讓“錯誤”閃亮數學課堂

丁靜

在課堂教學中，由于種種原因學生出現錯誤是不可避免的.從某種意義上來說錯誤也是一種“資源”，教師如何正確看待和利用這一“資源”對提高教學質量有著積極的價值.著名教育家卡爾·威特的教育秘訣之一，就是寬容地、理性地看待孩子的一切，包括“錯誤”.作為學生學習引導者的教師，不同的“錯誤”觀將成就不同的課堂，教師對待學生學習中的錯誤的態度，對今后學生學習的積極性和探究問題的熱情都有較大的影響.以下是筆者在教學實踐中遇到的幾個實例.

一、讓“錯誤”成為學生自信的源動點

學生在獲取數學知識、探索解題思路的過程中，常常因為認知水平的限制或思維方向的偏差產生思維阻滯，此時如果簡單地否定則既會扼殺學生的自信心又會浪費教學過程中的生成性資源.但是如果通過老師的適當引導，則常常能使學生突破定勢、激活思維，深入理解學習內容，找到解決問題的路徑，收到豁然開朗的效果.

例1：如圖，已知■=■=■，那么∠ABD=∠ACE嗎？

有一位學生上黑板解答如下：

解：∠ABD=∠ACE成立

∵■=■=■

∴△ABC∽△ADE

∴∠BAC=∠DAE

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC

即∠BAD=∠CAE

這位學生做完后，我要求他檢查好再回座位.于是他就認真地檢查起來，突然他發現題目要證的是“∠ABD=∠ACE而非∠BAD=∠CAE”，“啊”了一下立即找黑板擦準備擦去.此時我勸他等一下，同時引導他：剛才板書的對證明結論有用嗎？學生回答要證∠ABD=∠ACE就要證△ABD∽△ACE.我再加以引導：∠BAD和∠CAE是△ABD和△ACE的內角嗎？于是學生發現已證的∠BAD=∠CAE可用，再從已知條件找到■=■可轉化為■=■，再利用兩對應邊成比例且夾角相等兩三角形相似證明結論.

學生在解題過程中，有時由于審題不清，考慮不周而產生這樣或那樣的錯誤，從認知理論的觀點來看，數學知識不能簡單地由教師傳遞給學生，而應該通過學生自己認知結構的改變建構學生自己對數學的理解.所以在學生犯錯時老師應該引導學生自己發現并解決問題，提高解決問題的能力，從而增強自信心.

二、讓“錯誤”成為學生學習新知的切入點

例2：若x■，x■是方程x■-（k-2）x+（k■+3k+5）=0的兩實數根，求x■■+x■■的最大值.

學生解題時易犯錯誤為：由x■■+x■■=（x■+x■）■-2x■x■=-（k+5）■+19，故得x■■+x■■的最大值為19.

教師講評時，可不加評價地公布上述解法，請學生說出自己的思路.教師評價著重在以下幾點：

1.概括解決方案：利用根與系數關系，運用配方法.

2.解題過程偏差糾正：初中只研究實數根，判別試Δ≥0舉足輕重，不可掉以輕心.

3.正確解答（略）（答案：當k=-4時，有最大值18）.

可以看出，學生在解題過程中，有時由于概念不清，忽視條件，套用相近知識或計算出錯，難免產生這樣或那樣的錯誤.所以教師在講評過程中，應針對學生普遍存在的解完題目不復查的不良學習習慣，教育學生在經歷一道數學題的苦思冥想得出答案后，還要更深層次地探索：命題的意圖是什么？考核我們哪些方面的概念、知識和能力？驗證解題結論是否正確合理，命題所提供的條件的應用是否完備？求解論證過程是否判斷有據，嚴密完善？本題有無其他解法或一題多解？眾多解法中哪一種最簡捷？把本題的解法和結論進一步推廣，能否得到更有益的普遍性結論，從而舉一反三，多題一解？……如此種種，便能對解題過程進行回顧和評價，對結論的正確性和合理性進行驗證.避免結論荒唐，引為笑柄之說.因此，在數學教學中不僅要重視邏輯演繹式的數學證明，還應提高學生反思能力，使其真正掌握數學知識，并能重新構建自己的認知結構.

