等價權函數(shù)為連續(xù)可變函數(shù)的抗差Kalman濾波

蔡 奇 劉 寧 戴吾蛟 楊德地

1 中南大學地球科學與信息物理學院，長沙市麓山南路932號，410083

可靠的Kalman濾波算法是基于可靠的函數(shù)模型和隨機模型［1］，當系統(tǒng)狀態(tài)模型不準確或觀測誤差中含有粗差時，Kalman 濾波算法性能將大為降低甚至導致濾波發(fā)散。這種情況下，一般將抗差估計與Kalman 濾波相結合，建立抗差Kalman濾波算法進行濾波估計［2］。

抗差估計的設計一般通過建立等價權函數(shù)來實現(xiàn)［3］。現(xiàn)有的等價權主要有Turkey、Huber、Hampel、IGGⅠ、IGGⅢ等［4－5］，其共同特點為分段函數(shù)，涉及分段降權臨界值的選取問題，而臨界值的選取一般根據(jù)誤差檢驗的置信水平和經驗來確定［6］。為克服憑經驗確定統(tǒng)計量臨界值所帶來的抗差效果風險，歐吉坤［6］提出一種將抗差初值、綜合抗差以及優(yōu)化抗差效率結合起來的三步抗差方案，楊元喜等［7］則利用學生化殘差統(tǒng)計量構建一種臨界值可變的抗差估計等價權函數(shù)。而對于不同的抗差環(huán)境，除臨界值可變外，等價權的函數(shù)形態(tài)也應不同。為此，本文從粗差檢驗統(tǒng)計量的分布規(guī)律出發(fā)，提出一種等價權函數(shù)為連續(xù)函數(shù)且函數(shù)形態(tài)可變（continuous variable，簡稱CV）的抗差估計方法，其抗差性能優(yōu)于傳統(tǒng)模型。

1 連續(xù)可變等價權函數(shù)設計與分析

1.1 連續(xù)可變等價權函數(shù)的設計

抗差Kalman濾波算法的關鍵是抗差等價權函數(shù)的設計以及定位參數(shù)、尺度參數(shù)的確定［8］。

等價權函數(shù)的函數(shù)形態(tài)應含有3個階段——高端平緩區(qū)、低端平緩區(qū)以及介于兩者之間的下降收斂區(qū)，即“反S型”曲線。據(jù)此，設計連續(xù)可變等價權函數(shù)模型：

其函數(shù)形態(tài)為“反S型”，A、B、C、D為待定參數(shù)，S為形態(tài)參數(shù)。

假定該函數(shù)有3 個特征點，當x＝k0時，f（x）＝1，使函數(shù)從1 開始下降；當x＝a時，f（x）＝1／2，用來控制其收斂速度；當x＝k1時，f（x）＝0，使函數(shù)收斂為0。并且設a∝S，由此可以聯(lián)立以下3個方程：

解得：

由標準正態(tài)分布的性質可知，k0＝0，k1＝∞。將k0＝0與式（3）代入式（1），得：

又當k1＝∞時，

在條件一定的情況下，S視為常數(shù)，那么當x增大到一定程度時，a近似于x的線性函數(shù)，使得函數(shù)形態(tài)向右移，但同時可能會出現(xiàn)x增大時，f（x）函數(shù)尾部向0收斂過慢。

為解決函數(shù)尾部收斂過慢問題，現(xiàn)對函數(shù)進行一定的修改。假設系統(tǒng)的模型誤差為υm，當a＞υm時，因為已經超出模型誤差改正的范圍，權函數(shù)應立即收斂為0，而由于上述情況的發(fā)生，有可能導致權函數(shù)并未收斂。所以，現(xiàn)構造f（x）k函數(shù)，通過k值來控制收斂。

