基于熱力學(xué)的堆石體本構(gòu)模型的研究與應(yīng)用

王曉玥，杜麗惠，金鑫鑫，李 翠

(清華大學(xué)水沙科學(xué)與水利水電工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100084)

基于熱力學(xué)的堆石體本構(gòu)模型的研究與應(yīng)用

王曉玥，杜麗惠，金鑫鑫，李 翠

(清華大學(xué)水沙科學(xué)與水利水電工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100084)

堆石體的本構(gòu)模型對(duì)其應(yīng)力變形分析尤為重要。在熱力學(xué)條件下，分析堆石壩筑壩過(guò)程中應(yīng)力比的變化過(guò)程，推導(dǎo)出符合能量守恒定律的堆石料本構(gòu)模型，給出吉布斯自由能函數(shù)指數(shù)的范圍。在閉合應(yīng)力路徑下模型符合熱力學(xué)定律，能夠反映堆石料的非線(xiàn)性、壓硬性等主要工程性質(zhì)，參數(shù)少且獨(dú)立、物理意義明確。以水布埡面板堆石壩為例，采用熱力學(xué)本構(gòu)模型進(jìn)行了有限元計(jì)算，與實(shí)測(cè)資料相比，其計(jì)算結(jié)果比其他模型更加符合實(shí)際，進(jìn)一步驗(yàn)證了模型的可靠性。

面板堆石壩；本構(gòu)模型；吉布斯自由能

混凝土面板堆石壩是我國(guó)目前在建高壩中一種重要的壩型。傳統(tǒng)的土力學(xué)模型如鄧肯張模型、清華非線(xiàn)性KG模型等能反映土體的部分性質(zhì)，但也存在諸如參數(shù)太多、計(jì)算高壩結(jié)果較小等缺點(diǎn)。近些年來(lái)，Einav[1]、Puzzrin[1]、Housbly[2]等學(xué)者基于熱力學(xué)研究土體本構(gòu)模型，方法嚴(yán)密新穎。本文基于熱力學(xué)，根據(jù)筑壩過(guò)程中應(yīng)力比變化過(guò)程，推導(dǎo)能量守恒的非線(xiàn)性彈性模型，并對(duì)模型適用性進(jìn)行計(jì)算分析。

1 堆石料填筑過(guò)程應(yīng)力路徑變化研究

分析堆石壩應(yīng)力應(yīng)變要對(duì)填筑過(guò)程中的應(yīng)力路徑進(jìn)行研究。1986年，彭曼在第26次蘭金演講[3]指出“施工期堆石壩體大部分區(qū)域的主應(yīng)力比保持常數(shù)”。選取具有代表性的高壩水布埡壩與中壩潘口壩，進(jìn)行三維E-B模型計(jì)算。

233 m高的水布埡壩是目前世界上最高的面板堆石壩，根據(jù)實(shí)際填筑分25級(jí)加載，采用長(zhǎng)江勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院[4]的水布埡E-B模型參數(shù)，計(jì)算主斷面0+212的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)相關(guān)關(guān)系，結(jié)果見(jiàn)圖1。

潘口壩位于湖北堵河上游，壩高114 m。建立三維有限元模型，分15級(jí)分期加載，分析主斷面0+176關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)相關(guān)關(guān)系，結(jié)果見(jiàn)圖2。

圖1 水布埡壩關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)計(jì)算結(jié)果

圖2 潘口壩關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)計(jì)算結(jié)果

從圖1、2可見(jiàn)，填筑期堆石壩各點(diǎn)大小主應(yīng)力、剪應(yīng)力與正應(yīng)力呈線(xiàn)性關(guān)系，近似于等應(yīng)力比路徑加載。靠上游側(cè)的主堆石部分斜率偏大，在2.5～3.0范圍內(nèi)；而下游側(cè)的次堆石斜率較小，在2.3～2.8范圍內(nèi)。數(shù)據(jù)分布在一條帶狀區(qū)域且較集中。對(duì)所有數(shù)據(jù)進(jìn)行線(xiàn)性擬合，得到如下結(jié)果

水布埡壩σ1=2.573 8σ3；q=1.012 4p

(1)

潘口壩σ1=2.735 8σ3；q=1.053p

(2)

