探究數學教學過程中學生思維的培養

楊成蒙

數學教學作為一種思想教育、文化教育，它的核心是培養學生的思維能力，但是教師在教學中很多時候只注重知識的傳授，常常忽視知識的產生發展和應用過程及其生動活潑的思維過程，學生只是在機械模仿和反復演練.這樣的教學顯然不適合時代的發展，筆者認為只有能激活思維的教學過程才是好的教學過程，教學活動應該圍繞發展學生的思維而展開.

所謂數學思維，是指學生對數學感性認識的基礎上，運用比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法，理解并掌握數學內容，并且能對具體數學問題進行推論和判斷，從而獲得的數學知識本質和規律.數學思維除了具有一般思維的基本特征外，還具有自己的個性，主要表現在思維活動的運演方面，是按照客觀存在的數學規律的表現形式進行的.數學思維雖然并非總等于解題，但數學思維的形成是建立在對數學基本概念、定理、公式理解的基礎上的，發展數學思維的最有效的方法是解決問題.因此教師必須重視在解題教學過程中暴露數學思維過程，重視過程教學，使學生既知其然更知其所以然.

1.學生數學思維的幾種不良表現

1.1缺乏多角度考慮問題的思維能力.

在解題過程中，有些學生往往習慣在題目的一個點上思考，或是局部范圍內考慮，不會從全局上把握.這樣的學生數學思維單一，不會從點到線，由線到面考慮問題，不會多角度思考，也就不能發現整體和局部的聯系，思考問題常受到阻礙.

1.2缺乏足夠的抽象思維能力.

有些學生只善于處理一些直觀的或者熟悉的數學問題，對那些不具體的、抽象的數學問題常常不能抓住其本質，不會將問題轉化為已知的數學模型分析解決.

1.3缺乏靈活運用的思維能力.

有些學生常常會陷入思維定勢，很難放棄一些舊的解題經驗，不會根據實際問題的特點作出靈活的反應，思維常常陷入僵化狀態，阻礙其對問題的思考甚至會造成歪曲的認識.

2.探究如何培養學生數學思維

2.1重視教學過程的開發，發展學生發散思維能力.

在教學過程中，可以通過改變例題的條件或結論尋求不同的解題方法，從多個方向拓展，給學生提供運用發散思維的“溫床”，引導和鼓勵學生進行一題多變、一題多設、一題多解、一法多用等訓練，激活學生的思維，拓展學生的思維空間.例如在教學過程中可以給出如下例題：例1：過雙曲線x■-■=1的右焦點F作直線l交雙曲線于A，B兩點，若|AB|=4，則這樣的直線共有？搖 ？搖條.變式1：將題目中的|AB|=4改為|AB|=5；變式2：將題目中的|AB|=4改為|AB|=3；變式3：將題目中的|AB|=4改為|AB|=2；變式4：將題目中的|AB|=4改為|AB|=d（d>0）.通過讓學生自主分析例1，再逐個給出變式，讓學生對每一個問題進行詳細研究，培養學生觀察、比較、分析的數學思維能力.例2：已知x，y≥0且x+y=1，求x■+y■的取值范圍.解答此題的方法較多，授課過程可以讓學生先分組自由討論，給予學生充足的時間，讓學生在找出方法后一一板演，然后教師適當補充，總結方法.最終找到幾種常見的解題思想方法：函數思想、三角換元思想、對稱換元思想、基本不等式、線性規劃、數形結合等.通過這樣一題多變、一題多解等的教學過程，在其中滲透一些數學方法，激發學生的探求欲望，使學生體會到數學學習的樂趣，同時讓學生的數學思維能力得到提高.

2.2揭示公式定理的探究過程，培養學生抽象思維能力.

