低低跟蹤重力衛(wèi)星星間距離變率對區(qū)域質(zhì)量異常敏感度分析

郭飛霄 肖 云 汪菲菲 苗岳旺

1 西安測繪研究所，西安市雁塔路中段1號，710054

2 地理信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安市雁塔路中段1號，710054

3 西安測繪信息技術(shù)總站，西安市西影路36號，710054

GRACE衛(wèi)星反演地球表層質(zhì)量變化的關(guān)鍵在于高精度的K 波段測距系統(tǒng)，該系統(tǒng)可精密測量兩顆衛(wèi)星之間的距離和距離變率，精度可達(dá)μm 級［1］。當(dāng)前利用GRACE 衛(wèi)星數(shù)據(jù)反演陸地水儲量變化大多采用球諧系數(shù)法［2］，該方法采用GRACE衛(wèi)星Level－2數(shù)據(jù)的時變重力場模型，反演結(jié)果的時間分辨率為30d，空間分辨率約為500km。為進(jìn)一步提高陸地水儲量變化反演結(jié)果的時空分辨率，有學(xué)者基于星間距離變率觀測值對地球表層質(zhì)量變化非常敏感這一特性，用Level－1B級數(shù)據(jù)的星間距離變率、GPS和加速度計觀測值直接推求陸地水儲量變化。根據(jù)反演原理的不同有兩種方法：重力位差法［3］和Mascon（mass concentration）方法［4－5］。研究結(jié)果表明，利用Level－1B數(shù)據(jù)可以有效提高反演結(jié)果的時空分辨率，反演結(jié)果時間分辨率甚至可達(dá)10d左右，空間分辨率可提高到200km 左右［6］，比球諧系數(shù)法更具優(yōu)勢。Mascon方法是當(dāng)前研究時變重力場的熱點(diǎn)之一，該方法的特點(diǎn)在于利用了星間距離變率觀測值對區(qū)域質(zhì)量異常非常敏感的特性［7］，在反演區(qū)域質(zhì)量變化時僅用衛(wèi)星飛臨研究區(qū)域上空的數(shù)據(jù)，因此能提高反演結(jié)果的時空分辨率。

本文就星間距離變率對區(qū)域質(zhì)量異常的敏感性進(jìn)行研究，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了星間距離變率對地球表層質(zhì)量變化具有很高的敏感性，并對星間距離變率對區(qū)域質(zhì)量異常的敏感范圍及程度進(jìn)行仿真評估。

1 數(shù)學(xué)模型

地球質(zhì)量變化及其重新分布對地球重力場的影響可以通過重力場模型的球諧系數(shù)變化量來描述。下面將推導(dǎo)區(qū)域質(zhì)量異常與相應(yīng)球諧系數(shù)改變量之間的關(guān)系。

地球表層某一小塊區(qū)域質(zhì)量變化引起的地球重力位變化為：

式中，G為引力常數(shù)，r＝（r，θ，λ）為質(zhì)點(diǎn)的球坐標(biāo)，r為質(zhì)點(diǎn)的地心距，θ、λ分別為地心余緯和地心經(jīng)度，dV為質(zhì)量塊體，ρ（r）是體密度，根據(jù)級數(shù)展開可得［8］：

式中，l、m分別表示階和次，Plm為非完全規(guī)格化的勒讓德函數(shù)，表示Ylm的復(fù)共軛。于是式（1）可寫為：

其中，

另一方面，U可以寫成球諧函數(shù)的形式：

由式（4）、（6）推導(dǎo)得：

式中，R為地球平均半徑，是完全規(guī)格化的勒讓德函數(shù)。

因此，體密度變化Δρ（r）引起的球諧系數(shù)｛ΔClm，ΔSlm｝變化如下：

假設(shè)地球質(zhì)量遷移表現(xiàn)為地球表層上一個薄層，在式（8）中取r≈R，并用面密度變化Δσ（θ，λ）代替體密度變化Δρ（r），則由式（8）可得：

式中，Ω是積分區(qū)域，dΩ是積分單元。考慮到固體地球受物質(zhì)作用產(chǎn)生形變引起的球諧系數(shù)變化為：

式中，kl為負(fù)荷勒夫數(shù)。綜合式（9）、（10），對于地球上某一特定區(qū)域內(nèi)質(zhì)量變化引起的球諧系數(shù)變化量｛ΔClm，ΔSlm｝，可按公式（11）計算：

從式（11）可以看出，某個特定區(qū)域內(nèi)的質(zhì)量變化可等效為一組球諧系數(shù)的改變量。

進(jìn)一步，將Δσ寫成Δσ＝10×ΔH的形式，ΔH為區(qū)域Ω內(nèi)質(zhì)量變化的等效水柱高度，即Mascon參數(shù)［5］。比例因子10的含義是1 m2區(qū)域內(nèi)質(zhì)量增加或減少10kg等效為區(qū)域內(nèi)水柱升高或減少1cm。因此，式（11）又可寫為：