三、讓“錯誤”成為學生自主學習的探索點

教師在教學中要不斷引導學生透過問題的表面現象，深入細致地考慮，努力培養自己思維的嚴密性，感受數學發現的樂趣，提高學生分析問題和解決問題的能力，促進自主學習習慣的養成.可以設計答案不唯一、有兩解或多解的數學問題，如果學生考慮不全面，思維不嚴謹，就容易出現漏解，進入教師設置的“陷阱”中.

例3：如圖AC⊥BC，∠D=90°，AC=■，CD=■，BC=■，求AB.

課堂上我請一位學生回答如何求，這位學生很熟練地回答利用相似求解.于是我就讓她繼續講解，我來板書.

當學生回答至“△ACB～△CBD時，■=■”時，自己發現錯誤，沒有對應，就立即改為：

“△ACB～△CDB時，■=■即■=■，∴AB=3.”

此時大家很滿意，我卻沒有讓這位學生坐下，而是引導她發現剛才錯誤是由于沒對應，能否確定現在肯定對應？于是這位學生又仔細地檢查了一遍，結果發現還有一種對應，還可以用勾股定理直接求得AB的長度，根本用不著大張旗鼓用相似的知識解決，這下大家才真正滿意了.

從學生犯錯出發，引導學生自主探索，通過探索把新知和舊知融合，達到融會貫通的能力，不僅可以鞏固新學的知識點，而且可以復習以前學過的知識點，培養學生自主探索、自主發展的能力.

四、讓“錯誤”成為學生創造性思維的生長點

弗賴登塔爾說：“學習數學的唯一正確方法就是實行‘再創造，也就是由學生本人把要學的東西自己去發現或創造出來，教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創造工作，而不是把現成的知識灌輸給學生.”對待糾錯這一學習過程，教師的態度也應如此.

現代教育心理學指出：學生的學習過程不僅是一個接受知識的過程，而且是一個發現問題、分析問題、解決問題的過程.這個過程一方面是暴露學生產生各種問題和矛盾的過程，另一方面是展示學生聰明才智、形成獨特個性與創新成果的過程.正因為如此，新課程強調過程，強調學生探索新知的經歷和獲得新知的體驗.數學新知的教學如此，鞏固練習形成技能的過程更應如此.因此在教學過程中，教師要引導學生自己對自己的解題思路進行認真的回顧和分析，將錯就錯，利用學生解題中的“錯誤”重新設計練習，讓學生明白為何出錯，才能使學生避免重蹈覆轍.

例4：選擇題：若關于x的一元二次方程k■x■-（2k-1）x+1=0有實數根，則k的取值范圍（ ）

A.k≤■ B.k≤■且k≠0 C.k≥■ D.k≥■且k≠0

我發現有些粗心的同學選A.于是請大家討論：你認為選A錯在哪兒？同學們開始討論起來，有的同學說，剛才的同學沒考慮一元二次方程中k■≠0.我很滿意，并進一步問：能否改下條件讓答案選A？一聽說讓他們改編題目，同學們都很興奮，都立即思考起來，積極性非常高.最后同學們發現只要把題中的“一元二次”四個字去掉就成功了.根據錯誤的答案改編題，練習方式新穎，學生非常感興趣，效果很好.

抓住學生學習過程中的一些可利用的“錯誤”重新設計教學，重新設計練習，不但可以鍛煉教師處理課堂教學突發事件的能力，提高教師的教育機智，還可以使犯“錯誤”學生的自尊心得到保護，在課堂教學中營造出一種和諧、寬容、民主的教學氛圍.從而提高學生的參與程度，培養學生的創造性思維，可謂一舉兩得.

