多元線性回歸分析實(shí)例分析

王華麗

摘 要：多元線性回歸是簡(jiǎn)單線性回歸的推廣，研究的是一個(gè)變量與多個(gè)變量之間的依賴關(guān)系。作為質(zhì)量統(tǒng)計(jì)軟件領(lǐng)域的領(lǐng)導(dǎo)者，MINITAB是一個(gè)精確的、強(qiáng)大的、使用方便的統(tǒng)計(jì)軟件。多元回歸分析預(yù)測(cè)法，是指通過(guò)對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量與一個(gè)因變量的相關(guān)分析，建立預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法。當(dāng)自變量與因變量之間存在線性關(guān)系時(shí)，稱為多元線性回歸分析。該文通過(guò)一個(gè)具體實(shí)例介紹如何運(yùn)用MINITAB軟件，建立兒子身高與父母身高、年鍛煉次數(shù)的多元線性回歸模型，并對(duì)MINITAB的輸出結(jié)果進(jìn)行分析，得出方程效果良好的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：MINITAB軟件 多元線性回歸 顯著性 實(shí)例分析

中圖分類號(hào)：O212 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）10（b）-0022-02

回歸分析是數(shù)據(jù)分析中使用很多的一種方法?；貧w分析是定量的給出變量間的變化規(guī)律，它不僅提供變量間的回歸方程，而且可以判斷所建立回歸方程的有效性。在方程有效性的前提下，可以用方程做預(yù)測(cè)和控制，并了解預(yù)測(cè)和控制的精度。多元回歸分析預(yù)測(cè)法，是指通過(guò)對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量與一個(gè)因變量的相關(guān)分析，建立預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法。當(dāng)自變量與因變量之間存在線性關(guān)系時(shí)，稱為多元線性回歸分析。

MINITAB軟件是現(xiàn)代質(zhì)量管理統(tǒng)計(jì)的領(lǐng)導(dǎo)者，全球六西格瑪實(shí)施的共同語(yǔ)言，它以無(wú)可比擬的強(qiáng)大功能和簡(jiǎn)易的可視化操作獲得了廣大質(zhì)量學(xué)者和統(tǒng)計(jì)專家的青睞。MINITAB軟件是為質(zhì)量改善、教育和研究應(yīng)用領(lǐng)域提供統(tǒng)計(jì)軟件和服務(wù)，是質(zhì)量管理和六西格瑪實(shí)施軟件工具，更是持續(xù)質(zhì)量改進(jìn)的良好工具軟件。

1 多元線性回歸分析的一般模型

多元線性回歸分析的一般模型為：設(shè)是個(gè)自變量（解釋變量），是因變量，多元線性回歸模型的理論假設(shè)是

其中，是個(gè)未知參數(shù)，稱為回歸常數(shù)，稱為回歸系數(shù)，為隨機(jī)誤差。

2 MINITAB軟件建立模型

下面通過(guò)一個(gè)實(shí)例來(lái)詳細(xì)講解，如何運(yùn)用MINITAB軟件進(jìn)行多元線性回歸?，F(xiàn)抽取20個(gè)家庭調(diào)查資料的部分變量，數(shù)據(jù)見(jiàn)表1，試對(duì)父母身高與兒子身高進(jìn)行回歸分析。

使用MINITAB軟件，輸入表1中數(shù)據(jù)，選擇指令“統(tǒng)計(jì)>回歸>回歸”，在出現(xiàn)界面輸入相應(yīng)的變量名；打開(kāi)“圖形”窗，選擇“四合一”及在“殘差與變量”中填入各自變量名稱；打開(kāi)“存儲(chǔ)”窗，選擇“殘差”、“標(biāo)準(zhǔn)化殘差”及“擬合值”，點(diǎn)擊“確定”后，得到輸出結(jié)果。

MINITAB輸出結(jié)果：

回歸方程：

兒子身高=-23.7+0.303父親身高+0.880母親身高+0.0593鍛煉次數(shù)

