關于丟番圖方程|3x-2y|=p

管訓貴

(泰州學院 數理學院，江蘇 泰州 225300)

關于丟番圖方程|3x-2y|=p

管訓貴

(泰州學院 數理學院，江蘇 泰州 225300)

設p為奇素數，研究了丟番圖方程|3x-2y|=p表素數的問題，所用的方法僅限于取有限模。

丟番圖方程；素數；正整數解

1 引言及主要結論

丟番圖方程|3x-2y|=p(p為奇素數)的求解問題，引起了不少數論愛好者的興趣。文獻[1]證明了p=41，43，53，59，67，71時，此方程均無非負整數解。本文將給出一般性的結論，從而對文獻[1]的結論進行推廣，所用的知識僅限于整除與同余。

定理1 設p為奇素數，對于丟番圖方程

3x-2y=p，

(1)

(Ⅰ)若p≡5(mod12)，則方程(1)除去p=5，x=y=2和p=17，x=4，y=6外，無其他的正整數解；

(Ⅱ)若p≡7(mod8)，則方程(1)除去p=3a-2(2|a)，x=a，y=1和p=3a-4(2|a)，x=a，y=2外，無其他的正整數解，這里a∈N*；

(Ⅲ)若p≡43，59(mod 240)，則方程(1)無正整數解；

(Ⅳ)若p≡67(mod 504)，則方程(1)無正整數解。

定理2 設p為奇素數，對于丟番圖方程

2y-3x=p，

(2)

(Ⅰ)若p≡1，3(mod 8)，則方程(2)無正整數解；

(Ⅱ)若p≡53(mod 80)，則方程(2)無正整數解；

(Ⅲ)若p≡71(mod 1008)，則方程(2)無正整數解。

2 關鍵性引理

引理1[2]方程xy-(x-1)z=1僅有正整數解(x，y，z)=(1，s，t)，(2，1，t)，(r，1，1)和(3，2，3)，這里r，s，t為任意正整數，且r≥3。

引理2[3]設a關于模m的階是t，則ar≡1(modm)成立的充要條件是t|r。

3 定理的證明

先證定理1，設方程(1)有正整數解(x，y)。

證明 (Ⅰ)對方程(1)模3得(-1)y≡1(mod 3)，故2|y，即y≥2。又模4得(-1)x≡1(mod 4)，故2|x。令x=2x1，y=2y1(x1，y1都是正整數)，代入方程(1)得

(3x1+2y1)(3x1-2y1)=p。

因p為素數，故必有3x1+2y1=p，且3x1-2y1=1。根據引理1，x1=y1=1及x1=2，y1=3。此時p=5或17。

(Ⅱ)y=1時，令x=a，則方程(1)有正整數解x=a，y=1，此時p=3a-2。由3a-2≡7(mod 8)知，3a-2≡1(mod 8)，因3對模8的階是2，故由引理2知2|(a-2)，即2|a。y=2時，令x=a，則方程(1)有正整數解x=a，y=2，此時p=3a-4。由3a-4≡7(mod 8)知，3a-1≡1(mod 8)，類似可得2|a。y≥3時，對方程(1)模8得3x≡-1(mod 8)，即1，3≡-1(mod 8)，顯然不可能，故方程(1)無y≥3的正整數解。

(Ⅲ)情形A。p≡43(mod 240)，對方程(1)模3得2y=3x-p≡-1(mod 3)，故2|y。

若y=1，則3x-2=p，令x=a，則p=3a-2。由3a-2≡43(mod 240)知3a-2≡5(mod 80)，即3a-2≡0(mod 5)。因此方程(1)不可能有正整數解。

若y=3，則3x-8=p，令x=a，則p=3a-8。由3a-8≡43(mod 240)知3a-1≡17(mod 80)，但3a-1≡1，3，9，27(mod 80)。矛盾，也不可能。

若y≥5，對方程(1)模16得3x≡p≡11≡27(mod 16)，即3x-3≡1(mod 16)。又3對模16的階是4，故由引理2知4|(x-3)。令x=4k+3，對方程(1)模5，并注意34≡1(mod 5)，得2y=3x-p=34k+3-p≡27-3≡-1≡-24(mod 5)，即22(y-4)≡1(mod 5)。因2對模5的階是4，故由引理2知4|2(y-4)，即2|(y-4)，從而2|y，這與2|y矛盾，故方程(1)無y>3的正整數解。

情形B。p≡59(mod 240)，對方程(1)模3得(-1)y≡1(mod 3)，故2|y。若y=2，則3x-4=p，令x=a，則p=3a-4。由3a-4≡59(mod 240)知3a-2≡7(mod 80)。但3a-2≡1，3，9，27(mod 80)。矛盾，因此方程(1)不可能有正整數解。

設y≥4，對方程(1)模16得3x≡p≡11≡27(mod 16)，即3x-3≡1(mod 16)。又3對模16的階是4，故由引理2知4|(x-3)。令x=4k+3，對方程(1)模5得2y=3x-p=34k+3-p≡27-4≡-2(mod 5)，即22(y-1)≡1(mod 5)。因2對模5的階是4，故由引理2知4|2(y-1)，即2|(y-1)，從而2|y，這與2|y矛盾。故方程(1)無y>2的正整數解。

