分類討論思想與中學(xué)數(shù)學(xué)

溫洪

我國(guó)的教育改革在不斷地進(jìn)行之中，新教材的編寫指導(dǎo)思想如下：（1）素材的選取努力體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，聯(lián)系實(shí)際適應(yīng)學(xué)生的特點(diǎn);（2）展現(xiàn)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程以及知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生自主探索;（3）教材重視數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的指導(dǎo)，有利于培養(yǎng)學(xué)生理性思維習(xí)慣和創(chuàng)新精神;（4）讓學(xué)生接受數(shù)學(xué)的美，接受數(shù)學(xué)文化的熏陶;（5）反映現(xiàn)代信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的結(jié)合.由此可見，新教材編寫的指導(dǎo)思想體現(xiàn)了一種教學(xué)理念，即教師應(yīng)該在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和解決數(shù)學(xué)問題的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)思維能力，增強(qiáng)解決實(shí)際問題的能力.數(shù)學(xué)是一門思維的學(xué)科，思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)科能力的核心，而數(shù)學(xué)的思想方法就是數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)涵的一般的思維規(guī)律，是數(shù)學(xué)的靈魂.作為數(shù)學(xué)思想的一個(gè)重要的組成部分，分類討論思想在數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)絡(luò)上和解決數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用上，都起著重要的作用，也是歷年來高考的重點(diǎn)之一.

分類討論思想和中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多知識(shí)點(diǎn)有著緊密的聯(lián)系，比如，（1）數(shù)的分類;（2）圓錐曲線中離心率e的取值與橢圓、拋物線、雙曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系;（3）一元二次方程根的判別式與根的情況;（4）中學(xué)函數(shù)等.我們通過上面幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)的研究說明數(shù)學(xué)的分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中所起的重要作用——學(xué)習(xí)知識(shí)鞏固知識(shí)，發(fā)展嚴(yán)謹(jǐn)與理性的思維，增強(qiáng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，溝通數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活.

一、數(shù)與分類討論思想

我們從小學(xué)、中學(xué)到大學(xué)學(xué)習(xí)了不同的數(shù)，有自然數(shù)、整數(shù)、正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)、復(fù)數(shù)，各種各樣，形形色色，但是我們有了分類的思想，他們之間的關(guān)系是可以理清的.這就是分類討論思想，它將看起來有些混亂的對(duì)象緊緊地聯(lián)系在了一起，使我們可以把握全局.在學(xué)習(xí)知識(shí)的過程中，正是有了這樣的思想才使學(xué)習(xí)變得簡(jiǎn)單起來.同樣，分類討論思想在學(xué)習(xí)知識(shí)鞏固知識(shí)上的重要作用還可以體現(xiàn)在離心率e與圓錐曲線的關(guān)系上.

二、一元二次方程根的判別式與分類討論思想知識(shí)點(diǎn)

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式是：Δ=b2-4ac，當(dāng)Δ>0時(shí);Δ=0;Δ<0時(shí)方程分別有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;沒有實(shí)數(shù)根.我們研究一個(gè)根的判別式問題，從中可以看出分類討論思想在發(fā)展嚴(yán)謹(jǐn)與理性思維上具有不可替代的優(yōu)勢(shì).

三、圓錐曲線與分類討論思想

在學(xué)習(xí)圓錐曲線的時(shí)候，分類討論思想把看起來陌生的幾種曲線有機(jī)地結(jié)合在了一起.我們利用離心率e將圓錐曲線進(jìn)行

分類.

第一種情況：0

橢圓的另一定義是：曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是一定值e，0

第二種情況：e>1

雙曲線的另一定義是：曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是一定值e，e>1，這種曲線叫做雙曲線，雙曲線的離心率在圓錐曲線中較大.

第三種情況：e=1

拋物線的定義是：曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離比是e，e=1，這種曲線叫做拋物線.

這樣，幾種圓錐曲線在我們的印象中便成為一個(gè)整體.這充分體現(xiàn)了分類討論思想在知識(shí)的構(gòu)建上所起的重要作用.學(xué)習(xí)者并不是把外界的知識(shí)搬到記憶中，而是在已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)通過與外界的相互作用來構(gòu)建新的理解.數(shù)學(xué)的概念是從那里來的？馮諾依曼答曰：“數(shù)學(xué)來源于經(jīng)驗(yàn).”可知數(shù)學(xué)的源是經(jīng)驗(yàn)與自然科學(xué)，但必須經(jīng)過數(shù)學(xué)家的嚴(yán)格的精細(xì)的加工.分類討論思想在這里就是這樣的經(jīng)驗(yàn)，在它的基礎(chǔ)上，我們能夠更好地把握數(shù)學(xué)知識(shí).中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)注意知識(shí)和思想之間的內(nèi)在聯(lián)系——知識(shí)促進(jìn)思想，思想反過來增長(zhǎng)知識(shí).數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生于數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)，又反過來對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)起重要指導(dǎo)作用，它是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓和靈魂，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.分類討論思想在知識(shí)的結(jié)構(gòu)化方面的應(yīng)用使數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)變得輕松，也使我們有理由相信在將來的教學(xué)中，我們能夠貫徹這種思想促進(jìn)知識(shí)學(xué)習(xí)的理念.下邊進(jìn)一步研究分類討論思想在知識(shí)的結(jié)構(gòu)化方面和解決問題時(shí)的重要作用.

“物以類聚，人以群分”，將事物進(jìn)行分類，然后對(duì)劃分的每一類分別進(jìn)行研究和求解的方法叫做分類討論的方法.分類是自然界中的基本邏輯方法之一，數(shù)學(xué)中的分類討論思想是：按照數(shù)學(xué)對(duì)象的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類的思想方法，分類以比較為基礎(chǔ)，通過比較，識(shí)別出數(shù)學(xué)對(duì)象的異同點(diǎn)，然后根據(jù)共同點(diǎn)將數(shù)學(xué)對(duì)象劃分為較大的類，根據(jù)差異點(diǎn)將數(shù)學(xué)對(duì)象劃分為較小的類，從而將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為有一定從屬關(guān)系的等級(jí)系統(tǒng).通過分類討論思想，知識(shí)結(jié)構(gòu)清晰而準(zhǔn)確地呈現(xiàn)在我們面前.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，許多教育工作者注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的灌輸，卻忽視了數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，而數(shù)學(xué)思想作為數(shù)學(xué)的靈魂，對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用都起著決定性的作用.為此，從一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題出發(fā)研究分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中所起的重要作用.

參考文獻(xiàn)：

張宏斌.現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想與中學(xué)數(shù)學(xué)教育[D].遼寧師范大學(xué)，2005.

編輯 王團(tuán)蘭endprint