從式（12）可以看出，某個特定區(qū)域內(nèi)，質(zhì)量變化引起的球諧系數(shù)改變量與等效水柱高成正比。式（12）建立了地球重力場模型球諧系數(shù)改變量與區(qū)域質(zhì)量變化等效水柱高之間的函數(shù)關(guān)系，通過該關(guān)系式可將不同區(qū)域的質(zhì)量變化對地球重力場的影響分離出來［4］。Mascon方法正是利用該原理，提高了地球表層質(zhì)量變化反演結(jié)果的空間分辨率。

2 仿真實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計

根據(jù)§1 可知，給定區(qū)域質(zhì)量變化的等效水柱高，就可按照式（12）計算出一組球諧系數(shù)的改變量。因此，為分析星間距離變率對地球表層區(qū)域質(zhì)量異常敏感程度，以GRACE衛(wèi)星為背景，采用STK 軟件仿真生成GRACE 衛(wèi)星軌道及星間距離變率數(shù)據(jù)，并設(shè)計如下實(shí)驗(yàn)方案。

2）以兩顆衛(wèi)星星下點(diǎn)軌跡經(jīng)過的某一點(diǎn)為中心的正方形區(qū)域，模擬增加一定等效水柱高度的質(zhì)量變化，并計算等價的球諧系數(shù)改變量｛ΔClm，ΔSlm｝。

3）將球諧系數(shù)改變量｛ΔClm，ΔSlm｝和穩(wěn)態(tài)重力場模型對應(yīng)階次相加，得到新的重力場模型｛Clm，Slm｝。

4）在新的重力場模型｛Clm，Slm｝條件下，重新積分得到兩顆衛(wèi)星的軌道，并計算對應(yīng)時刻的星間距離變量值。

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

仿真實(shí)驗(yàn)中模擬生成了24h 的GRACE 衛(wèi)星軌道及星間距離變量數(shù)據(jù)。衛(wèi)星星下點(diǎn)軌跡如圖1所示，在仿真時段內(nèi)衛(wèi)星星下點(diǎn)軌跡兩次經(jīng)過圖1中圓點(diǎn)位置。以該點(diǎn)為區(qū)域中心，模擬增加一定等效水柱高度的質(zhì)量變化。

首先，取以圓點(diǎn)為中心4°×4°的實(shí)驗(yàn)區(qū)域，在該區(qū)域內(nèi)模擬增加5cm 等效水柱高的質(zhì)量變化，計算得星間距離變率殘差時間序列如圖2（a）所示。

圖1 仿真時段內(nèi)GRACE衛(wèi)星星下點(diǎn)軌跡Fig.1 Ground track of GRACE satellites in simulation time

圖2（a）顯示，星間距離變率殘差在兩個較短時段內(nèi)出現(xiàn)了跳變，而這兩個時段正好對應(yīng)兩顆衛(wèi)星通過質(zhì)量異常區(qū)域上空，表明星間距離變率對地球表層區(qū)域質(zhì)量變化很敏感，當(dāng)衛(wèi)星經(jīng)過質(zhì)量異常區(qū)域上空時，星間距離變率觀測值能夠敏感反映出該區(qū)域質(zhì)量異常。以兩顆衛(wèi)星第一次通過質(zhì)量異常區(qū)域時段為例進(jìn)行分析（圖2（b））。由圖2（b）可以看出，在兩顆衛(wèi)星通過質(zhì)量異常區(qū)域的時段內(nèi)，呈現(xiàn)正弦函數(shù)變化，變化量可達(dá)3.0×10－8m／s，變化時間約為570s，換算成空間域約19.6°范圍。因此，由仿真結(jié)果可知，4°×4°區(qū)域的5cm 等效水柱高質(zhì)量異常低低跟蹤衛(wèi)星星間距離變率觀測值的影響范圍約為星下點(diǎn)軌跡距質(zhì)量異常區(qū)域中心點(diǎn)9.8°的范圍，而該范圍以外的區(qū)域，星間距離變率觀測值對該區(qū)域質(zhì)量異常不敏感。上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，區(qū)域質(zhì)量異常對星間距離變率的影響在空間分布上是有限的。

由式（12）可知，地球表層區(qū)域的質(zhì)量變化會引起重力場的局部變化，重力場的局部改變使得兩顆衛(wèi)星軌道也發(fā)生改變，衛(wèi)星軌道的變化又引起星間距離變率的改變。以兩顆衛(wèi)星的基線中點(diǎn)為研究對象進(jìn)行分析，如圖3所示。

圖2 星間距離變率殘差變化Fig.2 Residual of intersatellite range rate

圖3 衛(wèi)星通過質(zhì)量異常區(qū)域示意Fig.3 Satellites go across mass anomalyregion

當(dāng)兩顆衛(wèi)星進(jìn)入到質(zhì)量異常影響范圍后，基線中點(diǎn)受區(qū)域質(zhì)量異常引起的加速度在基線方向上的分量為：