(Ⅳ)因3x>p≥67，故x≥4。對方程(1)模9得-2y≡4(mod 9)，即2y-2=-1(mod 9)，因此22(y-2)≡1(mod 9)，而2對模9的階是6，故由引理2知6|2(y-2)，即3|(y-2)，且2|(y-2)，從而y≡5(mod 6)。令y=6k+5，對方程(1)模8得3x≡p≡3(mod 8)，故2|x。又對方程(1)模7得3x=2y+p=26k+5+p≡4+4≡1(mod 7)，故必得6|x，這與2|x矛盾。故方程(1)無正整數解。

定理1得證。

下面證明定理2，設方程(2)有正整數解(x，y)。

證明 (Ⅰ)易知，y>x≥1。

情形A。p≡1(mod 8)，若y=2，則x=1，但此時p=1，不合題意，故y≥3。對方程(2)模8得-3x≡1(mod 8)，即-1，-3≡1(mod 8)，顯然不可能，故方程(2)無正整數解。

情形B。p≡3(mod 8)，若y=2，則3x=4-p，只有p=3，此時y=0，不合題意。故y≥3，對方程(2)模8得-3x≡3(mod 8)，即-1，-3≡3(mod 8)，顯然也不可能，故方程(2)無正整數解。

(Ⅱ)因2y>p≥53，故y≥6。對方程(2)模16得-3x≡5≡-27(mod 16)，即3x-3≡1(mod 16)，因3對模16的階是4，故由引理2知4|(x-3)。令x=4k+3，對方程(2)模5，并注意34≡1(mod 5)得2y=3x+p=34k+3+p≡27+3≡0(mod 5)，顯然不可能，故方程(2)無正整數解。

(Ⅲ)對方程(2)模16得3x≡-7≡9(mod 16)，即3x-2≡1(mod 16)。而3對模16的階是4，故由引理2知4|(x-3)。令x=4k+2，對方程(2)模9得2y=3x+p=34k+2+p≡8(mod 9)，即2y-3≡1(mod 9)。又2對模9的階是6，故由引理2知6|(y-3)。令y=6l+3，再對方程(2)模7，并注意26≡1(mod 7)，得3x=2y-p=26l+3-p≡8-1≡0(mod 7)，顯然不可能，故方程(2)無正整數解。

定理2得證。

值得一提的是：利用取有限模的方法，還可以解決一類素數底的指數不定方程問題。

定理3 (Ⅰ)不定方程1+5x+13y=19z僅有正整數解(x，y，z)=(1，1，1)；

(Ⅱ)不定方程1+3x+7y=17z僅有正整數解(x，y，z)=(2，1，1)。

證明 (Ⅰ)對原不定方程取模3得(-1)x≡-1(mod 3)，故x≡1(mod 2)；對原不定方程取模5得3y≡(-1)z-1(mod 5)，故z≡1(mod 2)；對原不定方程取模8得(-3)y≡-3(mod 8)，故y≡1(mod 2)。

若y=1，則原不定方程為：

14+5x=19z，

(3)

假定x>1，對(3)式取模25得：

14≡19z(mod 25)。

(4)

因對模25，有191≡19，192≡11，193≡9，194≡21，195≡24，196≡6，197≡14，198≡16，199≡4，1910≡1。故(4)式給出z≡7(mod 10)。

再對(3)式取模11得：

5x≡-1(mod 11)，

(5)

又對模11，有51≡5，52≡3，53≡4，54≡9，55≡1。故知(5)式不成立。于是x=1，此時z=1。即原不定方程有正整數解(x，y，z)=(1，1，1)。

若y>1，對原不定方程取模7知2x-z≡1(mod 7)。因2對7的階是3，故3|(x-z)。注意到2|(x-z)，有6|(x-z)，即x≡z(mod 6)。對原不定方程取模13知：

1+5x≡6z(mod 13)，

(6)

因5對13的階是4，6對13的階是12，并且對模13，有：

51≡5，52≡12，53≡8，54≡1；

61≡6，62≡10，63≡8，64≡9，

65≡2，66≡12，67≡7，68≡3，

69≡5，610≡4，611≡11，612≡1。

故(6)式給出x≡1(mod 4)，z≡1(mod 12)，從而x≡z≡1(mod 12)。由于y>1，故對原不定方程取模169，由1+5x≡19z(mod 169)，依上述證明方法可得x≡45(mod 52)，即x≡45，97，149(mod 156)。但x≡1(mod 12)，故僅有x≡97(mod 156)。再對原不定方程取模157可得矛盾結果，即y>1時原不定方程無正整數解。

綜上，原不定方程僅有正整數解(x，y，z)=(1，1，1)。

(Ⅱ)的證明類似于(Ⅰ)的證明，從略。

[1] 周科.關于|3x-2y|表素數的問題[J].廣西師范學院學報：自然科學版，2005，22(3)：15-17.

[2] 管訓貴.關于Diophantine方程xy-(x±1)z=1[J].唐山學院學報，2011，24(3)：35-36.

[3] 管訓貴.初等數論[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2011：206.

(責任編校：夏玉玲)

On the Diophantine Equation |3x-2y|=p

GUAN Xun-gui

(School of Mathematics and Physics，Taizhou College， Taizhou 225300， China)

The author of this paper demonstrates that the diophantine equation |3x-2y|=pdenotes a prime number whenpis set as an odd prime and the method used is limited to finite mode.

diophantine equation； prime； positive integer solution

O156

A

1672-349X(2015)03-0012-02

10.16160/j.cnki.tsxyxb.2015.03.004