分形插值函數中自由參數選取方法

南海鳳，孫洪泉

（1.蘇州科技學院數理學院，江蘇蘇州215009；2.蘇州科技學院土木工程學院，江蘇蘇州215011）

分形插值函數中自由參數選取方法

南海鳳1，孫洪泉2*

（1.蘇州科技學院數理學院，江蘇蘇州215009；2.蘇州科技學院土木工程學院，江蘇蘇州215011）

分形插值函數是擬合實驗數據的一種新的有效的插值方法。它由迭代函數系及給定的插值節點所確定的，故迭代函數系中自由參數的選擇對分形插值函數有至關重要的意義。將通過數值實驗展示仿射迭代函數系中自由參數（縱向尺度因子）對分形插值函數的影響；并給出一種選取合理自由參數的方法，最后通過實際案例來說明文中構造的選取縱向尺度因子的合理性和優越性。

分形插值函數；迭代函數系；自由參數

自從20世紀70年代法國數學家曼德爾布羅特[1]創立分形幾何學以來，有關分形理論與應用的研究已深入到各個科學技術領域，并取得了令人矚目的成就。經過幾十年的開拓和發展，分形理論在地理科學、計算機科學、物理學、醫學等眾多學科得到了廣泛應用，分形對現代科學產生了深遠的影響。

1986年Barnsley[2]首次提出了分形插值函數（Fractal Interpolation Function，簡稱FIF）的概念，相比于傳統的插值方法（如多項式插值、有理函數插值及樣條插值），分形插值法能更有效地逼近或擬合非平穩數據和非光滑曲線。分形插值是基于迭代函數系（Itetated Function System，IFS）理論建立起來的，分形插值函數是由IFS產生的。IFS中的一重要參數（即縱向尺度因子）是影響FIF的形態和特征的一個主要因素。特別地，對于仿射迭代函數系而言，當插值節點給定時，仿射FIF由縱向尺度因子唯一決定。因此，研究縱向尺度因子的選取對FIF產生的影響是非常重要且有意義的。文獻[3-4]討論了當縱向尺度因子滿足什么條件時，仿射FIF的圖像位于一個給定的矩形內；文獻[5]研究了用縱向尺度因子刻畫仿射FIF在特定值域分布的條件；文獻[6]對于更一般的FIF的取值情況，給出了縱向尺度因子定界的一個充分條件，并研究了該類FIF的一些分形性質；文獻[7]則考慮了具有雙縱向尺度因子的IFS，研究了它的吸引子的有界性；文獻[8]通過數值試驗的方法討論了縱向尺度因子的變化對分形插值精度的影響。

由于現階段分形插值的縱向尺度因子都是人為規定的，這樣使得插值精度在很大程度上依賴于人們的直覺或經驗。故文中給出了一種較為合理的選取自由參數的方法。文末結合實例來分析說明文中所構造的選取縱向尺度因子方法的優越性和合理性。

1 插值迭代系統（IFS）及其吸引子

令數據集{（xi，yi）|i＝0，1，…，N}給定，考慮IFS{R2；Wn，n＝1，2，…，N}，其中Wn是有如下形式的放射變換[9]

并且

由公式（2）可以解得

其中L=xN-xn，|dn|＜1（保證該IFS收斂），稱dn為自由參數（即縱向尺度因子），dn的選取會對最終的分形插值函數產生重要影響。由IFS理論可知，該IFS存在唯一的吸引子G，G是一個連續函數f：I→R的圖像，且經過給定的插值節點{（xi，yi）|i=0，1，…，N}，稱這樣的函數f是由IFS確定的。

2 縱向尺度因子的不同選擇對FIF的影響

對于仿射迭代函數系，當插值節點給定時，縱向尺度因子dn的選擇決定了分形插值的形貌。通常自由參數是人為給定的，這就使得最終的插值效果在很大程度上依賴于人們的直覺和經驗。故文中給出了一種選取合理縱向尺度因子的方法。下面通過數值實驗來展示不同縱向尺度因子對FIF的影響。

不妨假設有數據集A（1，2），B（2，4），C（3，2.5），D（4，5），E（5，4.5），利用已給的五個插值節點進行分形插值。選擇三個不同的縱向尺度因子，其中d=0.7和d=0.3是人為給定的，另外一種為文中所構造的選取自由參數的方法

由于壓縮比（即文中探討的縱向尺度因子）是表示當大范圍內的數據變化特征映射到某個小區間上時縮小的倍數。給定插值節點的回歸直線其實是對給定的插值節點的一種粗略的擬合，在一定程度上反映了整體的走勢。選擇di=ei/e作為每個小區間的壓縮比，其實就是將小區間的局部特征與整體的走勢（回歸直線所反映出來的）做相應的比較，其能夠真實地反映數據的空間變化特征。且滿足|di|＜1保證了迭代系統收斂性。

通過matlab軟件繪制出圖1（其中k代表迭代次數）。

圖1 不同壓縮比分形插值函數的比較

通過觀察對比圖1，不難發現dn的選擇對最終生成的圖像有著重大的影響，而且隨著迭代次數的增大，圖像之間的差異也變得更加明顯。故如何選擇合適的自由參數對于最終圖像（插值效果）有著至關重要的影響。

