二維仿射-Virasoro代數的研究

宣宜然，劉東，高壽蘭

（1.蘇州科技學院數理學院，江蘇蘇州215009；2.湖州師范學院理學院，浙江湖州313000）

二維仿射-Virasoro代數的研究

宣宜然1，劉東2*，高壽蘭2

（1.蘇州科技學院數理學院，江蘇蘇州215009；2.湖州師范學院理學院，浙江湖州313000）

對二維仿射-Virasoro李代數結構理論進行了計算和研究，確定了該類李代數的中心擴張、導子代數和自同構群，這對該類李代數表示理論的研究具有一定的意義。

仿射-Virasoro李代數；泛中心擴張；導子代數；自同構群

Viasoro代數和仿射李代數，已吸引了數學家和物理學家越來越多的關注，因為其在孤立子理論、共形場論和量子逆散射理論這些理論物理領域日益重要。眾所周知，仿射李代數承認了Fock空間上的表示，因此，也承認了Virasoro代數的表示。這種密切的聯系有力地表明，它們被同時考慮，即作為一個代數結構，并因此產生了所謂的仿射-Virasoro代數的定義[1－2]，它是具有共同中心的Virasoro代數和仿射Kac-Moody李代數的張量積。有時仿射-Virasoro代數被更多的與共形場理論聯系起來。例如，N＝3超共型代數的奇部分就是A1型仿射-Virasoro代數。仿射-Virasoro代數的最高權表示和可積表示在一些文獻中有了較完整的研究[1－6]。設L是有限維李代數與非退化不變正規化對稱雙線性形式（，）的無限維李代數，則仿射-Virasoro代數是一個向量空間，如下

滿足下列李括號運算

其中x，y∈L，m，n，i，j∈Z（如果L沒有這樣的雙線性型，就規定對L中所有的x，y有（x，y）＝0）。

例如：

1）如果L＝Ce是一維的，那么Lav就是一個扭Heisenberg-Virasoro代數（一個中心）。

2）如果L=sl2，那么Lav是N＝3超共型代數的奇部分。

令L是一個二維非退化李代數，那么可以假設L＝C{h，e}滿足[h，e]=2e。顯然在李代數L中存在一個不變對稱雙線性型（，）滿足（h，h）＝1和（h，e）=（e，e）=0，這種情況下李代數L：＝Lav由{dn，en，hn，C|n∈Z}生成，且

其中m，n∈Z。

在文中分別用C，Q和Z來表示復數集、有理數集和整數集。

1 泛中心擴張

該節主要討論下列商代數G＝L/CC的泛中心擴張。

根據定義，G：＝C{dn，en，hn|n∈Z}有以下關系

其中m，n∈Z。

首先，回顧李代數上L的二上循環，它是C-雙線性函數：ψ：L×L→C，并且滿足下面的關系式

對任意的x1，x2，x3∈L，定義L上的二上循環的向量空間C2（L，C）。

對任意的C-線性函數f：L→C，定義二上循環ψf如下：對任意的v1，v2∈L，ψf（v1，v2）＝f（[v1，v2]）。這樣的二上循環稱為L上的二上邊界或者平凡二上循環。

定義L的二上邊界的向量空間為B2（L，C）。如果φ-ψ是平凡的，那么稱二上循環φ與二上循環ψ是等價的。對于一個二上循環ψ，定義它的等價類[ψ]。

商空間H2（L，C）=C2（L，C）/B2（L，C）={二上循環的等價類}，被稱為L的二階上同調群。

眾所周知，Virasoro代數的二上循環ξ由下式確定

定理1dim（G，C）＝4。

證明根據李超代數運算的作用可得到下面等式：。

定義C上的線性函數f：L→C如下

令φ=ψ-ψf-ξvir，其中ψf滿足ψf（v1，v2）＝f（[v1，v2]），v1，v2∈L。那么對任意的m，n∈Z，

接下來定理1的部分可由下面的引理1-4得到。

引理1對任意的p∈Z*，φ（d0，ep）=0。

證明φ（d0，ep）=ψ（d0，ep）-ψf（d0，ep）=pf（ep）-f（[d0，ep]）=0。

引理2對任意的m，n∈Z，φ（hn，ep）=δn+pφ（h1，e-1）。

證明對任意的m，n，p∈Z，由關系式

令m=0，即φ（d0，en+p）=（n+p）φ（hn，ep），由于φ（d0，en+p）=0，則（n+p）φ（hn，ep）=0，當n+p≠0時，φ（hn，ep）=0。