S=1.11974 R-sq=96.33% R-sq（調(diào)整）=95.65%

回歸方程擬合出來(lái)以后，我們要解決以下幾個(gè)問(wèn)題：（1）給出方程顯著性檢驗(yàn)，從總體上判定回歸方程有效與否。（2）給出方程總效果好壞的度量。（3）在回歸方程效果顯著時(shí)，對(duì)各個(gè)回歸系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，將效應(yīng)不顯著的自變量刪除，以優(yōu)化模型，這點(diǎn)在多元回歸中尤為重要。（4）殘差診斷，檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否符合回歸的基本假定，檢驗(yàn)整個(gè)回歸模型與數(shù)據(jù)擬合的是否很好，可否進(jìn)一步改進(jìn)回歸方程來(lái)優(yōu)化現(xiàn)有模型。

3 MINITAB輸出結(jié)果分析

如何判斷整個(gè)回歸方程是否有意義？就要進(jìn)行回歸方程顯著性檢驗(yàn)，也就是要檢驗(yàn)下列問(wèn)題：H0：模型無(wú)意義，H1模型有意義。本例（表3）ANOVA表中P =0<0.05，所以拒絕H0：模型無(wú)意義，接受H1模型有意義。說(shuō)明在顯著性水平a=0.05下，線性回歸方程總效果是顯著的。

如果實(shí)際觀測(cè)值與擬合出來(lái)的回歸線很接近，就說(shuō)明回歸線與數(shù)據(jù)擬合的很好，就可以說(shuō)回歸方程的總效果很好。（表2）我們通常用Rsq、Rsq（adj）、S作為回歸方程總效果的度量，以此來(lái)比較幾種回歸方程效果的好壞。Rsq是回歸平方和占離差平方和的比率，其數(shù)值越接近1代表模型擬合的越好。當(dāng)然Rsq并不是回歸模型擬合效果的最好度量指標(biāo)，因?yàn)楫?dāng)多一個(gè)自變量加入模型時(shí)，不管這個(gè)自變量是否顯著，回歸平方和就會(huì)增大，Rsq也會(huì)增大，這樣就看不出新增加的自變量是否有意義，這點(diǎn)在多元回歸中更為明顯。因此我們用Rsq（adj）去修正Rsq，以考慮總項(xiàng)數(shù)給模型帶來(lái)的影響。Rsq（adj）≤Rsq兩者數(shù)值越接近越好，另一個(gè)指標(biāo)是殘差標(biāo)準(zhǔn)差，它是從觀察值與擬合回歸線的平均偏離程度來(lái)度量的，也是回歸模型中標(biāo)準(zhǔn)差σ的估計(jì)值。對(duì)于幾個(gè)不同的回歸方程的效果加以比較時(shí)，S是個(gè)最重要的指標(biāo)，那個(gè)S最小，哪個(gè)回歸方程就最小。

從本例輸出結(jié)果看Rsq96.33%，Rsq（adj）=95.65%來(lái)看，兩者很接近，S=1.11974比較小，模型還可以。

回歸方程顯著時(shí)，做回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)，一般假設(shè)H0：β=0，H1：β≠0，若P<0.05，則回歸系數(shù)不為零，說(shuō)明系數(shù)對(duì)應(yīng)的自變量是顯著的。當(dāng)只有一個(gè)自變量時(shí)，回歸方程顯著性檢驗(yàn)與回歸系數(shù)檢驗(yàn)是等價(jià)的，但是當(dāng)自變量不止一個(gè)時(shí)，回歸總效果顯著不能排除某幾個(gè)變量是無(wú)意義的。我們進(jìn)行回歸方程系數(shù)檢驗(yàn)的目的，就是要找出是否有“濫竽充數(shù)”的自變量，把這些多余的自變量從方程中刪除掉，以修正現(xiàn)有模型。

從本例輸出結(jié)果看到三個(gè)自變量P值都小于0.05，故三個(gè)都為顯著因子。

模型中，X1系數(shù)0.303表示：如果父親比同一代人的平均身高多1cm，那么他的兒子將比兒子那一代人的平均身高多出0.303 cm；X2的系數(shù)解釋也是如此；X3的系數(shù)表示參加體育鍛煉的次數(shù)和身高之間存在正相關(guān)；常數(shù)項(xiàng)一般沒(méi)有與它相對(duì)應(yīng)的實(shí)際意義上的解釋。

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