基于灰色最小二乘支持向量機的大壩變形預測

任 超 梁月吉 龐光鋒 藍 嵐

1 桂林理工大學測繪地理信息學院，桂林市建干路12號，541004 2 廣西空間信息與測繪重點實驗室，桂林市建干路12號，541004

大壩在施工或運行過程中會由于各種原因發生不同程度的形變，及時掌握大壩變形的演變規律并作出準確預報，對大壩安全具有重大意義。大壩變形與水壓、溫度、時效因素之間具有復雜密切的關系，而這些因素往往具有較強的隨機性和難以解析的非線性，導致大壩變形較為復雜，難以直接建立較為準確的變形量與影響因素之間的非線性關系模型。針對這一問題，國內外學者已研究出多種模型，如時間序列模型、回歸分析模型、灰色模型、神經網絡和支持向量機等［1］。但每一種模型都存在自身的局限性，難以全面考慮負荷的變化趨勢和影響因素，直接通過建立單一模型進行變形預測不易得到令人滿意的結果?；疑Ｐ吞峁┝嗽谪毿畔⑶闆r下解決系統問題的新途徑，通過自身“累加生成”的特點，能夠將復雜的原始數據化為較符合客觀規律的時間序列數據，但不足之處是僅適合解決呈指數增長趨勢的實際問題。而實際的大壩變形規律往往與指數規律差別較大，不利于灰色模型的建立和預測，且模型參數的求解也存在一定的理論缺陷［2］。支持向量機（support vector machine，SVM）是Cortes等［3］提出的一種機器學習算法，能較好地解決小樣本、非線性和高維模式識別等實際問題，已在變形預測中得到廣泛應用。Suykens等［4］在Vapnik 統計學習理論的基礎上提出最小二乘支持向量機（least square support vector machines，LS－SVM），將SVM 的二次規劃問題轉換為求解線性方程組的問題，降低了計算的復雜性，提高了求解速度。

基于上述研究，本文提出基于灰色最小二乘支持向量機的大壩變形預測新算法，通過利用灰色預測方法中的“累加生成”原理對原始序列進行預處理，以削弱序列中隨機擾動因素的影響，得到規律性較強的新序列，進而建立LS－SVM 預測模型。同時，考慮到LS－SVM 的參數優化問題，采用網格搜索法［5］（grid search）進行尋優，該方法用于小樣本數據預測時比遺傳算法、混沌優化算法較有優勢。通過兩個算例，并與灰色GM（1，1）和單一最小二乘支持向量機對比分析，驗證該算法的可行性和有效性。

1 灰色最小二乘支持向量機預測模型

1.1 灰色最小二乘支持向量機原理

設大壩原始位移時間序列為：

式中，n為大壩位移的監測期數。首先對原始位移序列進行一次累加：

得到規律性更強的新序列：

然后，以新序列的前m期為訓練集，后（n－m）期為測試集，利用擬合能力更好的LS－SVM 建立預測模型。設樣本訓練集為｛（xi，yi）｜i＝1，2，…，m｝，其中，xi∈Rn為輸入向量，yi∈R為輸出向量，用非線性映射φ（·）將樣本輸入從原空間映射到高維特征空間，構造出LS－SVM 的回歸函數為［4，6］：

