RMI原理在中國古代傳統數學中的體現

趙世瑜

摘 要：關系映射反演方法即RMI方法，它是數學中一個極普遍的方法原則，此方法是徐治利先生在60年代研究組合數學的時候提出的一種數學方法論，在代數、三角函數、幾何、微積分等方面有著廣泛的應用。《九章算術》是中國古代的數學專著，內容十分豐富，分成了方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要九個部分。該文主要通過該原理在中國古代數學中的應用，介紹其思想與含義，說明其有化難為易、化生為熟、化繁為簡的功能，從而提高我們抽象分析和應用數學工具的能力。

關鍵詞：RMI原理 映射 反演

中圖分類號：O1-0 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）10（b）-0131-01

關系映射反演方法是一種數學方法，那么什么是數學方法呢？其實不同的人對它有不同的理解，工程師會把它理解為數學模型方法與計算方法；科學工作者會把它理解為描述客觀規律、進行定量分析的工具；數學研究人員則常常把它與“單純形法”“差分法”等專業方法相聯系；實際上數學方法體系同數學科學本身一樣是極為多樣的，與此對應的是大量不同的關于數學方法的分類，其可分為四個層次：一是數學發展和創新的方法；二是運用數學理論研究和表述事物的內在聯系和運動規律的方法；三是具有一般意義的數學解題的方法；四是特殊的數學解題方法。關系映射反演方法自20世紀60年代提出以來，在數學中已有著十分廣泛和重要的應用。在一個數學問題里，一些未知元素與已知元素原像之間有一定的關系，若希望由此求得未知元素，但直接求解比較困難，這時可尋找一個映射一一對應，把原像關系映射成“映像關系”，通過映像關系求得未知元素的映像。最后從未知元素的映像通過逆對應稱為“反演”，求得未知元素，這種研究問題的思路稱為關系映射反演方法。關系映射反演方法是一種把較困難的問題轉化為較容易處理的，使原問題最終獲得解決的方法，在數學發現和數學解題中有著多方面的作用。下面我們就看看用關系映射反演方法如何在中國古代傳統數學中應用的體現。

戰國時期，各諸侯國相繼完成了向封建制度的過渡。思想界、學術界諸子林立，百家爭鳴，異常活躍，為數學和科學技術的發展創造了良好的條件。盡管沒有一部先秦的數學著作留傳到后世，但是，人們通過田地及國土面積的測量、粟米的交換、收獲及戰利品的分配、城池的修建、水利工程的設計、賦稅的合理負擔、產量的計算，以及測高望遠等生產生活實踐，積累了大量的數學知識。據東漢初鄭眾記載，當時的數學知識分成了方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要九個部分，稱為“九數”。九數確立了《九章算術》的基本框架，其中就有盈不足術。從中國古代理論的淵源來說，盈不足術無疑是我國古代獨立的創造，實質也是RMI的表現。在數學發展的早期，要解決復雜的問題很不容易，中國古算家通過兩次假設與檢驗（如劉徽所謂的“課”），即把實際的應用問題構造成特定的盈不足模式。盈不足術的大概思想過程表示如下：設每人出錢，盈錢；每人出錢，不足錢，求物價x和人數y。有公式：，

當然，我們還可以算出每人應該分攤的錢數：

例如《九章算術》盈不足章開宗明義的第十五題：今有漆三得油四，油四和漆五。今有漆三斗，欲令分以易油，還自和余漆。問：出漆、得油、和漆各幾何？答曰：出漆一斗一升、四分升之一，得油一斗五升，和漆一斗八升，四分升之三。術曰：假令出漆九升，不足六升。令之出漆一斗二升，有余二升。注：“得”，獲得，交換，“漆三得油四”即漆三分可換得油四分。“和”，混合，參合。

解：按照術文的陳述，先把問題首次轉化為盈不足問題，由題意得a1為9，b1為6，a2為12，b1為2；

再用盈不足術求解，則“出漆”：

L，“出漆”L。

上述過程中表現出的RMI方法的思想過程可表示為如圖1所示。

這實際上是數學問題的一種“模式化”構造過程，即RMI中的映射。通過這種模式化構造，一般應用問題（這相當于RMI中的原像）就轉化為特定的盈不足問題（這相當于RMI中的像）求解。這說明通過映射可將原像定映成像。盈不足的構造為人們提供了處理問題的RMI方法，因為問題本身是來自原理型的，是實現中的問題。其中許多都是較復雜的實際問題，當以兩次假設提出盈不足構成問題時，實現了從現實型到盈不足模型的對應關系這是映射，此時的問題已是模型化了的問題，這是定映像；盈不足術即是針對這種數學模型的算法，由于具有一般性和機械性的特點，按程序一步步運算即得盈不足公式，把問題中的數據代入公式，得盈不足問題的解，再回到實際問題的解，就是反演。以上就是RMI方法在中國古代傳統數學方面的體現。

參考文獻

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