基于補償最小二乘的平面點云擬合方法

孟慶年 鄭德華 許燁璋

1 河海大學地球科學與工程學院，南京市西康路1號，210098

三維激光掃描技術具有非接觸、掃描速度快、獲取信息量大、精度高等傳統測量方式無法比擬的優點［1］。通過對點云數據的后續處理，可以迅速量化復雜場景，實現空間信息獲取［2］。在對三維激光掃描數據的處理中，經常會遇到各種類型的平面，如路面、墻面等。對于平面擬合參數的求取通常有最小二乘方法、特征值法等，但是這些方法都未考慮模型誤差的影響，這將對參數估計帶來不利影響。補償最小二乘是近年來發展起來的一種重要的數據處理方法，它引入了非參數，克服了傳統偏差函數模型的局限性，使得數學模型與客觀實際更為接近，在數值上能夠分別求出參數、非參數（模型誤差）和偶然誤差［3］。本文引入補償最小二乘方法求取平面擬合參數，并與最小二乘方法、特征值方法進行比較分析。

1 最小二乘方法求解平面擬合參數

對原始數據進行預處理并剔除異常數據后得到一組平面點云數據（xi，yi，zi），i＝1，2，…，n，通過擬合算法求取平面的擬合參數，得到點云數據在空間中的擬合平面。

設空間平面的方程為：

其中，a、b、c為所要求取的擬合平面參數。由式（1）得誤差方程：

這里認為每個點是等精度觀測，所以P＝In。由最小二乘方法得參數估值：

擬合中誤差為：

2 特征值法求解平面擬合參數［4］

空間平面的方程為z＝ax＋by＋c，對其進行變換得：

其中，a1、b1、c1為平面的單位法向量，并且表示坐標原點到平面的距離。若要得到最優的擬合平面，則需滿足

經過一系列數學運算后，得到求解平面參數的特征方程為：

d1i＝a1xi＋b1yi＋c1zi，（i＝1，2，…，n）d1i的平均值即為d1。則a＝－a1／c1，b＝－b1／c1，c＝－d1／c1。擬合中誤差為：

3 補償最小二乘方法求解擬合平面參數

3.1 補償最小二乘方法構造模型的原理

最小二乘方法對應的誤差方程為：V＝－L，該式忽略了模型誤差S的影響，若S比較大，就會對參數估計產生較大影響。所以應對該誤差方程進行改進：

考慮到模型誤差或觀測值的系統誤差的性態非常復雜，無法用少數參數表示，因此給每個觀測方程增加一個待定量，也就是所謂的非參數分量。所以，式（8）又稱為半參數模型。

補償最小二乘的平差準則為：

其中，α為平滑參數，在運算過程中對V和S起平衡作用；R為正交化矩陣，又稱為正規化矩陣，是用來估計S的一個矩陣。得到的補償最小二乘模型的解為：

其中，N＝ATPA，M＝P＋αR－PAN－1ATP。

擬合中誤差為：

其中，H（α）＝S＋（I－S）B［BTP（I－S）B］－1BTP（I－S）。

3.2 正規化矩陣R 和平滑參數α 的計算［5］

補償最小二乘方法的關鍵是正規化矩陣R和平滑參數α的求取。本文使用基于距離函數求解的方法來求取正規化矩陣R，使用Xu函數法來求平滑參數α。

3.2.1 正規化矩陣R的計算

一般來說，選取正規矩陣R的依據應該是非參數分量的函數性質，但由于非參數部分是未知的，故只能事先指定其值6］。本文的研究對象是點云數據，點與點之間不構成時間序列、平面或曲線等關系，又因為坐標系中每個點是相互獨立的，為了度量非參數S，最合適的方法就是使用距離法確定正規矩陣R，這樣求出來的正規矩陣一定是正定的。