式中，φ（x）為滿足Mercer條件的核函數，w為超平面的權值向量，b為偏置項。

在LS－SVM 估計中，回歸問題可以等價為最小化下面泛函：

式中，γ為正則化參數，ei為誤差項。構造式（5）的Lagrange函數為：

式（7）消去w和ei得到線性方程組：

由于B＝K（xi，yi）＋γ－1I為對稱的正定矩陣，利用最小二乘運算求解式（8）可得：

求解式（6）得到LS－SVM 的估計函數為：

最后，計算累加序列的預測值ym＋j，j＝1，2，…，n－m，并對其進行累減還原，得到原始序列的預測模型：

1.2 LS－SVM 參數的優化

最小二乘支持向量機的性能很大程度上取決于核函數K（x，y）、核參數σ和正則化參數γ的最優選擇。目前，核函數主要有3 類：多項式核函數、徑向基核函數和線性核函數，其中徑向基核函數能較好地反映模型的復雜程度，預測效果比較好。因此，選定其為LS－SVM 的核函數?？紤]到參數選取問題，采用網格搜索法進行參數優選。其基本原理是將σ和γ在一定的范圍劃分網格并遍歷網格內所有點進行取值，對取定的σ和γ采用交叉驗證方法［7］獲取訓練均方誤差作為網格點計算的目標函數，最終取訓練集驗證均方誤差最低的那組σ和γ作為最佳參數。該方法尋優過程中各組參數相互解耦，較好地避免了由于參數多或參數之間可能出現耦合而引起的多解性問題，便于并行計算，且運行效率較高。具體步驟如下［5］：

1）設定參數σ和γ的選擇范圍和參數步長。本文尋優過程分為粗選和精選兩步，設定σ的尋優區間為［0 ，1010］，γ的尋優區間為［0 ，1010］；粗選格點數為1010×1010，步長為1；精選格點數為1010×1010，步長為0.1。

2）由于尋優過程是一個遍歷過程，因此，參數初始值的選取對結果沒有影響。此搜索過程選取的初始值為σ＝0，γ＝1，選擇第一個交叉驗證網點位置，通過交叉驗證方法獲取訓練均方誤差（MES）作為網格點計算的目標函數，并計算所有的網格點。

3）選取均方誤差最低的一組（σ，γ）為最優參數。若選取的參數達不到精度要求，則以選擇的參數為中心網格點，在較小的范圍內構建新的二維網格平面重新計算目標函數，再次選取均方誤差最低的參數。如果滿足精度要求，則停止，否則繼續重復以上步驟，最終獲取精確的參數σ和γ作為最優值。

2 模型預測流程

圖1 模型預測流程圖Fig.1 Flow chart of model prediction

3 算例分析

3.1 算例一

以文獻［7］中某大壩徑向變形監測數據進行實驗。該大壩共布設C06和C11兩個監測基準點，在大壩中部及其兩側分別布設3 個監測變形點OP03、OP04與OP05。各監測點的切向與徑向定義為切向（t）和徑向（r）坐標系。為充分反映大壩變形特征，本文采用位于拱壩圓弧頂部監測點OP03徑向的變化數據（2001－12－31～2002－01－20），徑向正軸方向指向雅礱江上游方向，如圖2所示。

圖2 大壩變形徑向位移序列Fig.2 Deformation of the dam radial displacement sequence

由圖2可看出，該大壩位移序列總體呈增長趨勢，只有第6期、第9期和第20期有所下降，波動性較弱，大壩最大變形值為18 mm，最小為10 mm，差值為8 mm。采用灰色預測方法中的“累加生成”原理對序列進行一次累加得到如圖3所示的結果。由圖3可見，經一次累加生成的新序列曲線較為光滑，變化規律更為明顯，有利于模型的建立和分析。

為驗證本文提出的基于灰色最小二乘支持向量機在大壩變形預測中的可行性，建立3種方案進行算例分析比較：方案1——灰色GM（1，1）；方案2——單一LS－SVM 預測模型；方案3——灰色最小二乘支持向量機預測模型。各方案采用前12期監測數據進行建模訓練，后8期作為測試樣本。經網格搜索法得到，方案2 的最優參數σ為45.265，γ為425 316.516；方案3的最優核參數為10 648.167，正則化參數為6 540 666.247。3種方案的預測結果見表1。

由表1可知，方案1預測不穩定，預測值和實際值偏差比較大，最大殘差達到－1.85mm。方案2和方案3優于方案1，而方案3的預測結果最好，殘差最小值為0.02mm，最大值僅為0.39mm。