式(1)、(2)所得結(jié)果與之前學(xué)者給出的土石壩實(shí)際填筑過(guò)程應(yīng)力比大致保持2.7的常數(shù)[5]結(jié)論基本相符。

2 堆石體本構(gòu)模型的提出

2.1 熱力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)

海姆霍茨自由能函數(shù)He和吉布斯自由能函數(shù)Ge常用來(lái)表達(dá)物體具有的自由能，兩者之間存在勒讓德變換關(guān)系。各自與應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系如下：

(3)

(4)

He[εv,εs]=Ge[p,q]+p·εv+q·εs

(5)

式中，εv,εs分別為體應(yīng)變和剪應(yīng)變；p、q分別為體應(yīng)力和剪應(yīng)力。

2.2 本構(gòu)模型

本文采用Houlsby、Amorosi和Rojas[2]提出的吉布斯自由能函數(shù)進(jìn)行模型推導(dǎo)。給出通用的吉布斯自由能函數(shù)形式如下

(6)

由式(3)、(4)可得

(7)

(8)

分析式(8)剪應(yīng)變?chǔ)舠，帶入q=ηp，得

(9)

令y2=[1+k·(1-n′)/3g·η2]-n′/2，y1=η1-n′，作圖對(duì)比發(fā)現(xiàn)在模型參數(shù)范圍內(nèi)，函數(shù)y1始終大于原函數(shù)y2，即相同的應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)變偏大，更接近實(shí)測(cè)。本模型考慮將y2放縮到y(tǒng)1。即

(10)

由?εs/?p=?εv/?q的耦合關(guān)系可以推出：

(11)

推出本模型對(duì)應(yīng)的吉布斯自由能函數(shù)Ge和柔度矩陣C為：

(12)

(13)

從式(13)可以看出，模型符合被廣泛提出的應(yīng)力應(yīng)變冪指數(shù)關(guān)系，符合熱力學(xué)基本定律，并且最終只具有4個(gè)參數(shù)。模型可以反映堆石料的非線(xiàn)性、壓硬性、剪脹性、部分各向異性等主要性質(zhì)[6]。

3 本構(gòu)模型指數(shù)因子范圍推導(dǎo)

國(guó)內(nèi)外學(xué)者給出以GE[7]、EP[1]、HAR[2]形式為代表的吉布斯自由能表達(dá)式；Paul W.[8]在前人基礎(chǔ)上提出綜合上述3種形式的表達(dá)式

(14)

可得剪切模量

(15)

顆粒物質(zhì)聲波試驗(yàn)是近幾年研究土顆粒的熱門(mén)方法。分析Hernan[9]、Domenico[10]聲波試驗(yàn)結(jié)果擬合上述4組關(guān)系

Hernan:vs=13.655 6·p0.245 6

(16)

Domenico:vs=21.643 3·p0.221 0

(17)

Hernan[9]、Domenico[10]和Yin[11]給出vs在聲波試驗(yàn)中通常正比于p1/6～p1/4，即d的范圍為1/3～1/2，上述求得的d值恰好都在此范圍內(nèi)。

對(duì)提出的熱力學(xué)模型進(jìn)行指數(shù)的范圍分析

(18)

4 閉合應(yīng)力路徑下驗(yàn)證能量保守

符合熱力學(xué)條件的模型應(yīng)都滿(mǎn)足能量守恒定律即熱力學(xué)第一定律。傳統(tǒng)的土力學(xué)本構(gòu)模型在閉合應(yīng)力循環(huán)內(nèi)會(huì)產(chǎn)生不可恢復(fù)的應(yīng)變，違背了熱力學(xué)能量守恒定律。EinavI.[1]與Borja[12]等學(xué)者都對(duì)不同的應(yīng)力路徑進(jìn)行了研究。采用Einav I.[1]提出的閉合應(yīng)力路徑a-b-c-d-e-f(a)見(jiàn)圖3，所得關(guān)系如圖4所示。

圖3 閉合應(yīng)力路徑示意

圖4 閉合應(yīng)力路徑下q～εs關(guān)系

從圖3、4可知，在閉合路徑下，模型的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系閉合，當(dāng)應(yīng)力回到原點(diǎn)時(shí)，應(yīng)變也隨之完全恢復(fù)，模型符合熱力學(xué)條件下的能量保守，較之前能量不保守的E-B模型等有了明顯改進(jìn)。

