水下航行器固有頻率模型的可靠性分析

劉克勤，李天勻，朱翔，黃惜春

1 華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074

2 中國艦船研究設計中心，湖北武漢430064

0 引 言

利用有限元模型對工程結構進行仿真分析在工程中已經得到了廣泛的應用，在有限元模型的基礎上還可對結構進行優化設計和性能預報。然而使用有限元模型模擬工程實際結構時不可避免地存在誤差，如果誤差很大甚至遠遠超過工程誤差的允許范圍，則有限元模型是不可靠的，因而基于有限元模型所做的任何分析都缺乏可信度。一般認為工程試驗得到的結果具有較高的可靠性，因此將試驗結果作為有限元模型的評判標準，在此基礎上對原有的有限元模型進行修改，使得有限元模型的計算結果更接近試驗結果，這就是有限元模型的修正。有限元模型確認在有限元模型修正的基礎上，進一步量化模型中的不確定性和傳遞特性，通過統計意義下的模型修正來校準參數［1］，預報和估計有限元模型計算結果與工程實際的差異，并全面評估有限元模型的精度和計算結果的可信度［2］，最終得到可靠的有限元模型。

模型修正始于20 世紀50年代航空航天業，現已廣泛應用于航空航天、土木、汽車等工程領域。早期的有限元模型修正使用矩陣型修正方法，對有限元模型的質量、剛度或阻尼矩陣的元素進行修正，但矩陣型修正法在修正后，矩陣缺乏明確的物理意義，難以保存原模型的鏈接信息，計算效率低，難以在工程復雜的結構中應用。現在工程領域中廣泛使用的是設計參數型修正法，該方法是對有限元模型中設置的實際物理參數進行修正，結合大型有限元分析軟件，使得運用設計參數型修正法進行模型修正更加實用。20 世紀90年代模型修正在統計學的基礎上進一步向模型確認發展，美國機械工程師學會等都發布過模型修正和確認的技術框架。模型修正和確認在工程實際領域也得到了廣泛應用，如Zang 等［3］對航空發動機部件及整機模型進行了模型修正與確認；Dascotte［4-5］對轎車車身的有限元模型進行了修正；夏品奇等［6］基于固有頻率和模態振型對新加坡Safti大橋模型進行了修正。

近年來，國內開始引入有限元模型修正和確認的概念并將其應用到了工程領域中，如郭勤濤等［7-8］對國內外有限元模型修正和確認的研究情況進行過詳細介紹；而后與張冬冬等［9-11］共同就分級確認、代理模型、確認準則等有限元模型的確認方法進行了研究，并將其應用于工程實際模型中；宗周紅等［12-13］較完整地運用有限元模型修正和確認方法，對包括下白石大橋在內的多座橋梁的有限元模型進行了修正和確認。在船舶領域，童宗鵬等［14］通過頻響函數相關系數靈敏度的分析方法，以發動機和軸系支撐剛度為修正參數，對艦艇模型的有限元模型進行了修正；溫華兵等［15］也通過相似的方法以隔振器剛度為修正參數對浮筏艙段結構有限元模型做出修正，修正后的頻響函數更加趨近于試驗結果。

本文將基于有限元模型修正和確認理論方法，對水下航行器有限元模型的可靠性進行分析。本文將有限元模型部分結構的彈性模量和密度作為修正參數，以前四階彎曲振動固有頻率作為響應特征，建立多項式函數響應面模型。使用蒙特卡羅模擬抽取50 萬組修正參數代入響應面模型，計算彎曲振動固有頻率。根據核密度估計對水下航行器前四階彎曲固有頻率的概率分布進行預報，用于和試驗結果對比，以判斷模型的可靠性。

1 有限元模型修正與確認

圖1 為模型修正與確認的基本流程，該流程基于響應面函數的設計參數型有限元模型。

圖1 基于響應面的有限元模型修正與確認基本流程Fig.1 The process of finite element model updating and validation based on response surface

1.1 響應面模型

響應面模型將復雜的有限元模型計算過程簡化為簡單的修正參數與響應特征值之間的函數關系，使用響應面函數代替有限元模型進行計算可以提高模型的計算效率，其中響應特征為響應面函數的因變量，修正參數為響應面函數的自變量。

