多元線性回歸分析實例分析

王華麗

摘 要：多元線性回歸是簡單線性回歸的推廣，研究的是一個變量與多個變量之間的依賴關系。作為質量統計軟件領域的領導者，MINITAB是一個精確的、強大的、使用方便的統計軟件。多元回歸分析預測法，是指通過對兩個或兩個以上的自變量與一個因變量的相關分析，建立預測模型進行預測的方法。當自變量與因變量之間存在線性關系時，稱為多元線性回歸分析。該文通過一個具體實例介紹如何運用MINITAB軟件，建立兒子身高與父母身高、年鍛煉次數的多元線性回歸模型，并對MINITAB的輸出結果進行分析，得出方程效果良好的結論。

關鍵詞：MINITAB軟件 多元線性回歸 顯著性 實例分析

中圖分類號：O212 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）10（b）-0022-02

回歸分析是數據分析中使用很多的一種方法?；貧w分析是定量的給出變量間的變化規律，它不僅提供變量間的回歸方程，而且可以判斷所建立回歸方程的有效性。在方程有效性的前提下，可以用方程做預測和控制，并了解預測和控制的精度。多元回歸分析預測法，是指通過對兩個或兩個以上的自變量與一個因變量的相關分析，建立預測模型進行預測的方法。當自變量與因變量之間存在線性關系時，稱為多元線性回歸分析。

MINITAB軟件是現代質量管理統計的領導者，全球六西格瑪實施的共同語言，它以無可比擬的強大功能和簡易的可視化操作獲得了廣大質量學者和統計專家的青睞。MINITAB軟件是為質量改善、教育和研究應用領域提供統計軟件和服務，是質量管理和六西格瑪實施軟件工具，更是持續質量改進的良好工具軟件。

1 多元線性回歸分析的一般模型

多元線性回歸分析的一般模型為：設是個自變量（解釋變量），是因變量，多元線性回歸模型的理論假設是

其中，是個未知參數，稱為回歸常數，稱為回歸系數，為隨機誤差。

2 MINITAB軟件建立模型

下面通過一個實例來詳細講解，如何運用MINITAB軟件進行多元線性回歸。現抽取20個家庭調查資料的部分變量，數據見表1，試對父母身高與兒子身高進行回歸分析。

使用MINITAB軟件，輸入表1中數據，選擇指令“統計>回歸>回歸”，在出現界面輸入相應的變量名；打開“圖形”窗，選擇“四合一”及在“殘差與變量”中填入各自變量名稱；打開“存儲”窗，選擇“殘差”、“標準化殘差”及“擬合值”，點擊“確定”后，得到輸出結果。

MINITAB輸出結果：

回歸方程：

兒子身高=-23.7+0.303父親身高+0.880母親身高+0.0593鍛煉次數

S=1.11974 R-sq=96.33% R-sq（調整）=95.65%

回歸方程擬合出來以后，我們要解決以下幾個問題：（1）給出方程顯著性檢驗，從總體上判定回歸方程有效與否。（2）給出方程總效果好壞的度量。（3）在回歸方程效果顯著時，對各個回歸系數進行顯著性檢驗，將效應不顯著的自變量刪除，以優化模型，這點在多元回歸中尤為重要。（4）殘差診斷，檢驗數據是否符合回歸的基本假定，檢驗整個回歸模型與數據擬合的是否很好，可否進一步改進回歸方程來優化現有模型。

3 MINITAB輸出結果分析

如何判斷整個回歸方程是否有意義？就要進行回歸方程顯著性檢驗，也就是要檢驗下列問題：H0：模型無意義，H1模型有意義。本例（表3）ANOVA表中P =0<0.05，所以拒絕H0：模型無意義，接受H1模型有意義。說明在顯著性水平a=0.05下，線性回歸方程總效果是顯著的。

如果實際觀測值與擬合出來的回歸線很接近，就說明回歸線與數據擬合的很好，就可以說回歸方程的總效果很好。（表2）我們通常用Rsq、Rsq（adj）、S作為回歸方程總效果的度量，以此來比較幾種回歸方程效果的好壞。Rsq是回歸平方和占離差平方和的比率，其數值越接近1代表模型擬合的越好。當然Rsq并不是回歸模型擬合效果的最好度量指標，因為當多一個自變量加入模型時，不管這個自變量是否顯著，回歸平方和就會增大，Rsq也會增大，這樣就看不出新增加的自變量是否有意義，這點在多元回歸中更為明顯。因此我們用Rsq（adj）去修正Rsq，以考慮總項數給模型帶來的影響。Rsq（adj）≤Rsq兩者數值越接近越好，另一個指標是殘差標準差，它是從觀察值與擬合回歸線的平均偏離程度來度量的，也是回歸模型中標準差σ的估計值。對于幾個不同的回歸方程的效果加以比較時，S是個最重要的指標，那個S最小，哪個回歸方程就最小。

從本例輸出結果看Rsq96.33%，Rsq（adj）=95.65%來看，兩者很接近，S=1.11974比較小，模型還可以。

回歸方程顯著時，做回歸系數顯著性檢驗，一般假設H0：β=0，H1：β≠0，若P<0.05，則回歸系數不為零，說明系數對應的自變量是顯著的。當只有一個自變量時，回歸方程顯著性檢驗與回歸系數檢驗是等價的，但是當自變量不止一個時，回歸總效果顯著不能排除某幾個變量是無意義的。我們進行回歸方程系數檢驗的目的，就是要找出是否有“濫竽充數”的自變量，把這些多余的自變量從方程中刪除掉，以修正現有模型。

從本例輸出結果看到三個自變量P值都小于0.05，故三個都為顯著因子。

模型中，X1系數0.303表示：如果父親比同一代人的平均身高多1cm，那么他的兒子將比兒子那一代人的平均身高多出0.303 cm；X2的系數解釋也是如此；X3的系數表示參加體育鍛煉的次數和身高之間存在正相關；常數項一般沒有與它相對應的實際意義上的解釋。

參考文獻

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