式中，G為萬有引力常數(shù)，Δm為該區(qū)域質(zhì)量變化，r為衛(wèi)星到區(qū)域中心的距離，θ為區(qū)域異常引起的加速度方向和基線方向的夾角。令GΔm·f（t），由于G、Δm為大于0的常數(shù)，因此，加速度和函數(shù)f（t）的變化是一致的：

f（t）變化如圖4所示。對比圖2（b）可以看出，在兩顆衛(wèi)星通過質(zhì)量異常區(qū)域的時段內(nèi)，f（t）的變化與星間距離變率殘差的變化基本一致，兩組時間序列的相關(guān)系數(shù)為0.92。這是因?yàn)榈厍虮韺訁^(qū)域質(zhì)量變化引起地球重力場的局部改變，當(dāng)兩顆衛(wèi)星進(jìn)入到質(zhì)量異常區(qū)域影響范圍后，質(zhì)量異常引起的加速度在兩衛(wèi)星基線方向上的分量使得星間距離變率發(fā)生改變。因此，星間距離變率的變化與質(zhì)量異常引起的加速度在基線方向分量的變化相同。而當(dāng)兩衛(wèi)星位于圖3中的C和C′點(diǎn)，即兩衛(wèi)星到質(zhì)量異常區(qū)域距離相等時為0，相應(yīng)的星間距離變率殘差也為0。

圖4 函數(shù)f（t）的變化Fig.4 Variation of function f（t）over time

由以上分析可知，區(qū)域質(zhì)量異常引起地球重力場的局部改變，重力場局部改變引起的加速度在兩顆衛(wèi)星基線方向上的分量使得星間距離變率發(fā)生變化。為進(jìn)一步分析星間距離變率對區(qū)域質(zhì)量異常的敏感度，設(shè)計兩組實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析。

實(shí)驗(yàn)一 保持模擬區(qū)域質(zhì)量變化的等效水柱高度不變，分析質(zhì)量異常區(qū)域大小對星間距離變率殘差影響。等效水柱高度取5cm 不變，區(qū)域大小分別為2°×2°、4°×4°、6°×6°和8°×8°，所得結(jié)果如圖5所示。從圖5可以看出，隨著質(zhì)量異常區(qū)域面積的增大，在兩顆衛(wèi)星通過質(zhì)量異常區(qū)域上空時，星間距離變率殘差Δρ·的變化幅度逐漸增大，4種情形下變化量分別為0.8×10－8、3.0×10－8、5.6×10－8和8.2×10－8m／s。

圖5 不同區(qū)域大小質(zhì)量異常對星間距離變率影響Fig.5 Influence of mass anomaly to KBRR observation with different area

實(shí)驗(yàn)二 保持質(zhì)量異常區(qū)域大小為4°×4°，質(zhì)量變化等效水柱高分別為2、4、6和8cm，所得星間距離變率殘差結(jié)果如圖6所示。從圖6可以看出，隨著質(zhì)量變化的等效水柱高度增大，在兩顆衛(wèi)星通過質(zhì)量異常區(qū)域上空時，星間距離變率殘差的變化幅度逐漸增大，4種情形下變化量分別為1.2×10－8、2.5×10－8、3.6×10－8和4.8×10－8m／s。

以上兩個實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，星間距離變率對區(qū)域質(zhì)量異常非常敏感，星間距離變率殘差的變化幅度與該區(qū)域質(zhì)量變化Δm的大小有關(guān)。Δm表達(dá)式為：

式中，ρw為水密度，ΔH為該區(qū)域內(nèi)等效水柱高度變化，S為區(qū)域面積。顯然，在保持區(qū)域面積S或等效水柱高H不變的情況下，隨著H或S的增大，區(qū)域質(zhì)量變化Δm也相應(yīng)增大，星間距離變率殘差變大，表明對該區(qū)域質(zhì)量異常敏感程度提高。

圖6 不同等效水高區(qū)域質(zhì)量異常對星間距離變率影響Fig.6 Influence of mass anomaly to KBRR observation with different equivalent water height

3 結(jié) 語

1）區(qū)域質(zhì)量異常對星間距離變率的影響在空間分布上是有限的，對于4°×4°區(qū)域的5cm 等效水柱高質(zhì)量異常，星間距離變率觀測值的影響范圍集中在星下點(diǎn)軌跡距離區(qū)域中心點(diǎn)約9.8°左右的范圍。

2）星間距離變率觀測值對區(qū)域質(zhì)量變化非常敏感，4°×4°區(qū)域2cm 等效水柱高的區(qū)域質(zhì)量異常引起的星間距離變率變化量為1.2×10－8m／s，星間距離變率觀測值變化量隨著區(qū)域質(zhì)量的增大而增大。

［1］肖云.基于衛(wèi)星跟蹤衛(wèi)星數(shù)據(jù)恢復(fù)地球重力場的研究［D］.鄭州：信息工程大學(xué)，2006（Xiao Yun.Research on the Earth Gravity Field Recovery from Satellite－to－Satellite Tracking Data［D］.Zhengzhou：Information Engineering University，2006）

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