對于數學定理公式，課本上通常只是給出規則的數學程序，如何發現數學定理，證明思路是怎么猜想出來的，證明方法的一一嘗試過程、選擇等都沒有呈現.如果照搬課本則會掩蓋數學發現、創造、應用的思維過程，無疑會阻礙學生思維的發展.因此在教學過程中對定理公式的提出和證明多運用類比、聯想、實驗、歸納等手段.例如在平面幾何中的定理“正三角形內任何一點與其三邊的距離之和為定值”，可以讓學生通過類比—猜想—證明的方式得到立體幾何中有類似的命題“正四面體內的任何一點與其四個面的距離之和為定值”.又如等比數列前項和公式，可以由學生自己推導，學生很可能會先類比等差數學前項和公式，結果發現無法得出.教師再從等比數列的公比出發，讓學生多方向、多角度考慮，可以適當提醒，最終確定利用錯位相減的思路.找到方式方法后，仍然由學生自主推導出等比數列前項和公式.這樣強調定理公式的產生、推導過程，為學生理解、掌握應用打下了堅實的基礎，使學生能自如應用學到的知識.讓學生體驗定理公式產生的過程，歸納證明出抽象的數學結論，培養了學生的抽象思維能力.

2.3采用啟發式教學，消除學生消極的思維定勢.

在課堂教學中，注入式教學顯然不利于調動學生的主觀能動性.長此以往，學生思維固化，不懂得變通.因此在課堂教學中筆者認為應該適時適當設疑，激發學生的思維活動，促使學生積極思考，逐漸讓學生消除消極的思維定勢.例如在判斷函數奇偶性的問題時學生時常忽略了定義域的問題，筆者在教學中多次強調，但學生仍然經常遺漏.為此筆者設計如下問題：判斷函數f（x）=a■-■，（a>0）在區間[2■-6，2a]上的奇偶性，不少學生由f（-x）=-f（x）得出結論為奇函數，筆者設問：1）區間[2■-6，2a]有什么意義？2）函數y=x■，x∈[-1，2]是偶函數嗎？通過兩個問題的思考學生意識到函數f（x）=a■-■，（a>0）只有在a=1或a=2即定義域關于原點對稱時才能再判斷是奇函數還是偶函數.通過啟發式教學，讓學生對疑難問題進行深入思考，選擇學生不易理解或容易混淆、容易缺漏的問題，從錯誤中引導學生得出正確的結論，這樣學生的印象特別深刻.這樣暴露學生的思維過程，既能弄清問題，又能消除消極的思維定勢對解題的影響，培養學生主體的思維能力.

數學作為思維活動的教學，數學思想和方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊涵在數學知識產生、發展和應用的過程中，它有賴于教師在教學中再現知識的發現過程，要求教師針對具體的教學內容，通過不同的教學方式，啟發學生自主體驗，使他們在自主學習中發展思維.教師應在課堂教學中優化教學過程和創新教學模式，加強綜合思維的培養，將學生思維能力的培養融入平時的課堂教學中.endprint

數學教學作為一種思想教育、文化教育，它的核心是培養學生的思維能力，但是教師在教學中很多時候只注重知識的傳授，常常忽視知識的產生發展和應用過程及其生動活潑的思維過程，學生只是在機械模仿和反復演練.這樣的教學顯然不適合時代的發展，筆者認為只有能激活思維的教學過程才是好的教學過程，教學活動應該圍繞發展學生的思維而展開.

所謂數學思維，是指學生對數學感性認識的基礎上，運用比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法，理解并掌握數學內容，并且能對具體數學問題進行推論和判斷，從而獲得的數學知識本質和規律.數學思維除了具有一般思維的基本特征外，還具有自己的個性，主要表現在思維活動的運演方面，是按照客觀存在的數學規律的表現形式進行的.數學思維雖然并非總等于解題，但數學思維的形成是建立在對數學基本概念、定理、公式理解的基礎上的，發展數學思維的最有效的方法是解決問題.因此教師必須重視在解題教學過程中暴露數學思維過程，重視過程教學，使學生既知其然更知其所以然.

1.學生數學思維的幾種不良表現

1.1缺乏多角度考慮問題的思維能力.