5 本構(gòu)模型在實(shí)際壩體計(jì)算中的應(yīng)用

圖5 本構(gòu)模型計(jì)算結(jié)果(水布埡壩0+212截面)

模型計(jì)算結(jié)果表明，竣工期最大壩體沉降為2.05 m，出現(xiàn)在次堆石區(qū)壩高1/2～2/3處，水平位移和沉降分布符合一般分布規(guī)律，應(yīng)力水平在合理范圍內(nèi)。各模型對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 水布埡E-B、K-G模型與本文模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比

從表1可知，本構(gòu)模型比E-B模型、K-G模型計(jì)算結(jié)果都偏大，其與竣工實(shí)測(cè)沉降2.276 m最為接近。

分析水布埡主斷面監(jiān)測(cè)儀器所在監(jiān)測(cè)點(diǎn)[4]的實(shí)際監(jiān)測(cè)結(jié)果與各模型結(jié)果，見(jiàn)圖6。

圖6 水布埡壩0+212截面實(shí)際監(jiān)測(cè)結(jié)果與各模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比

從圖6可以看出：熱力學(xué)模型結(jié)果的整個(gè)趨勢(shì)和實(shí)際相符，最大斷面0+212的計(jì)算結(jié)果較實(shí)測(cè)偏大；壩體上游側(cè)結(jié)果比實(shí)測(cè)大，下游側(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)符合較好，誤差較小。通過(guò)對(duì)比得到，本文模型比應(yīng)用較廣的E-B模型計(jì)算結(jié)果更接近實(shí)際。

6 結(jié) 論

通過(guò)分析水布埡壩與潘口壩填筑過(guò)程中應(yīng)力比變化過(guò)程，得到應(yīng)力比基本維持常數(shù)的結(jié)論。基于三軸試驗(yàn)資料數(shù)據(jù)，給出熱力學(xué)本構(gòu)模型，并以吉布斯自由能函數(shù)與聲波試驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn)，得到模型中指數(shù)大致所在范圍；從閉合應(yīng)力路徑下應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系驗(yàn)證了模型能量保守；通過(guò)對(duì)水布埡工程的三維有限元計(jì)算，進(jìn)一步驗(yàn)證了模型的合理性和適用性。在今后的研究中，值得更加深入研究與應(yīng)用。

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[4]長(zhǎng)江勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院， 湖北清江水電開(kāi)發(fā)有限公司， 清華大學(xué). 超高面板堆石壩堆石本構(gòu)模型和變形反饋分析方法研究與實(shí)踐[R]. 北京： 清華大學(xué)， 2007．

[5]張林洪， 劉榮佩， 謝婉麗. 等應(yīng)力比路徑條件下堆石料的應(yīng)力應(yīng)變特性[J]. 大壩觀測(cè)與土工測(cè)試， 2001(4)： 46- 49．

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(責(zé)任編輯焦雪梅)

Research and Application of a Rockfill’s Constitutive Model Based on Thermodynamics

WANG Xiaoyue, DU Lihui, JIN Xinxin, LI Cui

(State Key Laboratory of Hydroscience and Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

The constitutive model of rockfill is very important to its stress and deformation analysis. Under thermodynamic conditions, the stress ratio changes during the building course are analyzed, a constitutive model that conforms to the law of conservation of energy is derived and the range of the Gibbs free energy function index is calculated. This model conforms to the laws of thermodynamics and the energy is conservative in the closure stress path. It can reflect the rockfill materials’ properties of nonlinear and pressure rigidity. The model has few parameters which are independent and have clear physical meanings. The model is used to calculate Shuibuya CFRD and the finite element results are compared with the measured data. The results show that the model is more realistic than others and thus further verifying the reliability of model．

CFRD; constitutive model; Gibbs free energy

2015- 03- 08

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372156)

王曉玥(1991—)，女，河北衡水人，碩士，主要從事堆石壩本構(gòu)模型計(jì)算研究；杜麗惠(通訊作者)．

TU452

A

0559- 9342(2015)12- 0058- 05