由于0＜f（x）＜1，當x＞υm時，應使k＞1來控制f（x）k值收斂下降；當x＜υm時，應使0＜k＜1來控制f（x）k值不收斂。濾波過程中υm未知，在實際數(shù)據(jù)中隨著υm模型誤差增大，導致粗差檢驗統(tǒng)計量右移，因此抗差過程中，需要將抗差降權區(qū)域右移。由于f（x）中S形態(tài)參數(shù)越大，對應的函數(shù)形態(tài)最初高端平緩區(qū)越長，即抗差區(qū)域右移，因此υm與S應具有正比關系。不妨設υm∝S2，取：

綜上所述，最終所得的函數(shù)為：

其中，a＝（x2＋S2）／（xS）。

將該函數(shù)模型應用到等價權函數(shù)中，得CV抗差方案模型：

1.2 等價權函數(shù)模型分析

1）該抗差模型是根據(jù)實際情況下的標準化殘差的分布以及形態(tài)系數(shù)來確定函數(shù)模型的形態(tài)，以此設定一個較好的函數(shù)形態(tài)來處理數(shù)據(jù)。通過調整函數(shù)形態(tài)系數(shù)S，可以靈活地處理不同情況下的數(shù)據(jù)。

2）從圖1可知，當S＝0.8時CV 函數(shù)模型與Turkey函數(shù)模型形態(tài)近似一致。從圖2可知，當S＝2時CV 函數(shù)模型與Huber函數(shù)模型形態(tài)近似一致。當0＜S＜1 時，適用于線性模型；當S＞1時，適用于具有系統(tǒng)誤差的非線性模型。隨著S的增大，CV函數(shù)模型可以由Turkey 到Huber轉換。假設S是時間t的函數(shù)，可以根據(jù)不同時刻的具體環(huán)境動態(tài)改變CV 函數(shù)形態(tài)，從而達到更好的抗差效果。

圖1 抗差方案權因子函數(shù)模型（CV形態(tài)參數(shù)S＝0.8）Fig.1 The model plot of robust weight function（S＝0.8）

圖2 抗差方案權因子函數(shù)模型（CV形態(tài)參數(shù)S＝2）Fig.2 The model plot of robust weight function（S＝2）

2 實驗分析

2.1 模擬實驗數(shù)據(jù)

為比較分析基于連續(xù)可變等價權函數(shù)的抗差Kalman濾波算法的濾波處理效果，先利用兩組模擬數(shù)據(jù)，采用以下5種方案進行對比分析：IGGⅢ法、IGGⅠ法、Turkey法、Huber法、連續(xù)可變等價權函數(shù)法。

1）第一組模擬數(shù)據(jù)。首先利用式（10）非線性運動模型計算得到5 000個觀測真值序列，然后在所有觀測值上加入中誤差為5的隨機誤差，并隨機選擇50個觀測值加入大粗差，作為觀測值：

2）第二組模擬數(shù)據(jù)。利用式（11）模型計算得到5 000個觀測真值序列，然后在所有觀測值上加入中誤差為0.5的隨機誤差，并隨機選擇50個觀測值加入大粗差，作為觀測值：

2.2 真實實驗數(shù)據(jù)

這里引入五強溪大壩引張線變形觀測數(shù)據(jù)——22個控制點的2 978個時刻的時序數(shù)據(jù)。考慮到數(shù)據(jù)處理的時間效率，選擇1～5號控制點200個時刻的數(shù)據(jù)進行分析。在實際處理中，選擇一段數(shù)據(jù)比較平穩(wěn)的時段，人為在50、100、150時刻加入粗差污染。

2.3 實驗成果與分析

標準Kalman與CV 濾波殘差比較見圖3，非線性模擬數(shù)據(jù)處理（CV 形態(tài)參數(shù)為5）見圖4，線性模擬數(shù)據(jù)處理（CV 形態(tài)參數(shù)為0.5）見圖5。