由關系式

令m=-p-n，φ（hm，e-m）=φ（hn，e-n），也就是說φ（hm，e-m）=φ（h1，e-1）。

綜上

引理3對任意的n，p∈Z，φ（hn，ep）=-2δn+p，0φ（d1，e-1）。

證明對任意的p∈Z，由關系式

令m=0，有（p+n）φ（dn，ep）=pφ（d0，ep+n）。

因為pφ（d0，ep+n）=0，所以φ（dn，ep）=0，那么p+n≠0時，φ（dn，ep）=0。

由關系式

令m=-p-n，有2φ（dm，e-m）=nφ（hm+n，e-m-n）+（-n-m）φ（hn，e-n）。

由引理2知φ（hn，e-n）=φ（h1，e-1），則-2φ（d1，e-1）=φ（h1，e-1）。

綜上

引理4對任意的m，p，r∈Z，φ（ep，er）=pδp+r，0φ（e1，e-1）。

證明對任意的m，p，r∈Z，由關系式

令m=0，就得到當p+r≠0，φ（ep，er）=0。

再由關系式

令p=-（m+r），有φ（ep，e-p）=φ（e-m-p，em+p），也就是說

那么再代入0=pφ（em+p，er）+rφ（ep，em+r），可得p-rφ（e1，e-1）=0，即φ（e1，e-1）=0。

綜上可以得到φ（ep，er）=0，從而定理得證。

定義G的泛中心擴張為G?，那么從定理1可以得到G?=C{dm，hm，ep，C1，C2，C3，C4}，并且滿足下面的關系

對任意的m，n，p，r∈Z成立。

2 李代數L的導子

顯然L是Z分次李代數L：＝⊕Ln，n∈Z其中Ln=spanC{dn，hn}。

令V是一個L-模，從L到V的線性映射φ叫做導子，如果對任意的x，y∈L，有

當v∈V，映射φ：x→x·v叫做內導子，所有導子的向量空間記為Der（L，V），所有內導子的向量空間記為Inn（L，V），那么在V中的L的一階上同調群和它們的系數關系為

