分部積分巧妙談

劉淑芹

摘 要：在高等數學課程中，培養學生熟練掌握和靈活運用初等求積方法并且結合教學內容提高學生的審美情趣是一項基本重要的教學任務。分部積分法作為積分學的基本方法之一，與乘積的微分法遙相呼應，往往針對積分題型為被積函數是兩個基本初等函數相乘，是求不定積分的一種化難為易的有效方法，在積分學中有著重要的作用。該文通過一個簡單的圖示以加速讀者的計算，同時因為分部積分不但解決了許多常見的積分問題，而且在很多情況下體現了數學的巧妙之美，該文也將結合例子來說明，分部積分法都有哪些巧妙之處。

關鍵詞：數學之美 對稱性 再現技巧 高等數學

中圖分類號：O172 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）10（b）-0144-02

當被積函數為兩個因子相乘，直接積分法或湊微分的方法又失效時，可考慮使用分部積分法，誰扮演，誰扮演，這是分部積分的關鍵，初學者往往對此有些困惑，或者掌握了基本方法，一加速又容易出錯，很多老師也總結了一些方法，比如求導要比較簡單而的原函數應該好求，又如“反對不要碰，三指動一動”[1]，是講反三角函數和對數函數扮演不要碰，留在原處，而三角函數和指數函數則是要扮演，拿來湊微分。本文介紹的圖示法則可以讓初學者比較快速地做出判斷與計算。

1 分部積分來源簡述

大家所熟悉的簡潔對稱的求導乘法公式通過兩邊取不定積分得到，即有，兩個積分號共存于一個等式中，所以這就給了我們很多啟發，假若難求，好求，難求的就可以轉化為好求的，所以分部積分是求不定積分的一種化難為易的有效方法。

2 快速巧選和

筆者在這里，用一個簡單的圖示，可以通過位置信息告訴學生快速選擇和。我們常見的使用分部積分的題目有冪函數乘指數函數、冪函數乘三角函數、冪函數乘對數函數、冪函數乘反三角函數、指數函數乘三角函數，這里有一個連接點，那就是冪函數，我們以此為中心把它們放在一起如下圖，連線代表乘法，我們可以這樣告訴同學們，當冪函數乘指數函數時，是指數函數扮演拿來湊微分，而指數函數在連線的上方，同樣的位置規律，又如冪函數乘對數函數，冪函數在連線的上方，其扮演，圖中有一條東西方向連線比較特殊，指數函數與三角函數相乘，在這種情形下，兩者任選一個可作為，這個圖很簡單，學生也很容易記住。（如圖1）

3 所湊要吻合

學生大都覺得求導比較簡單，因為答案是唯一的，比如復合函數求導，從外到內，如同剝竹筍般，只需每次求導把里面的看成一個整體即可。而不定積分是求導的反運算，是一個多值問題，分部積分中在選定后要湊成，如何選擇呢，因為是要和相乘的，唯一，我們要在蕓蕓候選者中找一個和吻合，使得轉換后的被積函數即簡潔好算。

下面舉例：

例1中我們為什么要湊成呢，因為只有這樣轉換后的被積函數最簡單，當然同學們隨便湊一個也可以算出來，但無形中繞了一些彎路。例2和例1的道理是一樣的。

4 巧用“再現技術”

分部積分所特有的“再現技術”是說在我們經過有限次的分部積分后，又出現了題目本身的相反數或倍數，通過解方程的思想就可以尋得答案，這種技巧是被積函數為指數函數乘三角函數這樣一類題目給我們的啟發，如今它在很多題目中得到應用。

例題如下：

5 巧用公式對稱性

若微分乘法公式兩邊積分就得到，即有，這樣一個對稱的結論，在不定積分的一些題目中得到了巧妙應用，從而簡化了運算。下面舉例：

例題用對稱性也能夠很巧妙地得到解決，教師不妨讓學生在做題的過程中有意識地去搜集拾零這樣的一些題目，也是一件很有意思的事情。

6 巧用“組合法”

在三角函數家族里，正弦和余弦是一對神奇組合，不僅因為它們的平方和為1，還有眾所周知的正弦的導數為余弦，余弦的導數和正弦互為相反數，這樣一對組合在分部積分的一類題目里得到了很好的應用。下面舉例：

7 多次分部積分宜用“表格法”

在段玉珍《關于分部積分法的幾點探索》中比較詳細地說明了對于多次分部積分比較適合用“表格法”，也是一種簡潔快速有趣的方式。下面只簡單列舉兩道例題，不再贅述。

8 結語

數學本身就有美，高等數學更是如此，學生對美的事物總是易于接受。本文總結了一些解分部積分的技巧，借此闡述了數學的巧妙之美，其實數學的美無處不在，其中有很多經典的思想，比如“數形結合”；又如極限無限運動的觀點、函數連續的性態、定積分無限細分的思想，等等，都蘊涵著深奧且意味深長的美，并富有哲學含義，需要我們去細細體會，爭取能夠做到，不僅掌握了數學的思維模式和精確的符號描述，也能把知識和思想應用到生活中。

參考文獻

[1] 陶碩，夏天.分部積分的“十字”口訣方法[J].高等數學研究，2008，11（6）：31-34.

[2] 段玉珍.關于分部積分法的幾點探索[J].大學數學，1995（2）：247-249.

[3] 李忠杰.分部積分法解題方法淺析[J].數學學習與研究：教研版，2011（7）：64-65.endprint