在數學實踐中學生出現錯誤是美麗的，教師應用資源的眼光看待錯誤，鼓勵學生的每一次成功，哪怕是“錯誤”中的成功因素，使學生充分感受到探索數學知識的樂趣，自然而然地將身心融入特有的感情氛圍中，并輔以策略處理，在糾錯、改錯中感悟道理，領悟方法，發展思維，實現創新.讓動態生成的“錯誤”成為數學課堂教學的一個亮點，讓其閃現創新的火花，發揮應有的價值，讓“錯誤”因此美麗起來，讓錯誤閃亮數學課堂.endprint

在課堂教學中，由于種種原因學生出現錯誤是不可避免的.從某種意義上來說錯誤也是一種“資源”，教師如何正確看待和利用這一“資源”對提高教學質量有著積極的價值.著名教育家卡爾·威特的教育秘訣之一，就是寬容地、理性地看待孩子的一切，包括“錯誤”.作為學生學習引導者的教師，不同的“錯誤”觀將成就不同的課堂，教師對待學生學習中的錯誤的態度，對今后學生學習的積極性和探究問題的熱情都有較大的影響.以下是筆者在教學實踐中遇到的幾個實例.

一、讓“錯誤”成為學生自信的源動點

學生在獲取數學知識、探索解題思路的過程中，常常因為認知水平的限制或思維方向的偏差產生思維阻滯，此時如果簡單地否定則既會扼殺學生的自信心又會浪費教學過程中的生成性資源.但是如果通過老師的適當引導，則常常能使學生突破定勢、激活思維，深入理解學習內容，找到解決問題的路徑，收到豁然開朗的效果.

例1：如圖，已知■=■=■，那么∠ABD=∠ACE嗎？

有一位學生上黑板解答如下：

解：∠ABD=∠ACE成立

∵■=■=■

∴△ABC∽△ADE

∴∠BAC=∠DAE

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC

即∠BAD=∠CAE

這位學生做完后，我要求他檢查好再回座位.于是他就認真地檢查起來，突然他發現題目要證的是“∠ABD=∠ACE而非∠BAD=∠CAE”，“啊”了一下立即找黑板擦準備擦去.此時我勸他等一下，同時引導他：剛才板書的對證明結論有用嗎？學生回答要證∠ABD=∠ACE就要證△ABD∽△ACE.我再加以引導：∠BAD和∠CAE是△ABD和△ACE的內角嗎？于是學生發現已證的∠BAD=∠CAE可用，再從已知條件找到■=■可轉化為■=■，再利用兩對應邊成比例且夾角相等兩三角形相似證明結論.

學生在解題過程中，有時由于審題不清，考慮不周而產生這樣或那樣的錯誤，從認知理論的觀點來看，數學知識不能簡單地由教師傳遞給學生，而應該通過學生自己認知結構的改變建構學生自己對數學的理解.所以在學生犯錯時老師應該引導學生自己發現并解決問題，提高解決問題的能力，從而增強自信心.

二、讓“錯誤”成為學生學習新知的切入點

例2：若x■，x■是方程x■-（k-2）x+（k■+3k+5）=0的兩實數根，求x■■+x■■的最大值.

學生解題時易犯錯誤為：由x■■+x■■=（x■+x■）■-2x■x■=-（k+5）■+19，故得x■■+x■■的最大值為19.

教師講評時，可不加評價地公布上述解法，請學生說出自己的思路.教師評價著重在以下幾點：

1.概括解決方案：利用根與系數關系，運用配方法.

2.解題過程偏差糾正：初中只研究實數根，判別試Δ≥0舉足輕重，不可掉以輕心.

3.正確解答（略）（答案：當k=-4時，有最大值18）.

可以看出，學生在解題過程中，有時由于概念不清，忽視條件，套用相近知識或計算出錯，難免產生這樣或那樣的錯誤.所以教師在講評過程中，應針對學生普遍存在的解完題目不復查的不良學習習慣，教育學生在經歷一道數學題的苦思冥想得出答案后，還要更深層次地探索：命題的意圖是什么？考核我們哪些方面的概念、知識和能力？驗證解題結論是否正確合理，命題所提供的條件的應用是否完備？求解論證過程是否判斷有據，嚴密完善？本題有無其他解法或一題多解？眾多解法中哪一種最簡捷？把本題的解法和結論進一步推廣，能否得到更有益的普遍性結論，從而舉一反三，多題一解？……如此種種，便能對解題過程進行回顧和評價，對結論的正確性和合理性進行驗證.避免結論荒唐，引為笑柄之說.因此，在數學教學中不僅要重視邏輯演繹式的數學證明，還應提高學生反思能力，使其真正掌握數學知識，并能重新構建自己的認知結構.