在解題過程中，有些學生往往習慣在題目的一個點上思考，或是局部范圍內考慮，不會從全局上把握.這樣的學生數學思維單一，不會從點到線，由線到面考慮問題，不會多角度思考，也就不能發現整體和局部的聯系，思考問題常受到阻礙.

1.2缺乏足夠的抽象思維能力.

有些學生只善于處理一些直觀的或者熟悉的數學問題，對那些不具體的、抽象的數學問題常常不能抓住其本質，不會將問題轉化為已知的數學模型分析解決.

1.3缺乏靈活運用的思維能力.

有些學生常常會陷入思維定勢，很難放棄一些舊的解題經驗，不會根據實際問題的特點作出靈活的反應，思維常常陷入僵化狀態，阻礙其對問題的思考甚至會造成歪曲的認識.

2.探究如何培養學生數學思維

2.1重視教學過程的開發，發展學生發散思維能力.

在教學過程中，可以通過改變例題的條件或結論尋求不同的解題方法，從多個方向拓展，給學生提供運用發散思維的“溫床”，引導和鼓勵學生進行一題多變、一題多設、一題多解、一法多用等訓練，激活學生的思維，拓展學生的思維空間.例如在教學過程中可以給出如下例題：例1：過雙曲線x■-■=1的右焦點F作直線l交雙曲線于A，B兩點，若|AB|=4，則這樣的直線共有？搖 ？搖條.變式1：將題目中的|AB|=4改為|AB|=5；變式2：將題目中的|AB|=4改為|AB|=3；變式3：將題目中的|AB|=4改為|AB|=2；變式4：將題目中的|AB|=4改為|AB|=d（d>0）.通過讓學生自主分析例1，再逐個給出變式，讓學生對每一個問題進行詳細研究，培養學生觀察、比較、分析的數學思維能力.例2：已知x，y≥0且x+y=1，求x■+y■的取值范圍.解答此題的方法較多，授課過程可以讓學生先分組自由討論，給予學生充足的時間，讓學生在找出方法后一一板演，然后教師適當補充，總結方法.最終找到幾種常見的解題思想方法：函數思想、三角換元思想、對稱換元思想、基本不等式、線性規劃、數形結合等.通過這樣一題多變、一題多解等的教學過程，在其中滲透一些數學方法，激發學生的探求欲望，使學生體會到數學學習的樂趣，同時讓學生的數學思維能力得到提高.

2.2揭示公式定理的探究過程，培養學生抽象思維能力.

對于數學定理公式，課本上通常只是給出規則的數學程序，如何發現數學定理，證明思路是怎么猜想出來的，證明方法的一一嘗試過程、選擇等都沒有呈現.如果照搬課本則會掩蓋數學發現、創造、應用的思維過程，無疑會阻礙學生思維的發展.因此在教學過程中對定理公式的提出和證明多運用類比、聯想、實驗、歸納等手段.例如在平面幾何中的定理“正三角形內任何一點與其三邊的距離之和為定值”，可以讓學生通過類比—猜想—證明的方式得到立體幾何中有類似的命題“正四面體內的任何一點與其四個面的距離之和為定值”.又如等比數列前項和公式，可以由學生自己推導，學生很可能會先類比等差數學前項和公式，結果發現無法得出.教師再從等比數列的公比出發，讓學生多方向、多角度考慮，可以適當提醒，最終確定利用錯位相減的思路.找到方式方法后，仍然由學生自主推導出等比數列前項和公式.這樣強調定理公式的產生、推導過程，為學生理解、掌握應用打下了堅實的基礎，使學生能自如應用學到的知識.讓學生體驗定理公式產生的過程，歸納證明出抽象的數學結論，培養了學生的抽象思維能力.

2.3采用啟發式教學，消除學生消極的思維定勢.

