RMI原理在中國古代傳統(tǒng)數(shù)學中的體現(xiàn)

趙世瑜

摘 要：關系映射反演方法即RMI方法，它是數(shù)學中一個極普遍的方法原則，此方法是徐治利先生在60年代研究組合數(shù)學的時候提出的一種數(shù)學方法論，在代數(shù)、三角函數(shù)、幾何、微積分等方面有著廣泛的應用。《九章算術》是中國古代的數(shù)學專著，內(nèi)容十分豐富，分成了方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要九個部分。該文主要通過該原理在中國古代數(shù)學中的應用，介紹其思想與含義，說明其有化難為易、化生為熟、化繁為簡的功能，從而提高我們抽象分析和應用數(shù)學工具的能力。

關鍵詞：RMI原理 映射 反演

中圖分類號：O1-0 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）10（b）-0131-01

關系映射反演方法是一種數(shù)學方法，那么什么是數(shù)學方法呢？其實不同的人對它有不同的理解，工程師會把它理解為數(shù)學模型方法與計算方法；科學工作者會把它理解為描述客觀規(guī)律、進行定量分析的工具；數(shù)學研究人員則常常把它與“單純形法”“差分法”等專業(yè)方法相聯(lián)系；實際上數(shù)學方法體系同數(shù)學科學本身一樣是極為多樣的，與此對應的是大量不同的關于數(shù)學方法的分類，其可分為四個層次：一是數(shù)學發(fā)展和創(chuàng)新的方法；二是運用數(shù)學理論研究和表述事物的內(nèi)在聯(lián)系和運動規(guī)律的方法；三是具有一般意義的數(shù)學解題的方法；四是特殊的數(shù)學解題方法。關系映射反演方法自20世紀60年代提出以來，在數(shù)學中已有著十分廣泛和重要的應用。在一個數(shù)學問題里，一些未知元素與已知元素原像之間有一定的關系，若希望由此求得未知元素，但直接求解比較困難，這時可尋找一個映射一一對應，把原像關系映射成“映像關系”，通過映像關系求得未知元素的映像。最后從未知元素的映像通過逆對應稱為“反演”，求得未知元素，這種研究問題的思路稱為關系映射反演方法。關系映射反演方法是一種把較困難的問題轉化為較容易處理的，使原問題最終獲得解決的方法，在數(shù)學發(fā)現(xiàn)和數(shù)學解題中有著多方面的作用。下面我們就看看用關系映射反演方法如何在中國古代傳統(tǒng)數(shù)學中應用的體現(xiàn)。

戰(zhàn)國時期，各諸侯國相繼完成了向封建制度的過渡。思想界、學術界諸子林立，百家爭鳴，異常活躍，為數(shù)學和科學技術的發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。盡管沒有一部先秦的數(shù)學著作留傳到后世，但是，人們通過田地及國土面積的測量、粟米的交換、收獲及戰(zhàn)利品的分配、城池的修建、水利工程的設計、賦稅的合理負擔、產(chǎn)量的計算，以及測高望遠等生產(chǎn)生活實踐，積累了大量的數(shù)學知識。據(jù)東漢初鄭眾記載，當時的數(shù)學知識分成了方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要九個部分，稱為“九數(shù)”。九數(shù)確立了《九章算術》的基本框架，其中就有盈不足術。從中國古代理論的淵源來說，盈不足術無疑是我國古代獨立的創(chuàng)造，實質(zhì)也是RMI的表現(xiàn)。在數(shù)學發(fā)展的早期，要解決復雜的問題很不容易，中國古算家通過兩次假設與檢驗（如劉徽所謂的“課”），即把實際的應用問題構造成特定的盈不足模式。盈不足術的大概思想過程表示如下：設每人出錢，盈錢；每人出錢，不足錢，求物價x和人數(shù)y。有公式：，

當然，我們還可以算出每人應該分攤的錢數(shù)：

例如《九章算術》盈不足章開宗明義的第十五題：今有漆三得油四，油四和漆五。今有漆三斗，欲令分以易油，還自和余漆。問：出漆、得油、和漆各幾何？答曰：出漆一斗一升、四分升之一，得油一斗五升，和漆一斗八升，四分升之三。術曰：假令出漆九升，不足六升。令之出漆一斗二升，有余二升。注：“得”，獲得，交換，“漆三得油四”即漆三分可換得油四分。“和”，混合，參合。

解：按照術文的陳述，先把問題首次轉化為盈不足問題，由題意得a1為9，b1為6，a2為12，b1為2；

再用盈不足術求解，則“出漆”：

L，“出漆”L。

上述過程中表現(xiàn)出的RMI方法的思想過程可表示為如圖1所示。

這實際上是數(shù)學問題的一種“模式化”構造過程，即RMI中的映射。通過這種模式化構造，一般應用問題（這相當于RMI中的原像）就轉化為特定的盈不足問題（這相當于RMI中的像）求解。這說明通過映射可將原像定映成像。盈不足的構造為人們提供了處理問題的RMI方法，因為問題本身是來自原理型的，是實現(xiàn)中的問題。其中許多都是較復雜的實際問題，當以兩次假設提出盈不足構成問題時，實現(xiàn)了從現(xiàn)實型到盈不足模型的對應關系這是映射，此時的問題已是模型化了的問題，這是定映像；盈不足術即是針對這種數(shù)學模型的算法，由于具有一般性和機械性的特點，按程序一步步運算即得盈不足公式，把問題中的數(shù)據(jù)代入公式，得盈不足問題的解，再回到實際問題的解，就是反演。以上就是RMI方法在中國古代傳統(tǒng)數(shù)學方面的體現(xiàn)。

參考文獻

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