三、讓“錯誤”成為學生自主學習的探索點

教師在教學中要不斷引導學生透過問題的表面現象，深入細致地考慮，努力培養自己思維的嚴密性，感受數學發現的樂趣，提高學生分析問題和解決問題的能力，促進自主學習習慣的養成.可以設計答案不唯一、有兩解或多解的數學問題，如果學生考慮不全面，思維不嚴謹，就容易出現漏解，進入教師設置的“陷阱”中.

例3：如圖AC⊥BC，∠D=90°，AC=■，CD=■，BC=■，求AB.

課堂上我請一位學生回答如何求，這位學生很熟練地回答利用相似求解.于是我就讓她繼續講解，我來板書.

當學生回答至“△ACB～△CBD時，■=■”時，自己發現錯誤，沒有對應，就立即改為：

“△ACB～△CDB時，■=■即■=■，∴AB=3.”

此時大家很滿意，我卻沒有讓這位學生坐下，而是引導她發現剛才錯誤是由于沒對應，能否確定現在肯定對應？于是這位學生又仔細地檢查了一遍，結果發現還有一種對應，還可以用勾股定理直接求得AB的長度，根本用不著大張旗鼓用相似的知識解決，這下大家才真正滿意了.

從學生犯錯出發，引導學生自主探索，通過探索把新知和舊知融合，達到融會貫通的能力，不僅可以鞏固新學的知識點，而且可以復習以前學過的知識點，培養學生自主探索、自主發展的能力.

四、讓“錯誤”成為學生創造性思維的生長點

弗賴登塔爾說：“學習數學的唯一正確方法就是實行‘再創造，也就是由學生本人把要學的東西自己去發現或創造出來，教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創造工作，而不是把現成的知識灌輸給學生.”對待糾錯這一學習過程，教師的態度也應如此.

現代教育心理學指出：學生的學習過程不僅是一個接受知識的過程，而且是一個發現問題、分析問題、解決問題的過程.這個過程一方面是暴露學生產生各種問題和矛盾的過程，另一方面是展示學生聰明才智、形成獨特個性與創新成果的過程.正因為如此，新課程強調過程，強調學生探索新知的經歷和獲得新知的體驗.數學新知的教學如此，鞏固練習形成技能的過程更應如此.因此在教學過程中，教師要引導學生自己對自己的解題思路進行認真的回顧和分析，將錯就錯，利用學生解題中的“錯誤”重新設計練習，讓學生明白為何出錯，才能使學生避免重蹈覆轍.

例4：選擇題：若關于x的一元二次方程k■x■-（2k-1）x+1=0有實數根，則k的取值范圍（ ）

A.k≤■ B.k≤■且k≠0 C.k≥■ D.k≥■且k≠0

我發現有些粗心的同學選A.于是請大家討論：你認為選A錯在哪兒？同學們開始討論起來，有的同學說，剛才的同學沒考慮一元二次方程中k■≠0.我很滿意，并進一步問：能否改下條件讓答案選A？一聽說讓他們改編題目，同學們都很興奮，都立即思考起來，積極性非常高.最后同學們發現只要把題中的“一元二次”四個字去掉就成功了.根據錯誤的答案改編題，練習方式新穎，學生非常感興趣，效果很好.

抓住學生學習過程中的一些可利用的“錯誤”重新設計教學，重新設計練習，不但可以鍛煉教師處理課堂教學突發事件的能力，提高教師的教育機智，還可以使犯“錯誤”學生的自尊心得到保護，在課堂教學中營造出一種和諧、寬容、民主的教學氛圍.從而提高學生的參與程度，培養學生的創造性思維，可謂一舉兩得.

