不同組合方法對GPS高程擬合的影響

任 超 梁月吉 藍 嵐 龐光鋒

1 桂林理工大學測繪地理信息學院，桂林市建干路12號，541004

2 廣西空間信息與測繪重點實驗室，桂林市建干路12號，541004

GPS獲得的高程是基于WGS－84 參考橢球的大地高［1］，而工程中所采用的高程是基于似大地水準面的正常高，因此，為滿足實際應(yīng)用，需要解決GPS的高程轉(zhuǎn)換問題［2］。常用的GPS高程異常擬合方法主要有平面擬合模型、曲面擬合模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型及支持向量機等，但每一種模型都存在自身的局限性。比如平面擬合模型一般只適用于似大地水準面近似平面的區(qū)域，如較小范圍的平坦或低丘地；曲面擬合模型［3］適合于似大地水準面變化較為復雜、規(guī)律性較明顯的數(shù)據(jù)，對高程異常的中長波項有較好的擬合效果。這兩種擬合模型對似大地水準面都作了某些人為假設(shè)，存在一定的模型誤差［4］。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對GPS高程擬合是一種自適應(yīng)映射關(guān)系，能夠有效避免未知非線性因素的影響，減少模型誤差，但其存在收斂速度慢、過學習、容易陷入局部最優(yōu)等缺點［5－6］。

本文從不同組合方法對GPS高程擬合精度的影響出發(fā)，提出基于平面擬合、二次曲面擬合和GA－BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)3種單一擬合模型的非線性組合和線性組合兩種方法，非線性組合法包括RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合和最小二乘加權(quán)向量機組合；線性組合法包括最優(yōu)加權(quán)組合和最優(yōu)非負變權(quán)組合。通過算例，探討不同組合方法綜合各單一擬合模型的效果，以及對GPS高程擬合精度的可靠性分析，并對比分析各組合方法的特點和適用性。

1 單一擬合模型

1.1 平面擬合模型

平面擬合模型的數(shù)學表達式為［7］：

式中，a0、a2和a3為待定系數(shù)，xi、yi為平面坐標。通過利用3 個或3 個以上的已知點求出待定系數(shù)，即可建立擬合模型。

1.2 二次曲面擬合模型

設(shè)測站點的高程異常ζ與平面坐標（x，y）的關(guān)系為［3］：

式中，f（x，y）代表ζ的趨勢值，ξ為誤差。設(shè)

式中，bi為待定系數(shù)。式（2）、（3）即為二次曲面逼近模型。

1.3 GA－BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由Rumelhart等于1986年創(chuàng)立的一種模仿人類大腦結(jié)構(gòu)和功能的新型信息處理算法，其基于多層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，采用誤差反方向傳播的學習算法進行權(quán)值調(diào)整，以得到擬合精度較高的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。采用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［5－6］對高程異常擬合時，由一個輸入層、一個隱含層和一個輸出層構(gòu)成，采用雙曲正切函數(shù)作為輸入層和隱含層之間的傳遞函數(shù)；輸出層含一個神經(jīng)元。將學習集數(shù)據(jù)分為訓練集和測試集，分別以平面坐標（x，y）作為輸入向量，對應(yīng)的高程異常值ζ作為輸出向量來進行建模和測試。同時，采用可在多個區(qū)域內(nèi)尋求最優(yōu)解的遺傳算法［8］GA（genetic algorithms）優(yōu)化BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)各層之間的連接權(quán)和閾值，使BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合效果更加穩(wěn)定。對平面坐標數(shù)據(jù)和高程異常值均進行歸一化處理。

2 高程擬合組合方法

2.1 非線性組合法

1）RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［9］是由輸入層、隱含層和輸出層構(gòu)成的3層前饋網(wǎng)絡(luò)，具有良好的學習和較強的泛化能力。本文選取徑向基函數(shù)作為隱含層的激勵函數(shù)，采用高斯函數(shù)作為徑向基函數(shù)。采用標準化數(shù)據(jù)預處理方法對模型的輸入向量進行預處理，輸出向量為實際高程異常值。

采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對以上3種單一模型進行組合，將學習集分為訓練集和測試集，輸入向量主要包括訓練集的平面坐標（x，y）、3種單一模型的內(nèi)符合擬合高程異常值，輸出目標為對應(yīng)的實際高程異常值；將測試集的平面坐標和3種單一模型的外符合擬合高程值代入訓練好的模型，測試輸出即為最終高程擬合異常值。