建立響應面模型需要選擇修正參數變量空間中的一組樣本點，用于對有限元模型進行擬合，通過中心復合試驗設計可以選擇合適的樣本點，從而用較少的樣本去獲得理想的響應面模型，這種方法適用于低階響應面模型［2］。中心復合試驗設計共分為3 個部分，選擇樣本的數量與修正參數的個數n 有關。第1 部分包括1 組樣本，要求每個修正參數都在取值范圍的中心處取值；第2 部分包括2n組樣本，要求每個修正參數在最大值或最小值處交叉取值；第3 個部分包括2n 組樣本，要求某一個因素取中心值和最大值或最小值的幾何平均，其他修正參數和第1 部分相同，在中心處取值，中心復合設計選擇樣本的數量共有N=1+2n+2n 組。

使用設計參數型修正法進行有限元模型的修正和確認，選擇的修正參數應該具有一定的靈敏度，能夠顯著影響響應特征。根據數理統計相關理論［16］，給出假設H0：假設修正參數不能顯著影響響應特征。若假設成立，則檢驗統計量應滿足F分布，根據檢驗統計量觀測值在F 分布中的位置即可得到F 檢驗值p，p 表示檢驗統計量取觀測值的概率，若檢驗值p 小于給定的顯著水平，則可以拒絕假設H0，認為修正參數能夠顯著影響相應特征。

得到響應面函數后通過R2檢驗和相對均方根誤差（RMSE）檢驗，檢查響應面模型的擬合情況，R2檢驗和RMSE 檢驗計算如式（1）和式（2）所示。

式中：n 為試驗設計選取的樣本數量；yRi和yi為第i 組樣本在響應面函數和有限元模型中對應的響應特征值；為有限元模型中響應特征值的均值。

R2判定系數和RMSE 值都是表征響應面函數擬合效果的無量綱參數，取值范圍在0～1 之間。R2取值越趨近于1 或者RMSE 取值越趨近于0 時，響應面函數的擬合效果越好。

1.2 模型可靠性分析

模型確認過程的核心內容是計算模型輸出響應結果與試驗響應結果的對比過程，根據模型確認準則，實現計算模型可信度評價［17］。由于試驗中試件的不確定性、數據測量與數據處理的不確定性以及試驗環境的不確定性等原因［2］，試驗結果也是不確定的。有限元模型通過設計參數的取值變化來完成特征響應的不確定性分析。假設有限元模型是可靠的，則計算得到的響應特征分布應該和試驗結果的分布相近，可以認為兩者具有相同的統計分布，因此試驗結果應位于有限元模型的預報區間內，此時認為假設成立，有限元模型是可靠的。

蒙特卡羅模擬是目前采用得最為廣泛的概率分析方法［13］，使用蒙特卡羅模擬可以量化修正參數的不確定性對響應特征不確定性的影響，通過修正參數的變化得到響應特征的統計分布情況。蒙特卡羅模擬根據修正參數的概率密度函數，從取值區間中選擇一定數量的樣本代入響應面模型進行計算，通過對響應特征的計算結果統計分析得到響應特征的分布情況。

由于響應特征的分布情況未知，因而采用核密度估計獲得響應特征的分布情況。假設xi是樣本的觀測值，在任意點x 處的總體密度函數的核密度估計fh（x）的定義如式（3）［18］所示：

式中：h 為窗寬；K 為核函數，一般使用高斯核函數。

2 有限元模型可靠性分析

水下航行器有限元模型需要重點關注艉部結構的振動特性，三維模型部分使用梁單元和殼單元詳細建模，其他部分則用梁單元簡化模擬，梁單元與三維模型間用剛性域連接，結構模型如圖2所示［19］。

圖2 水下航行器有限元模型Fig.2 The finite element model of the underwater vehicle

2.1 修正參數和響應特征選擇

本文選擇模型艉艙壁前面部分結構的彈性模量和密度、艉部部分結構的彈性模量和密度4 個量作為修正參數，分別設為X1，X2，X3和X4。由于材料彈性模量和密度數量級相差較大，考慮到響應面模型的需要以及模型自身材料的分布情況，將所有修正參數除以初始值轉變為無量綱量。模型艉艙壁前部分在整體模型中所占比重較大，因此艉艙壁前面部分修正參數浮動范圍應相對較小。又由于有限元模型重點關注艉部結構的振動特性，因此艉部部分修正參數的浮動范圍應相對較大，因而X1和X2的取值區間為［0.9，1.1］，X3和X4的取值區間為［0.7，1.3］。

