度來看待物理問題，首先我們要明白數(shù)學(xué)圖像斜率和物理圖像斜率的聯(lián)系和區(qū)別.

表1 與斜率有關(guān)的圖像問題的試卷統(tǒng)計

1 數(shù)學(xué)圖像斜率和物理圖像斜率

斜率表示平面直角坐標(biāo)系中的一條直線對橫軸的傾斜程度，通常用直線與橫軸的夾角α的正切來表示，即k＝tanα，數(shù)學(xué)上求圖像斜率時，可以用量角器量圖線與橫軸間夾角的方法計算斜率，物理上用這個方法卻不一定正確.

【例1】（2 0 1 2年高考安徽卷第2 2題）質(zhì)量為0.1kg的彈性球從空中某高度由靜止開始下落，該下落過程對應(yīng)的v－t圖像如圖1所示.球與水平地面相碰后離開地面時的速度大小為碰撞前的設(shè)球受到的空氣阻力大小恒為f，取g＝10m／s2，求：

（1）彈性球受到的空氣阻力f的大小；

（2）彈性球第一次碰撞后反彈的高度h.

圖1

解析：第（1）問要根據(jù)v－t圖像的斜率求加速度，用量角器量出圖線和橫軸的夾角為30°，用k＝tanα求出加速度約為0.6m／s2，而用a＝求出的結(jié)果是8m／s2，為什么會出現(xiàn)兩個不同的答案？

在數(shù)學(xué)上，畫坐標(biāo)系時，x軸和y軸上的單位長度是相等的，坐標(biāo)原點是共用的，直線y＝kx的斜率就是k＝tanα；而在物理圖像中兩坐標(biāo)軸表示不同的物理量，其單位長度（如題中的1m／s和1s的長度）不一定畫的相等，雖然y＝kt和y＝kx形式上一樣，但在v－t圖像上縱軸和橫軸單位長度畫得不相等，或單位長度相等，但不是同一單位制，或坐標(biāo)原點不共用，則與tanα便不相等，即a≠tanα［1］.

同樣，在x－t，F(xiàn)－q，U－I 等圖像中，也是如此，為了避免在求物理圖像斜率時不該有的失誤，可以用一般公式k＝求斜率.

2 直線斜率和曲線斜率

在物理學(xué)中，凡是成正比關(guān)系和一次線性關(guān)系的物理量之間的關(guān)系圖像，都可用直線來描述，此時切線斜率、割線的斜率和圖線上某一點與原點連線的斜率是一樣的.

勻速直線運(yùn)動的x－t圖像的斜率表示速度的大小；勻變速直線運(yùn)動的v－t圖像的斜率表示加速度的大小；電荷在勻強(qiáng)電場中受到的電場力F與電荷量q關(guān)系的F－q圖像的斜率表示電場強(qiáng)度的大小；根據(jù)部分電路歐姆定律公式U＝IR，畫出的U－I圖像的斜率表示電阻R的大小；根據(jù)閉合電路歐姆定律U＝E－Ir，畫出的U－I圖像的斜率的絕對值表示電源內(nèi)阻的大小，等等［2］.

而對于非線性關(guān)系，畫成的圖像是曲線，曲線上某一點切線的斜率也具有某種特定的物理意義.

【例2】（2013年高考課標(biāo)卷Ⅰ第19題）如圖2，直線a和曲線b分別是在平直公路上行駛的汽車a和b的位置 －時間（x－t）圖像.由圖可知

A.在時刻t1，a車追上b車

B.在時刻t2，a與b兩車運(yùn)動方向相反

C.在t1到t2這段時間內(nèi)，b車的速率先減少后增加

D.在t1到t2這段時間內(nèi)，b車的速率一直比a車的大

圖2

解析：從圖像可以看出，直線a斜率不變，說明汽車a做勻速直線運(yùn)動.曲線b上某點的切線的斜率先變小后變大，說明汽車b做變速運(yùn)動，速率先減小后增大，應(yīng)選C；因a，b車分別在平直公路上行駛，曲線斜率的正負(fù)表示運(yùn)動的方向與x軸正向相同或相反.在時刻t2，直線a的斜率為正，a車沿x軸正向行駛，曲線b的斜率為負(fù)，b車反方向行駛，所以a與b兩車運(yùn)動方向相反，應(yīng)選B.

那么，割線的斜率和圖像上某點到原點連線的斜率表示什么呢？

如圖3（a）所示，直線AB是曲線AB的割線，直線AB的斜率表示Δt時間內(nèi)的平均加速度，同樣，將B點和原點O連起來的直線的斜率表示Δt′時間內(nèi)的平均加速度.