等式右邊同時也叫做外導子空間。

引理5Der（L，V）=Der（L，V）0+Inn（L，V），其中

證明從文獻[7]很容易得到。

引理6D（dn）=0，D（hn）=C1en，D（en）=C2en，D（C）=0，n∈Z，C1，C2∈C。

證明令D=Der（L，V）0參見文獻[8]，所以可以假設

其中an，bn，kn，tn，gn，rn∈C。

將D作用到[d1，dn]=（n-1）dn+1，[d-1，dn+1]=（n+2）dn上，有

那么

整理得

因此，有

推出

令

可以得到

當n＝0時，D（d0）=a′h0+b′e0。

將D作用到[dn，hp]=phn+p，有

整理得

令p=0，推出nC2+b′=0，tp=tn+p。

將D作用到[dn，ep]=pen+p，有

整理得

令p=0，推出nC1+a′=0，rp=rn+p，因此，D（dn）＝0。

再令C1＝kn，C2＝tn，C3＝gn，C4＝rn，則有D（hn）=C1hn+C2en，D（en）=C3hn+C4en。

將D作用到[h-1，h1]=Ch上，有-2C2e0+2C2e0=D（Ch），因此，D（Ch）=0。

將D作用到[hp，en]=2en+p上，有

整理得2C1en+p+2C4en+p=2C3hn+p+2C4en+p，推出C1＝C3＝0。

綜上所述D（dn）=0，D（hn）=C1en，D（en）=C2en。

在D（L，V）中分別令C1＝1，C2＝0；C1＝0，C2＝1，可以從L到V上得到兩個導子

其中n∈Z，因此，（8）式和引理6證明了以下的定理。

定理2dimH1（L，V）=CD1+CD2。

3 自同構群

定義AutL為自同構群，可知，對任意的σ∈AutL和x，y∈L，有

定理3令σ∈AutL，則存在a，b，c∈C*和ε∈{±1}滿足下列各式

反之，如果σ是L上的一個線性函數滿足（9）-（13）式，ε∈{±1}和a，b，c，d∈C*且a，b，c≠0，那么σ∈AutL。

證明由于L0ˉ=Vir，以及σ（L0ˉ）＝L0ˉ，所以自同構映射σ作用在d0上是清楚的，詳見文獻[9，11]，即

假設

將σ作用在[d0，dn]=ndn上，有

可得到εsiλi=nλi，εkiθi=nθi，εtiγi=nγi，gnC=0，其中λi，θi，γi∈C，則可令

即σdn=λndεn+θnhεn+γneεn。

同理將σ作用在[d0，en]=nen，[d0，hn]=nhn上，可得到以下形式

將σ作用在[hn，em]=2en+m上，有[σ（hn），σ（em）]=2σ（en+m），即有

得ancm=cn+m，令n=1，則a1cm=c1+m，因此，cn=c1a1n-1，再令a1=a，則cn=an-1c1。

將σ作用在[dn，em]=men+m上，有[σ（dn），σ（em）]=mσ（en+m），即有

令m=0，可得2θnam-1c1=0，即θn=0，則λn=εan，

所以g0C＝0，σ（Cd）=εCd。

將σ作用在[dn，hm]=mhn+m，有

可得anam=an+m，-2γnam+εanbmεm=mbn+m。

令m=0，則γn=0，再令m=1可得bn=an-1b1，再令b1=b，c1=c，

整理得an=an，bn=an-1b，cn=an-1c，λn=εan，θn=0，γn=0。

將σ作用在[d-1，h1]=h0上，有[εa-1d-ε，ahε+beε]=h0+a-1be0+f0C，得f0C=0，

將σ作用在[d-1，e1]=e0上，得w0C=0，將σ作用在[h-1，h]=Ch上，有σ（Ch）＝Ch。

綜上可知σ滿足下式（9）-（13）。

定理的另一半證明是顯然的。

定義L的同構為σ（ε，a，b，c）滿足式（9）-（13），那么有

和

當且僅當ε1＝ε2，a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2。

通過上面的討論，很容易得到下面定理。

定理4AutL≌Z2∝（C*×C*）。

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A study of two dimensional affine-Virasoro Lie algebras

XUAN Yiran1，LIU Dong2，GAO Shoulan2
（1.School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China；2.Department of Mathematics and Science，Huzhou Teachers College，Huzhou 313000，China）

In this paper,we calculated and studied the structures of the two dimensional affine-Virasoro Lie algebras,and determined the universal central extension,the derivation algebra and the automorphism group of it. This study was meaningful to the representations of the two dimensional affine-Virasoro Lie algebras.

affine-Virasoro Lie algebras；universal central extensions；derivation algebra；automorphism group

O152．5MR（2000）Subject Classification：17B05；17B40；17B65

A

1672－0687（2015）03－0001－06

責任編輯：謝金春

2013－10－11

國家自然科學基金資助項目(11371134；11201141)；浙江省自然科學基金資助項目(Y6100148；LQ12A01005)

宣宜然（1989-），女，江蘇泗洪人，碩士研究生，研究方向：李代數。

*通信聯系人：劉東（1978-），男，教授，博士，碩士生導師，E－mail：liudong@hutc.zj.cn。