響應特征選取水下航行器前四階彎曲固有頻率，分別設為Y1，Y2，Y3和Y4。由于模態試驗更加容易在空氣中進行，故此處模態均指干模態。

2.2 有限元模型計算結果

圖3 為有限元模型計算得到水下航行器結構的前四階彎曲模態云圖。

圖3 水下航行器前四階彎曲模態云圖Fig.3 The contours of the first four bending mode shapes

2.3 建立響應面模型

采用中心復合試驗設計法選擇25 組修正參數代入到有限元模型中進行計算，修正參數取值情況和計算結果如表1 所示。

根據以上樣本進行方差分析，各響應特征和各修正參數之間的F 檢驗值如表2 所示。

表中F 檢驗值結果最大僅為3.4×10-7，即上述數據表明修正參數對響應特征影響不顯著這一假設成立的概率最大僅為0.000 034%，因此可以拒絕假設，認為所有修正參數對響應特征都有顯著的影響。

根據樣本使用三次多項式函數對4 個響應特征進行擬合，擬合后的R2檢驗和RMSE 檢驗結果如表3 所示。

表3 中R2判定系數均基本等于1，RMSE 值均接近于0，表明使用三次多項式建立的響應面模型擬合效果很好。

表1 試驗設計與計算結果Tab.1 The results of experiment and calculation

表2 響應特征和修正參數之間的F 檢驗值Tab.2 The F-test value of responses and parameters

表3 多項式擬合檢驗Tab.3 The results of polynomial fitting test

2.4 特征頻率參數估計

假設修正參數在取值區間內均勻分布，選擇若干組修正參數帶入響應面模型中進行計算，經驗證，當蒙特卡羅模擬次數達到50 萬次以上時，所有預報區間均可以精確到小數點后2 位數字，故此處選擇50 萬組修正參數代入響應面模型中進行計算。利用核密度估計法對計算結果進行統計分析，得到4個響應參數的概率密度函數（圖4）。

圖4 響應參數概率密度函數Fig.4 Probability density function of responses

表4 為前四階彎曲固有頻率在置信度分別為0.90 和0.95 時的置信區間，此時假設水下航行器有限元模型可靠。

表4 前四階彎曲固有頻率的置信區間Tab.4 The interval estimate of the first four bending frequencies

通過對水下航行器進行全尺度試驗，得到前四階彎曲固有頻率，將試驗結果和表4 進行比對。表中置信度為0.90 時水下航行器一階彎曲振動固有頻率取值范圍為4.81～5.08 Hz，表明水下航行器有限元模型可靠這一假設成立時，模態試驗得到水下航行器一階彎曲固有頻率在4.81～5.08 Hz區間內的概率為90%，如果試驗結果滿足要求，則可以判斷有限元模型是可靠的。上表給出了基于目前有限元模型得到的水下航行器前四階彎曲固有頻率的置信區間，如果試驗結果均能位于預報區間內，則可以認為該有限元模型能夠反映水下航行器的振動特性，現有的有限元模型是可靠的。

3 結 語

本文將有限元修正和確認的相關理論引入到水下航行器有限元模型的分析中，建立多項式響應面模型，給出了水下航行器前四階彎曲振動固有頻率的區間估計，提出以彎曲固有頻率試驗結果是否處于預報區間作為判斷有限元模型可靠性的依據。該方法可推廣用于判斷長寬比較大的船舶有限元模型的可靠性。

［1］宗周紅，任偉新. 橋梁有限元模型修正和模型確認［M］.北京：人民交通出版社，2012.

［2］李輝，丁樺.結構動力模型修正方法研究進展［J］.力學進展，2005，35（2）：170-180.LI Hui，DING Hua. Progress in model updating for structural dynamics ［J］. Advances in Mechanics，2005，35（2）：170-180.

［3］ZANG C P，EWINS D J. Model validation for structur?al dynamics in the aero-engine design process［J］.Frontiers of Energy and Power Engineering in China，2009，3（4）：480-488.

［4］DASCOTTE E. Linking finite element analysis and test：case study in automobile industry［C］//Proceed?ings of 11th International Modal Analysis Conference.Florida，USA，1993：456-461.

［5］DASCOTTE E. Application of sensitivity analysis and finite element model tuning on a car body［C］// Pro?ceedings of the 15th International Seminar On Modal Analysis and Structural Dynamics. Leuven，Belgium，1990：483-393.

［6］夏品奇，BROWNJOHN J M W.斜拉橋有限元模型與建模修正［J］.振動工程學報，2003，16（2）：219-223.XIA Pinqi，BROWNJOHN J M W. Finite element mod?eling and model updating of a cable-stayed bridge［J］.Journal of Vibration Engineering，2003，16（2）：219-223.