在課堂教學中，注入式教學顯然不利于調動學生的主觀能動性.長此以往，學生思維固化，不懂得變通.因此在課堂教學中筆者認為應該適時適當設疑，激發學生的思維活動，促使學生積極思考，逐漸讓學生消除消極的思維定勢.例如在判斷函數奇偶性的問題時學生時常忽略了定義域的問題，筆者在教學中多次強調，但學生仍然經常遺漏.為此筆者設計如下問題：判斷函數f（x）=a■-■，（a>0）在區間[2■-6，2a]上的奇偶性，不少學生由f（-x）=-f（x）得出結論為奇函數，筆者設問：1）區間[2■-6，2a]有什么意義？2）函數y=x■，x∈[-1，2]是偶函數嗎？通過兩個問題的思考學生意識到函數f（x）=a■-■，（a>0）只有在a=1或a=2即定義域關于原點對稱時才能再判斷是奇函數還是偶函數.通過啟發式教學，讓學生對疑難問題進行深入思考，選擇學生不易理解或容易混淆、容易缺漏的問題，從錯誤中引導學生得出正確的結論，這樣學生的印象特別深刻.這樣暴露學生的思維過程，既能弄清問題，又能消除消極的思維定勢對解題的影響，培養學生主體的思維能力.

數學作為思維活動的教學，數學思想和方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊涵在數學知識產生、發展和應用的過程中，它有賴于教師在教學中再現知識的發現過程，要求教師針對具體的教學內容，通過不同的教學方式，啟發學生自主體驗，使他們在自主學習中發展思維.教師應在課堂教學中優化教學過程和創新教學模式，加強綜合思維的培養，將學生思維能力的培養融入平時的課堂教學中.endprint

數學教學作為一種思想教育、文化教育，它的核心是培養學生的思維能力，但是教師在教學中很多時候只注重知識的傳授，常常忽視知識的產生發展和應用過程及其生動活潑的思維過程，學生只是在機械模仿和反復演練.這樣的教學顯然不適合時代的發展，筆者認為只有能激活思維的教學過程才是好的教學過程，教學活動應該圍繞發展學生的思維而展開.

所謂數學思維，是指學生對數學感性認識的基礎上，運用比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法，理解并掌握數學內容，并且能對具體數學問題進行推論和判斷，從而獲得的數學知識本質和規律.數學思維除了具有一般思維的基本特征外，還具有自己的個性，主要表現在思維活動的運演方面，是按照客觀存在的數學規律的表現形式進行的.數學思維雖然并非總等于解題，但數學思維的形成是建立在對數學基本概念、定理、公式理解的基礎上的，發展數學思維的最有效的方法是解決問題.因此教師必須重視在解題教學過程中暴露數學思維過程，重視過程教學，使學生既知其然更知其所以然.

1.學生數學思維的幾種不良表現

1.1缺乏多角度考慮問題的思維能力.

在解題過程中，有些學生往往習慣在題目的一個點上思考，或是局部范圍內考慮，不會從全局上把握.這樣的學生數學思維單一，不會從點到線，由線到面考慮問題，不會多角度思考，也就不能發現整體和局部的聯系，思考問題常受到阻礙.

1.2缺乏足夠的抽象思維能力.

有些學生只善于處理一些直觀的或者熟悉的數學問題，對那些不具體的、抽象的數學問題常常不能抓住其本質，不會將問題轉化為已知的數學模型分析解決.

1.3缺乏靈活運用的思維能力.

有些學生常常會陷入思維定勢，很難放棄一些舊的解題經驗，不會根據實際問題的特點作出靈活的反應，思維常常陷入僵化狀態，阻礙其對問題的思考甚至會造成歪曲的認識.

2.探究如何培養學生數學思維

2.1重視教學過程的開發，發展學生發散思維能力.