1）由圖3可知，標準Kalman濾波抗差效果較差，當觀測信息存在較大粗差時，標準Kalman濾波值不可靠。

2）從表1可知，對于非線性數(shù)據(jù)，濾波時存在系統(tǒng)誤差，由圖4以及不同抗差方法RMS比較可以看出，在較小系統(tǒng)誤差情況下，不宜將觀測值的權迅速降低。IGGⅠ、Huber和CV（S＝5）在處理非線性數(shù)據(jù)上具有較好的效果，而Turkey 的處理效果不佳。從圖4（c）和表2可知，由于Turkey 整體降權導致過抗差現(xiàn)象，因此抗差濾波發(fā)散。

3）對于線性數(shù)據(jù)，根據(jù)圖5可知，Turkey和CV（S＝0.5）數(shù)據(jù)處理效果更好。由于模型建立準確，因此整體降權下的濾波效果更好。

4）本文提出的抗差方法可以根據(jù)實際，靈活地對函數(shù)形態(tài)進行調整，從而更好地適用于Turkey和Huber的濾波環(huán)境。而且不用過多地嘗試閾值的設置，在抗差濾波使用上較為方便，抗差濾波的結果穩(wěn)健性較好。

圖3 標準Kalman與CV 濾波殘差比較Fig.3 The residual plot of Kalman filtering ＆CV filtering

圖4 非線性模擬數(shù)據(jù)處理（CV 形態(tài)參數(shù)為5）Fig.4 Non－linear analog data calculation（S＝5）

圖5 線性模擬數(shù)據(jù)處理（CV 形態(tài)參數(shù)為0.5）Fig.5 Linera analog data calculation（S＝0.5）

表1 非線性數(shù)據(jù)與線性數(shù)據(jù)時各類模型之間的RMS值Tab.1 The RMS of linear and non－linear data for different models

表2 真實數(shù)據(jù)時各個濾波方案RMS值比較Tab.2 The comparison for RMS of different schemes under true data

3 結 語

針對目前抗差估計在Kalman濾波中的不同算法，總結了各個抗差方案的適用范圍，并通過分析抗差處理中存在的問題，提出一種基于連續(xù)可變等價權函數(shù)的抗差方案——CV 法。通過兩組模擬實驗和真實數(shù)據(jù)處理表明：

1）Turkey適用于線性數(shù)據(jù)，Huber適用于非線性數(shù) 據(jù)，而IGG Ⅰ、IGG Ⅲ和CV 法 抗 差 適 用范圍更廣；

2）從靈活度上來看，CV 法可以根據(jù)系統(tǒng)實際情況及時調整函數(shù)形態(tài)，從而進行較為可靠的抗差濾波。

［1］付夢印，鄧志紅，張繼偉.動態(tài)Kalman濾波理論及其在導航系統(tǒng)中的應用［M］.北京：科學出版社，2003（Fu Mengyin，Deng Zhihong，Zhang Jiwei.Thesis on Dynamic Kalman Filtering and Its Application in Navigation System［M］.Beijing：Science Press，2003）

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［5］周江文.經典誤差理論與抗差估計［J］.測繪學報，1989，18（2）：116－118（Zhou Jiangwen.Classical Error Theory and Robust Estimation［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，1989，18（2）：116－118）

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［7］楊元喜，吳富梅.臨界值可變的抗差估計等價權函數(shù)［J］.測繪科學技術 學報，2006，23（5）：317－320（Yang Yuanxi，Wu Fumei.Robust Estimation Equivalent Weight Function of Variable Critical Value［J］.Journal of Geomatics Science and Technology，2006，23（5）：317－320）

［8］楊玲，沈云中，樓立志.基于中位參數(shù)初值的等價權抗差估計方法［J］.測繪學報，2011，40（1）：28－32（Yang Ling，Shen Yunzhong，Lou Lizhi.Method of Equivalent Weight Robust Estimation Based on the Initial Value of Neutral Position Parameters［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2011，40（1）：28－32）