［7］郭勤濤，張令彌，費慶國. 結構動力學有限元模型修正的發展——模型確認［J］.力學進展，2006，36（1）：36-42.GUO Qintao，ZHANG Lingmi，FEI Qingguo. From FE model updating to model validation：advances in model?ing of dynamic structures［J］. Advances in Mechanics，2006，36（1）：36-42.

［8］郭勤濤，張令彌.結構動力學有限元模型確認方法研究［J］.應用力學學報，2005，22（4）：572-578.GUO Qintao，ZHANG Lingmi. Finite element model validation in structural dynamics［J］. Chinese Journal of Applied Mechanics，2005，22（4）：572-578.

［9］郭勤濤，張令彌.以沖擊響應譜為響應特征的有限元模型確認［J］.振動與沖擊，2005，24（6）：32-36.GUO Qintao，ZHANG Lingmi. FE model validation us?ing shock response spectrum as response feature［J］.Journal of Vibration and Shock，2005，24（6）：32-36.

［10］張冬冬，郭勤濤. Kriging 響應面代理模型在有限元模型確認中的應用［J］. 振動與沖擊，2013，32（9）：187-191.ZHANG Dongdong，GUO Qintao. Application of Krig?ing response surface in finite element model validation［J］. Journal of Vibration and Shock，2013，32（9）：187-191.

［11］朱躍，張令彌，郭勤濤. 基于SVR 方法的有限元模型確認中不確定性建模研究［J］. 振動與沖擊，2010，29（9）：119-122，150.ZHU Yue，ZHANG Lingmi，GUO Qintao. SVR based uncertainty modeling method for structures finite ele?ment model validation［J］. Journal of Vibration and Shock，2010，29（9）：119-122，150.

［12］宗周紅，高銘霖，夏樟華.基于健康監測的連續鋼構橋有限元模型確認（I）——基于響應面法的有限元模型修正［J］.土木工程學報，2011，44（2）：90-98.ZONG Zhouhong，GAO Minglin，XIA Zhanghua. Fi?nite element model validation of the continuous rigid frame bridge based on structural health monitoring-PartⅠ：FE model updating based on the response surface method［J］.China Civil Engineering Journal，2011，44（2）：90-98.

［13］宗周紅，高銘霖，夏樟華.基于健康監測的連續鋼構橋有限元模型確認（Ⅱ）——不確定性分析與模型精度評價［J］.土木工程學報，2011，44（3）：85-92.ZONG Zhouhong，GAO Minglin，XIA Zhanghua. Fi?nite element model validation of the continuous rigid frame bridge based on structural health monitoring?Part Ⅱ：uncertainty analysis and evaluation of model accuracy［J］. China Civil Engineering Journal，2011，44（3）：85-92.

［14］童宗鵬，章藝，沈榮瀛，等. 基于頻響函數靈敏度分析的艦艇模型修正［J］. 上海交通大學學報，2005，39（11）：1847-1850.TONG Zongpeng，ZHANG Yi，SHEN Rongying，et al.Submarine finite element model updating method based on frequency response functions of vibration［J］. Journal of Shanghai Jiao Tong University，2005，39（11）：1847-1850.

［15］溫華兵，王國治. 基于頻響函數相關系數靈敏度的浮筏艙段有限元模型修正［J］. 江蘇科技大學學報（自然科學版），2005，19（6）：75-78.WEN Huabing，WANG Guozhi. Updating finite ele?ment model of cabin with floating raft through sensitiv?ity analysis of FRF correlation coefficient［J］. Journal of Jiangsu University of Science and Technology（Nat?ural Science Edition），2005，19（6）：75-78.

［16］于寅.高等工程數學［M］.武漢：華中理工大學出版社，2001.

［17］REBBA R，MAHADEVAN S. Computational meth?ods for model reliability assessment［J］. Reliability Engineering and System Safety，2008，93（8）：1197-1207.

［18］謝中華. MATLAB 統計分析與應用：40 個案例分析［M］.北京：北京航空航天大學出版社，2010.

［19］馮國平，諶勇，黃修長，等. 艦艇艉部縱向激勵傳遞特性分析［J］. 噪聲與振動控制，2009，29（6）：132-135.FENG Guoping，CHEN Yong，HUANG Xiuchang，et al. Study on transmission paths in submarine stern ex?cited longitudinally［J］. Noise and Vibration Control，2009，29（6）：132-135.