3 實際案例分析

隨著分形市場假設的提出與發展，現今在股票預測等問題上，可以采用分形插值理論幫助分析問題。下面對2014年8月1日滬深300股票價位走勢進行分形插值，對于三個由不同壓縮比構成的迭代函數系，將考察它們各自的插值精度。由于股票開盤時間為上午的九點半至下午的三點且上午十一點半至下午一點之間股票不產生變化，所以將橫坐標（關于時刻）調整為九點半作為原點，相應的其他橫坐標為其與原點的時間差，對于上午十一點半到下午一點這段的時間差規定為零。

選取5個插值節點A(0，2 341.23)，B(60，2 349.72)，C(120，2 352.66)，D(180，2 370.24)，E(240，2 329.88)。

下面是不同壓縮比下的IFS生成的分形插值函數圖象（圖2、圖3、圖4）。

圖2 2014年8月1日滬深300股票走勢分形插值圖像（di=ei/e）

圖3 2014年8月1日滬深300股票走勢分形插值圖像（d=0.7）

圖4 2014年8月1日滬深300股票走勢分形插值圖像（d=0.5）

通過觀察圖像，可以直觀地得到這樣的信息：當選取縱向尺度因子為di=ei/e時，生成的分形插值函數圖像與實際股票曲線走向具有一致性；而當選擇另外兩種人為給定的縱向尺度因子時，此時生成的分形插值函數圖像（特別是在第三、四小區間）與股票實際走勢曲線有很大的差異。

下面來具體地探究一下它們各自的插值精度s。文中規定插值精度為它們分形插值函數值與實際股票值yi差平方的均值。即

表1 不同壓縮比下的分形插值數據

從上面的數據分析不難發現，當取d=0.7時，其相應的插值精度s=31.111 1，明顯地比取d=0.5和di=ei/e時的插值精度差。并且文中構造的選取壓縮比方法（即取di=ei/e）與人為規定的d=0.5，最后兩個迭代系統插值出來的精度很接近。由此也可看出文中的壓縮比選取方法具有一定的適用性。因此，以后可以利用公式（4）的方法來選取壓縮比，而不再僅僅依賴于人們的直覺與經驗來選擇縱向尺度因子。筆者也注意到當選取文中構造的壓縮比時，其插值精度是三者中最好，這就說明了筆者構造的壓縮比具有一定的優勢。

4 結語

筆者首先通過數值實驗來說明仿射迭代函數系中的一重要參數（縱向尺度因子）對分形插值函數的影響，并構造了一類合理選擇縱向尺度因子的方法，文末通過實際案例來比較說明文中構造的選取縱向尺度因子方法的優越性。在使用分形插值法擬合非平穩數據和非光滑曲線時，對于如何選取合理的縱向尺度因子，文中的結果將提供有價值的參考。

[1]Mandelbrot B B.The Fractal Geometey of Nature[M].San Francisco：W H Freeman and Company，1982：361-366.

[2]Michael F B.Fractal functions and interpolation[J].Constr Approx，1986，2：303-329.

[3]Dalla L，Drakopoulos V.On the parameter identification problem in the plane and the polar fractal interpolation functions[J].J Approx Theory，1999，101：289-302.

[4]Ruan H J，Sha Z，Su W Y.Counterexamples in parameter identification problem of the fractal interpolation functions[J].J ApproxTheroy，2003，122：121-128.

[5]陳威存，阮火軍，郭秋麗.仿射分形插值函數與縱向尺度因子[J].高校應用數學學報A輯，2007，22（2）：205-209.

[6]Wang H Y，Li X J.Perturbation error analysis for fractal interpolation functions and their moments[J].Appl Math Lett，2008，21：441-446.

[7]王宏勇.一類具有雙參數的迭代函數系及其吸引子[J].廈門大學學報：自然科學版，2007，46（2）：157-160.

[8]李信富，李小凡，張美根.垂直比例因子對分形插值精度的影響[J].黑龍江大學學報：自然科學版，2007，24（5）：662-665.

[9]孫洪泉.分形幾何與分形插值[M].北京：科學出版社，2011：110-112.

A method of selecting free parameter of fractal interpolation function

NAN Haifeng1，SUN Hongquan2
（1.School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China；2.School of Civil Engineering，SUST，Suzhou 215011，China）

Fractal Interpolation Function（FIF）is a new effective method of interpolation for fitting the experimental data.It is defined by the given interpolation nodes and Iterated Function System（IFS）;therefore,it is meaningful and vital to discuss the influence of free parameters on FIF.This paper demonstrated the influence of free parameters on FIF.A new method of selecting appropriate free parameters was given.Finally,we proved the reasonability and superiority of this method with an actual case.

fractal interpolation function；iterated function system；free parameter

O184MR（2000）Subject Classification：65C15

A

1672－0687（2015）03－0007－04

責任編輯：謝金春

2014－09－18

國家自然科學基金資助項目（400772198）

南海鳳（1989-），女，江蘇鹽城人，碩士研究生，研究方向：工程中的數學技術。

*通信聯系人：孫洪泉（1953-），男，教授,博士，碩士生導師，E－mail：hqsun@mail.usts.edu.cn。