圖3

而有時某點切線的斜率是沒有意義的，如圖3（b）所示，在U－I圖像中，A點的切線的斜率是A點所對應(yīng)的電阻嗎？A點的切線的斜率是，這顯然不對，給導(dǎo)體一個瞬時電壓U，就會有一個瞬時電流I，不需要電壓、電流的變化過程，A點的電阻不能由求，而直接由來求，就是A點與O點連線的斜率大小［3］.

學(xué)生對直線的斜率的理解不會有多大的困難，曲線上某點切線的斜率、割線的斜率和某點到原點連線的斜率有時可能區(qū)分不清，教師在教學(xué)中要注意引導(dǎo).

3 斜率的正和負(fù)

在數(shù)學(xué)圖像的平面直角坐標(biāo)系中，原點將縱軸和橫軸分界為正負(fù)，正值大于零，負(fù)值小于零，正負(fù)只是表示大小.在物理圖像的平面直角坐標(biāo)系中，原點也將縱軸和橫軸分界為正負(fù)，這里的正負(fù)不是簡單的大小關(guān)系，而是由物理量決定其意義.當(dāng)斜率表示的物理量是矢量時，正負(fù)表示方向；當(dāng)斜率表示的物理量是標(biāo)量時，正負(fù)表示相對于參考量（一般為零）的變化，這時只取數(shù)值大小.

【例3】（2014年高考天津卷第1題）質(zhì)點做直線運(yùn)動的速度 －時間圖像如圖4所示，該質(zhì)點

A.在第1s末速度方向發(fā)生了改變

B.在第2s末加速度方向發(fā)生了改變

C.在前2s內(nèi)發(fā)生的位移為零

D.第3s末和第5s的位置相同

圖4

解析：第2s到第3s這段，從數(shù)學(xué)角度看，斜率為負(fù)，該段圖像表示的是減函數(shù)，有些同學(xué)認(rèn)為質(zhì)點在做減速運(yùn)動；但從物理角度分析，斜率的正負(fù)和縱坐標(biāo)的正負(fù)都表示的是方向的不同.由圖看出，該段的速度為負(fù)值，斜率（加速度）也負(fù)值，加速度方向與速度方向相同，說明物體做反方向的加速運(yùn)動.

可見，在分析題目的時候，要區(qū)分清楚斜率的正負(fù)意義.特別是物理量是矢量時，如以上討論的速度，在負(fù)的方向上絕對值的增加，并不表示速度越來越小.

在本題中，曲線與橫軸構(gòu)成的面積表示質(zhì)點的位置，橫軸上方的面積為正，下方的面積為負(fù)，某一時刻質(zhì)點的位置就是此前時間內(nèi)面積的代數(shù)和，第3s末和第5s之前面積的代數(shù)和相同，說明這兩個時刻具有相同的位置，故選D.

4 妙用斜率解決問題

有時高考圖像題考的知識點比較隱蔽，無從下手，這時可以從斜率入手，圖像的斜率是分析、處理物理問題的一種重要工具，它可以使復(fù)雜問題簡單化、清晰化.

【例4】（2014年高考重慶卷第5題）以不同初速度將兩個物體同時豎直向上拋出并開始計時，一個物體所受空氣阻力可忽略，另一個物體所受空氣阻力大小與物體速率成正比.下列用虛線和實線描述兩物體運(yùn)動的v－t圖像可能正確的是

圖5

考生看到這道題后，通常先根據(jù)運(yùn)動情況畫運(yùn)動過程草圖，再受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列式求解.其實只要想一想，速度為零時，兩個物體在最高點，都只受重力，加速度都為g，在v－t圖像中，此時圖線與橫軸的交點的切線的斜率相等，也就是這兩根切線相互平行，很方便地就能選出答案，應(yīng)選D.

用斜率解決物理問題，關(guān)鍵是要理解、掌握圖像斜率的特點和實質(zhì)，明確它與對應(yīng)物理量之間的關(guān)系和規(guī)律.教師在教學(xué)中要讓學(xué)生體會到圖像斜率是解決物理問題的重要工具，學(xué)會用圖像斜率解決問題，可以達(dá)到事半功倍的效果.

1 彭德勁.高中物理典型圖像中斜率的再認(rèn)識.湖南中學(xué)物理，2011（4）

2 喻世田.圖像的斜率在高中物理教學(xué)中的應(yīng)用.物理教學(xué)探討，2008（2）

3 張芳華.對物理圖像中斜率問題的幾點釋疑.考試周刊，2011（41）