在數學實踐中學生出現錯誤是美麗的，教師應用資源的眼光看待錯誤，鼓勵學生的每一次成功，哪怕是“錯誤”中的成功因素，使學生充分感受到探索數學知識的樂趣，自然而然地將身心融入特有的感情氛圍中，并輔以策略處理，在糾錯、改錯中感悟道理，領悟方法，發展思維，實現創新.讓動態生成的“錯誤”成為數學課堂教學的一個亮點，讓其閃現創新的火花，發揮應有的價值，讓“錯誤”因此美麗起來，讓錯誤閃亮數學課堂.endprint

在課堂教學中，由于種種原因學生出現錯誤是不可避免的.從某種意義上來說錯誤也是一種“資源”，教師如何正確看待和利用這一“資源”對提高教學質量有著積極的價值.著名教育家卡爾·威特的教育秘訣之一，就是寬容地、理性地看待孩子的一切，包括“錯誤”.作為學生學習引導者的教師，不同的“錯誤”觀將成就不同的課堂，教師對待學生學習中的錯誤的態度，對今后學生學習的積極性和探究問題的熱情都有較大的影響.以下是筆者在教學實踐中遇到的幾個實例.

一、讓“錯誤”成為學生自信的源動點

學生在獲取數學知識、探索解題思路的過程中，常常因為認知水平的限制或思維方向的偏差產生思維阻滯，此時如果簡單地否定則既會扼殺學生的自信心又會浪費教學過程中的生成性資源.但是如果通過老師的適當引導，則常常能使學生突破定勢、激活思維，深入理解學習內容，找到解決問題的路徑，收到豁然開朗的效果.

例1：如圖，已知■=■=■，那么∠ABD=∠ACE嗎？

有一位學生上黑板解答如下：

解：∠ABD=∠ACE成立

∵■=■=■

∴△ABC∽△ADE

∴∠BAC=∠DAE

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC

即∠BAD=∠CAE

這位學生做完后，我要求他檢查好再回座位.于是他就認真地檢查起來，突然他發現題目要證的是“∠ABD=∠ACE而非∠BAD=∠CAE”，“啊”了一下立即找黑板擦準備擦去.此時我勸他等一下，同時引導他：剛才板書的對證明結論有用嗎？學生回答要證∠ABD=∠ACE就要證△ABD∽△ACE.我再加以引導：∠BAD和∠CAE是△ABD和△ACE的內角嗎？于是學生發現已證的∠BAD=∠CAE可用，再從已知條件找到■=■可轉化為■=■，再利用兩對應邊成比例且夾角相等兩三角形相似證明結論.

學生在解題過程中，有時由于審題不清，考慮不周而產生這樣或那樣的錯誤，從認知理論的觀點來看，數學知識不能簡單地由教師傳遞給學生，而應該通過學生自己認知結構的改變建構學生自己對數學的理解.所以在學生犯錯時老師應該引導學生自己發現并解決問題，提高解決問題的能力，從而增強自信心.

二、讓“錯誤”成為學生學習新知的切入點

例2：若x■，x■是方程x■-（k-2）x+（k■+3k+5）=0的兩實數根，求x■■+x■■的最大值.

學生解題時易犯錯誤為：由x■■+x■■=（x■+x■）■-2x■x■=-（k+5）■+19，故得x■■+x■■的最大值為19.

教師講評時，可不加評價地公布上述解法，請學生說出自己的思路.教師評價著重在以下幾點：

1.概括解決方案：利用根與系數關系，運用配方法.

2.解題過程偏差糾正：初中只研究實數根，判別試Δ≥0舉足輕重，不可掉以輕心.

3.正確解答（略）（答案：當k=-4時，有最大值18）.

可以看出，學生在解題過程中，有時由于概念不清，忽視條件，套用相近知識或計算出錯，難免產生這樣或那樣的錯誤.所以教師在講評過程中，應針對學生普遍存在的解完題目不復查的不良學習習慣，教育學生在經歷一道數學題的苦思冥想得出答案后，還要更深層次地探索：命題的意圖是什么？考核我們哪些方面的概念、知識和能力？驗證解題結論是否正確合理，命題所提供的條件的應用是否完備？求解論證過程是否判斷有據，嚴密完善？本題有無其他解法或一題多解？眾多解法中哪一種最簡捷？把本題的解法和結論進一步推廣，能否得到更有益的普遍性結論，從而舉一反三，多題一解？……如此種種，便能對解題過程進行回顧和評價，對結論的正確性和合理性進行驗證.避免結論荒唐，引為笑柄之說.因此，在數學教學中不僅要重視邏輯演繹式的數學證明，還應提高學生反思能力，使其真正掌握數學知識，并能重新構建自己的認知結構.