圖3 一次疊加結果Fig.3 The results of a superposition

3.2 算例二

以文獻［8］中某大壩水平位移變形監測數據為例（2003－01－06～2003－01－26）。該大壩共布設7個水平位移監測點，由于各點變化規律大致相同，本文僅選擇D4點進行分析，如圖4所示。

圖4 大壩變形水平位移序列Fig.4 Deformation of the dam horizontal displacement sequence

從圖4可看出，該大壩水平位移序列的第1～5期和第8～14 期變化都比較平緩，而第6、7期和第15～21期波動大。顯然，如果用傳統的預測模型，難以真實反映大壩變形的規律。對大壩原始位移序列進行一次累加得到如圖5所示的結果。由圖5可知，對于波動性較強、不穩定的大壩位移序列，經一次累加后變得較為光滑，有效減弱了原始序列的隨機性，使離亂的原始數據中蘊涵的規律能夠充分顯露出來，突出了大壩變形規律。

表1 各模型計算結果對比／mmTab.1 The contrast of each model calculation results／mm

圖5 一次疊加結果Fig.5 The results of a superposition

同算例一，建立3種方案進行比較。采用前12期監測數據進行建模訓練，后9期作為測試樣本。3種方案的預測結果見表2。同理得到，方案2的最優參數σ為108.526，γ為25 412.613；方案3的最優核參數為7 256.758，正則化參數為5 625 282.435。預測結果見表2。

從表2可看出，方案1和方案2預測不穩定，部分預測值和實際值偏差比較大，方案1最大殘差達到－2.11 mm，方案2 殘差最大為－1.43 mm。方案3殘差最小值為0.01 mm，最大值僅為0.53mm?？梢?，對于波動較大和不穩定的大壩變形序列，灰色GM（1，1）的預測結果已遠遠偏離監測值，單一最小二乘支持向量機的部分預測結果也不夠穩定，而灰色最小二乘支持向量機模型的預測效果較好，能夠保證較優的局部預測值。

為進一步綜合評定本文算法的性能，采用均方根誤差和平均絕對誤差兩項指標進行評定（表3）。

表3 各模型精度對比／mmTab.3 The contrast of each model precision／mm

由表3 可知，灰色GM（1，1）的預測精度較低，兩個算例的均方根誤差分別為1.01 mm 和1.27mm，單一最小二乘支持向量機表現出較好的預測精度，優于灰色GM（1，1）。而本文算法的預測精度明顯較高，均方根誤差分別為0.20mm和0.18mm，平均絕對誤差分別僅為0.16mm 和0.13mm?？梢姡疑钚《酥С窒蛄繖C預測模型在一定程度上保證了較好的全局預測精度。綜上，新算法通過采用灰色原理對原始序列進行預處理，能有效削弱原始序列的隨機性并增加規律性，利用最小二乘支持向量機優良的學習性能，能緊跟數據的變化規律。同時，對于不同尺度變化的大壩變形預測，效果都比較好。新算法無論是預測結果還是預測精度，都優于灰色GM（1，1）和單一最小二乘支持向量機，能在一定程度上有效解決復雜的大壩變形問題，當直接建立LSSVM 預測模型無法滿足精度要求時，可以采用此算法。

4 結 語

針對大壩變形具有隨機性和非線性等特點，本文將灰色理論和最小二乘支持向量機相結合引入到大壩變形短期預測。經理論和算例分析，并與灰色GM（1，1）和單一最小二乘支持向量機對比表明，傳統的灰色GM（1，1）預測模型由于自身存在的理論缺陷，預測效果和實際偏差較大，難以解決復雜的變形問題；單一最小二乘支持向量機的預測效果和實際值較為接近，體現出LS－SVM在解決小樣本、貧信息和多維數的復雜非線性問題中的優勢；而本文新算法不僅引入灰色預測方法獨特的數據生成方式，增加原始數據的規律性，減少數據的隨機性，且充分發揮了LS－SVM 強大的非線性映射能力，預測精度優于灰色GM（1，1）和單一最小二乘支持向量機。同時，采用網格搜索方法可快速地選取LS－SVM 的最佳參數。

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