其中，sij為點云中兩點的距離。

其中，s為點云中兩點之間的距離，d為經驗值。

3.2.2 平滑參數α的計算［7］

本文使用Xu函數法確定平滑因子α。與模型誤差相比，偶然誤差是一個非常小的量。在經典平差理論中，將模型誤差與偶然誤差都看成誤差，補償最小二乘則將模型誤差看成獨立變量。如果選擇合適的正規化矩陣R和平滑參數α，那么補償最小二乘求出的模型誤差與經典平差理論求出的誤差，二者之間的差值應該是個很小的值，據此得出Xu函數：

其中，e為經典平差求得的誤差，S為模型誤差，V為補償最小二乘求得的誤差，P為觀測量的權陣。

4 實驗及分析

使用Trimble GX 三維激光掃描儀分別對水平面、傾斜平面以及垂直面進行掃描得到實驗數據，截取其中一部分（圖1）。

圖1 3種平面Fig.1 Three kinds of plane

首先，計算正規化矩陣R，這里經驗值d取為0.001。然后，對3 種平面進行計算求取平滑參數，所得平面的最佳擬合參數為0.001。平面擬合結果見表1。由表1 可以看出，補償最小二乘的擬合精度最高，如圖2。

由實驗結果可以看出，補償最小二乘方法的擬合效果明顯優于最小二乘方法和特征值方法。通過引入非參數因素，極大地提高了擬合精度。

表1 平面擬合結果Tab.1 Fitting results about inclined plane and plane

圖2 3種方法的水平面擬合殘差對比Fig.2 Residuals of plane fitting with 3methods

5 結 語

補償最小二乘方法兼顧了參數因素和非參數因素，使用非參數因素對系統誤差進行彌補，極大地提高了模型的精度。對于求取平面的擬合參數來說，最小二乘方法和特征值方法都沒有考慮到模型誤差的影響，所以，引入補償最小二乘對擬合方法的改進十分必要。

［1］鄭德華.三維激光掃描數據處理的理論與方法［D］.上海：同濟大學，2005（Zheng Dehua.Theories and Methods of Data Processing about 3D Laser Scanning［D］.Shanghai：Tongji University，2005）

［2］李孟迪，蔣勝平，王紅平.基于隨機抽樣一致性算法的穩健點云平面擬合方法［J］.測繪科學，2015（1）：102－104（Li Mengdi，Jiang Shengping， Wang Hongping.A RANSAC－Based Stable Plane Fitting Method of Point Clouds［J］.Science of Surveying and Mapping，2015（1）：102－104）

［3］高寧，高彩云，徐長海.補償最小二乘估計在確定高程異常中的 應 用［J］.測 繪 科 學，2011，36（1）：35－37（Gao Ning，Gao Caiyun，Xu Changhai.Application of Penalized Least Squares Estimation in Height Anomaly［J］.Science of Surveying and Mapping，2011，36（1）：35－37）

［4］官云蘭，程效軍，施貴剛.一種穩健的點云數據平面擬合方法［J］.同濟大學學報：自然科學版，2008，36（7）：981－984（Guan Yunlan，Cheng Xiaojun，Shi Guigang.A Robust Method for Fitting a Plane to Point Clouds［J］.Journal of Tongji University：Natural Science，2008，36（7）：981－984）

［5］胡宏昌，孫海燕.正規矩陣R及平滑因子α的選取［J］.測繪工程，2003，12（4）：5－8（Hu Hongchang，Sun Haiyan.Choice of the Regular MatrixRand Smoothing Parameterα［J］.Engineering of Surveying and Mapping，2003，12（4）：5－8）

［6］潘雄.半參數模型的估計理論及其應用［D］.武漢：武漢大學，2005（Pan Xiong.The Estimation Theory and Application Researeh in Semi－Parametric Model［D］.Wuhan：Wuhan University，2005）

［7］徐長海，吳良才，高寧，等.補償最小二乘在GPS高程擬合中的應用及平滑參數的選取［J］.礦山測量，2009（1）：44－46（Xu Changhai，Wu Liangcai，Gao Ning，et al.The Application of Penalized Least Squares in GPS Elevation Fitting［J］.Mine Surveying，2009（1）：44－46）