三、讓“錯誤”成為學生自主學習的探索點

教師在教學中要不斷引導學生透過問題的表面現象，深入細致地考慮，努力培養自己思維的嚴密性，感受數學發現的樂趣，提高學生分析問題和解決問題的能力，促進自主學習習慣的養成.可以設計答案不唯一、有兩解或多解的數學問題，如果學生考慮不全面，思維不嚴謹，就容易出現漏解，進入教師設置的“陷阱”中.

例3：如圖AC⊥BC，∠D=90°，AC=■，CD=■，BC=■，求AB.

課堂上我請一位學生回答如何求，這位學生很熟練地回答利用相似求解.于是我就讓她繼續講解，我來板書.

當學生回答至“△ACB～△CBD時，■=■”時，自己發現錯誤，沒有對應，就立即改為：

“△ACB～△CDB時，■=■即■=■，∴AB=3.”

此時大家很滿意，我卻沒有讓這位學生坐下，而是引導她發現剛才錯誤是由于沒對應，能否確定現在肯定對應？于是這位學生又仔細地檢查了一遍，結果發現還有一種對應，還可以用勾股定理直接求得AB的長度，根本用不著大張旗鼓用相似的知識解決，這下大家才真正滿意了.

從學生犯錯出發，引導學生自主探索，通過探索把新知和舊知融合，達到融會貫通的能力，不僅可以鞏固新學的知識點，而且可以復習以前學過的知識點，培養學生自主探索、自主發展的能力.

四、讓“錯誤”成為學生創造性思維的生長點

弗賴登塔爾說：“學習數學的唯一正確方法就是實行‘再創造，也就是由學生本人把要學的東西自己去發現或創造出來，教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創造工作，而不是把現成的知識灌輸給學生.”對待糾錯這一學習過程，教師的態度也應如此.

現代教育心理學指出：學生的學習過程不僅是一個接受知識的過程，而且是一個發現問題、分析問題、解決問題的過程.這個過程一方面是暴露學生產生各種問題和矛盾的過程，另一方面是展示學生聰明才智、形成獨特個性與創新成果的過程.正因為如此，新課程強調過程，強調學生探索新知的經歷和獲得新知的體驗.數學新知的教學如此，鞏固練習形成技能的過程更應如此.因此在教學過程中，教師要引導學生自己對自己的解題思路進行認真的回顧和分析，將錯就錯，利用學生解題中的“錯誤”重新設計練習，讓學生明白為何出錯，才能使學生避免重蹈覆轍.

例4：選擇題：若關于x的一元二次方程k■x■-（2k-1）x+1=0有實數根，則k的取值范圍（ ）

A.k≤■ B.k≤■且k≠0 C.k≥■ D.k≥■且k≠0

我發現有些粗心的同學選A.于是請大家討論：你認為選A錯在哪兒？同學們開始討論起來，有的同學說，剛才的同學沒考慮一元二次方程中k■≠0.我很滿意，并進一步問：能否改下條件讓答案選A？一聽說讓他們改編題目，同學們都很興奮，都立即思考起來，積極性非常高.最后同學們發現只要把題中的“一元二次”四個字去掉就成功了.根據錯誤的答案改編題，練習方式新穎，學生非常感興趣，效果很好.

抓住學生學習過程中的一些可利用的“錯誤”重新設計教學，重新設計練習，不但可以鍛煉教師處理課堂教學突發事件的能力，提高教師的教育機智，還可以使犯“錯誤”學生的自尊心得到保護，在課堂教學中營造出一種和諧、寬容、民主的教學氛圍.從而提高學生的參與程度，培養學生的創造性思維，可謂一舉兩得.

在數學實踐中學生出現錯誤是美麗的，教師應用資源的眼光看待錯誤，鼓勵學生的每一次成功，哪怕是“錯誤”中的成功因素，使學生充分感受到探索數學知識的樂趣，自然而然地將身心融入特有的感情氛圍中，并輔以策略處理，在糾錯、改錯中感悟道理，領悟方法，發展思維，實現創新.讓動態生成的“錯誤”成為數學課堂教學的一個亮點，讓其閃現創新的火花，發揮應有的價值，讓“錯誤”因此美麗起來，讓錯誤閃亮數學課堂.endprint