在教學過程中，可以通過改變例題的條件或結論尋求不同的解題方法，從多個方向拓展，給學生提供運用發散思維的“溫床”，引導和鼓勵學生進行一題多變、一題多設、一題多解、一法多用等訓練，激活學生的思維，拓展學生的思維空間.例如在教學過程中可以給出如下例題：例1：過雙曲線x■-■=1的右焦點F作直線l交雙曲線于A，B兩點，若|AB|=4，則這樣的直線共有？搖 ？搖條.變式1：將題目中的|AB|=4改為|AB|=5；變式2：將題目中的|AB|=4改為|AB|=3；變式3：將題目中的|AB|=4改為|AB|=2；變式4：將題目中的|AB|=4改為|AB|=d（d>0）.通過讓學生自主分析例1，再逐個給出變式，讓學生對每一個問題進行詳細研究，培養學生觀察、比較、分析的數學思維能力.例2：已知x，y≥0且x+y=1，求x■+y■的取值范圍.解答此題的方法較多，授課過程可以讓學生先分組自由討論，給予學生充足的時間，讓學生在找出方法后一一板演，然后教師適當補充，總結方法.最終找到幾種常見的解題思想方法：函數思想、三角換元思想、對稱換元思想、基本不等式、線性規劃、數形結合等.通過這樣一題多變、一題多解等的教學過程，在其中滲透一些數學方法，激發學生的探求欲望，使學生體會到數學學習的樂趣，同時讓學生的數學思維能力得到提高.

2.2揭示公式定理的探究過程，培養學生抽象思維能力.

對于數學定理公式，課本上通常只是給出規則的數學程序，如何發現數學定理，證明思路是怎么猜想出來的，證明方法的一一嘗試過程、選擇等都沒有呈現.如果照搬課本則會掩蓋數學發現、創造、應用的思維過程，無疑會阻礙學生思維的發展.因此在教學過程中對定理公式的提出和證明多運用類比、聯想、實驗、歸納等手段.例如在平面幾何中的定理“正三角形內任何一點與其三邊的距離之和為定值”，可以讓學生通過類比—猜想—證明的方式得到立體幾何中有類似的命題“正四面體內的任何一點與其四個面的距離之和為定值”.又如等比數列前項和公式，可以由學生自己推導，學生很可能會先類比等差數學前項和公式，結果發現無法得出.教師再從等比數列的公比出發，讓學生多方向、多角度考慮，可以適當提醒，最終確定利用錯位相減的思路.找到方式方法后，仍然由學生自主推導出等比數列前項和公式.這樣強調定理公式的產生、推導過程，為學生理解、掌握應用打下了堅實的基礎，使學生能自如應用學到的知識.讓學生體驗定理公式產生的過程，歸納證明出抽象的數學結論，培養了學生的抽象思維能力.

2.3采用啟發式教學，消除學生消極的思維定勢.

在課堂教學中，注入式教學顯然不利于調動學生的主觀能動性.長此以往，學生思維固化，不懂得變通.因此在課堂教學中筆者認為應該適時適當設疑，激發學生的思維活動，促使學生積極思考，逐漸讓學生消除消極的思維定勢.例如在判斷函數奇偶性的問題時學生時常忽略了定義域的問題，筆者在教學中多次強調，但學生仍然經常遺漏.為此筆者設計如下問題：判斷函數f（x）=a■-■，（a>0）在區間[2■-6，2a]上的奇偶性，不少學生由f（-x）=-f（x）得出結論為奇函數，筆者設問：1）區間[2■-6，2a]有什么意義？2）函數y=x■，x∈[-1，2]是偶函數嗎？通過兩個問題的思考學生意識到函數f（x）=a■-■，（a>0）只有在a=1或a=2即定義域關于原點對稱時才能再判斷是奇函數還是偶函數.通過啟發式教學，讓學生對疑難問題進行深入思考，選擇學生不易理解或容易混淆、容易缺漏的問題，從錯誤中引導學生得出正確的結論，這樣學生的印象特別深刻.這樣暴露學生的思維過程，既能弄清問題，又能消除消極的思維定勢對解題的影響，培養學生主體的思維能力.

數學作為思維活動的教學，數學思想和方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊涵在數學知識產生、發展和應用的過程中，它有賴于教師在教學中再現知識的發現過程，要求教師針對具體的教學內容，通過不同的教學方式，啟發學生自主體驗，使他們在自主學習中發展思維.教師應在課堂教學中優化教學過程和創新教學模式，加強綜合思維的培養，將學生思維能力的培養融入平時的課堂教學中.endprint