空間直線的結構總體最小二乘擬合

汪奇生 楊德宏 楊騰飛

1 湖南軟件職業(yè)學院，湘潭市寶馬西路，411100

2 昆明理工大學國土資源工程學院，昆明市文昌路63號，650093

三維空間直線擬合是通過一系列三維坐標點求解其空間直線方程。根據(jù)最佳平方逼近原則，所擬合的空間直線要滿足所有三維坐標點到直線的距離和最小［1－3］。文獻［1］采用牛頓－梯度最優(yōu)化算法逐步迭代來進行擬合，但該方法過程復雜，難以理解。文獻［2］的推導過程比較繁瑣。文獻［3］將三維轉換為二維來進行解算，雖然無需迭代，但通過軟件將空間直線進行旋轉操作，其解算過程不夠直接明了。近年來，總體最小二乘法［4－6］在測量數(shù)據(jù)處理中被廣泛應用。本文首先將空間直線表示為兩個平面方程，并引入結構總體最小二乘［7］來考慮系數(shù)矩陣的結構性，這樣便顧及到了坐標點3 個方向的誤差。根據(jù)系數(shù)矩陣的結構性，推導了結構總體最小二乘的迭代算法，算法推導過程及迭代格式都較為簡單。最后，通過一個算例驗證了本文方法的可行性和有效性。

1 空間直線的結構總體最小二乘擬合

1.1 空間直線函數(shù)模型

空間直線的標準方程為［2］：

將上式變換整理，得：

這樣，空間直線可以看成是用這兩個方程表示的平面的相交直線，其中一個平面垂直于面xoz，另一個平面垂直于面yoz。求解這兩個平面方程的參數(shù)，可進一步得到兩個平面的法向量n1＝｛1 0－b｝，n2＝｛0 1－d｝。由空間直線與平面方程的關系可知，空間直線的方向向量s垂直于兩個平面方程的法向量：

所求得的空間直線方向向量s＝｛bd1｝，再由同時滿足式（2）條件的公共點，可組成空間直線的標準方程。要求得式（2）的最優(yōu)解，需要同時考慮空間三維坐標在3個方向的誤差，即要滿足實質上就是解總體最小二乘問題。

1.2 空間直線的結構總體最小二乘模型

有多組觀測數(shù)據(jù)時，式（2）的總體最小二乘平差（EIV）模型如下［4］：

其中，

可以發(fā)現(xiàn)，系數(shù)矩陣中并不是所有元素都有誤差，只需改正zi。系數(shù)矩陣具有結構規(guī)律，是一個結構總體最小二乘問題。根據(jù)文獻［8］，將EIV模型看成是非線性的，采用非線性最小二乘平差理論進行處理，將式（4）在處展開得：

顧及到EAX0＝（（X0）T?I2m）VA＝FVA，其中?為矩陣的克羅內克積。將系數(shù)矩陣的改正向量用結構矩陣來表示，VA＝DVa，其中Va是m×1系數(shù)矩陣中含誤差的非重復元素的改正數(shù)（數(shù)量為m個），D是8m×m的結構矩陣。由此，可將式（5）進一步表示為：

顧及到R＝［－I2m FD］為2m×3m的矩陣，V＝［VL Va］T為3m×1的改正向量，I2m為2m階單位矩陣，則此時的隨機模型為：

或

總體最小二乘平差準則為：

根據(jù)平差準則可構造目標函數(shù)，其中k為m×1的拉格朗日常數(shù)向量。

根據(jù)拉格朗日求極值原理，求上式得最小值，則φ關于V和的偏導要等于零：

將式（10）化簡整理可得：

根據(jù)式（11）并結合式（6）得：

根據(jù)式（12）可得拉格朗日常數(shù)k的表達式，再由式（11）的第二式求出參數(shù)改正數(shù)的表達式：

1.3 解算步驟

具體解算步驟為：

1）給參數(shù)賦初值X0（0），構造結構矩陣D（其結構矩陣將在下文給出）。設，由參數(shù)初值X0（0）加上結構矩陣D構造R（0）。

2）根據(jù)式（13）計算，并根據(jù)X0（i＋1）＝X0（i）計算新的迭代值R（0），其中vec－1（·）表示vec（·）的逆運算，即將mn×1的列向量重新構造成m×n的矩陣。

4）由參數(shù)的估值可以得到式（2）的兩個平面方程，如需變換為式（1）的標準方程，則根據(jù)式（3）計算即可。

2 算例及分析

取文獻［3］中的算例，即空間直線的一組實測數(shù)據(jù)（表1），已知其中含有模型測量誤差δ＝±0.005。

表1 一組空間直線實測數(shù)據(jù)Tab.1 Measured sample data of spatial straight line

根據(jù)本文方法，計算過程中其結構矩陣構造方法為：

解算得到的方向向量為α＝0.333 248，β＝0.666 823，γ＝1。與文獻［2］和［3］的結果比較如表2所示（其中括號內是其轉換為本文解算形式的共線向量）。各點到直線的誤差見表1最后1列所示。從表2可見，本文計算的結果與其他兩種方法相近，且都接近于真值。本文方法和文獻［3］的方法解算所得誤差累計要比文獻［2］小，且本文方法比文獻［3］更加易于理解，計算方便。

表2 各種方法解算結果比較Tab.2 Comparison of different method’s result

3 結 語

1）將空間直線表示為兩個平面方程，對空間直線進行擬合時采用結構總體最小二乘方法是可行的，解算的兩個平面方程依然可以轉換為空間直線的標準方程。

2）針對兩個平面方程的解算，提出其結構總體最小二乘的迭代算法，算法推導過程及迭代格式較為簡單，并通過算例分析驗證了算法的正確性。

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［3］郭際明，向巍，尹洪斌.空間直線擬合的無迭代算法［J］.測繪通 報，2011（2）：24－25（Guo Jiming，Xiang Wei，Yin Hongbin.Three－Dimensional Line Fitting Without Iteration［J］.Bulletin of Surveying and Mapping，2011（2）：24－25）

［4］Golub G H，Loan C.An Analysis of the Total Least Squares Problem［J］.SIAM Journal Numerical Analysis，1980（17）：883－893

［5］汪奇生，楊德宏，楊建文.基于總體最小二乘的線性回歸迭代算法［J］.大地測量與地球動力學，2013，33（6）：112－114（Wang Qisheng，Yang Dehong，Yang Jianwen.An Iteration Algorithm of Linear Regression Based on Total Least Squares［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2013，33（6）：112－114）

［6］汪奇生，楊德宏，楊騰飛.總體最小二乘線性回歸統(tǒng)一模型及解 算［J］.工 程 勘 察，2014（4）：87－90（Wang Qisheng，Yang Dehong，Yang Tengfei.The Unified Model and Algorithm of Total Least Squares Linear Regression［J］.Geotechnical Investigation ＆Surveying，2014（4）：87－90）

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［8］Shen Y，Li B，Chen Y.An Iterative Solution of Weighted Total Least－Squares Adjustment［J］.Journal of Geodesy，2010，85（4）：229－238