2）加權(quán)最小二乘支持向量機組合

考慮到最小二乘支持向量機在將支持向量機的二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為求解線性方程組的問題時，降低了計算的復雜性，在提高求解速度的同時自身失去了原有的魯棒性，使得目標函數(shù)所賦予訓練樣本的權(quán)重都相同，即樣本在訓練中所起的作用是一樣的。然而，在實際中不同的樣本數(shù)據(jù)所表現(xiàn)出來的特征是不一樣的，或被各種外界因素影響的程度不相同，在訓練中所占權(quán)重也不相同。為重新獲取魯棒性，建立更為準確的擬合模型，本文采用加權(quán)最小二乘支持向量機（WLSSVM）［10］進行組合。采用能較好地反映模型的復雜程度、擬合效果較好的徑向基函數(shù)作為模型的核函數(shù)，利用網(wǎng)格搜索［11］（grid search）法選取最優(yōu)的核參數(shù)σ和正則化參數(shù)c。設(shè)置模型訓練和測試的輸入向量為（x，y，ζ1，ζ2，ζ3），x和y為平面坐標，ζ1、ζ2和ζ3分別為以上3種單一模型的內(nèi)符合和外符合擬合高程異常值，訓練和測試的輸出向量為對應(yīng)的實際高程異常值。

2.2 線性組合法

1）最優(yōu)非負變權(quán)組合

設(shè)某高程異常值為Yt，用以上3種單項模型對其進行擬合，設(shè)Yit為第i種單項模型對第t個高程異常點的擬合值，其中i＝1，2，3，t＝1，2，…，n。令為第t個 組合擬合值，Wit為第i個單一模型在第t個高程異常點的加權(quán)系數(shù)，且Wit滿足：

設(shè)eit、et分別為第i種單一模型和組合模型在第t個高程異常點的擬合誤差，則：

設(shè)f為最優(yōu)非負變權(quán)系數(shù)組合擬合的擬合誤差平方和，則以擬合誤差平方和最小為目標函數(shù)，通過規(guī)劃方法求解各高程擬合值的權(quán)系數(shù)的最優(yōu)非負變權(quán)系數(shù)組合擬合模型為：

n式中，Wjt為第j個單一模型在第t個高程異常點的加權(quán)系數(shù)，ejt為第j種單一模型和組合模型在第t個高程異常點的擬合誤差。限于篇幅，在此只作簡要介紹，詳細原理可參考文獻［12］。

2）最優(yōu)加權(quán)組合

最優(yōu)加權(quán)組合模型的建立與上述最優(yōu)非負變權(quán)組合的原理一致，該模型賦予各單項模型的權(quán)值是一個恒定權(quán)值，詳細原理可參考文獻［13］。

3 算例分析

本文以某市地籍控制測量首級控制網(wǎng)數(shù)據(jù)［14］為實驗數(shù)據(jù)。該數(shù)據(jù)涵蓋面積約196km2，點位分布不均勻，如圖1所示。通過二等水準測量獲取各點的正常高，同時獲得各點的GPS大地高，從而得到這些點的高程異常值，具體數(shù)據(jù)見表1。本文選取圖1中用空心三角形表示的12個點作為學習樣本，用實心圓表示的12個點作為測試樣本。

為探討不同組合方法對GPS高程擬合精度的影響，本文建立基于平面擬合、二次曲面擬合和GA－BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)3種單一模型的4種組合方法進行對比分析：方案1，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合；方案2，加權(quán)最小二乘支持向量機組合；方案3，最優(yōu)加權(quán)組合；方案4，最優(yōu)非負變權(quán)組合。對于方案2，采用網(wǎng)格搜索法選取的最優(yōu)核參數(shù)和正則化參數(shù)分別為1 420.130 5和529 008.264 2。3種單一模型分別對第13～24號點進行擬合，結(jié)果見表2。各方案的擬合結(jié)果如表3所示。圖2為3種單一模型和各方案的擬合殘差序列。

圖1 數(shù)據(jù)點的點位分布Fig.1 Distribution of data points

表1 點的坐標、高程異常Tab.1 Coordinates and height abnormal of points

由表2可見，平面擬合模型的最大擬合殘差為－0.039 8m，最小為0.000 8m；二次曲面擬合的殘差最大為0.058 3m，最小為0.005 0m；GABP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合的最大和最小殘差分別為0.039 9m 和－0.002 8m。顯然，直接采用單一模型進行擬合不易得到滿意的結(jié)果。從表3 可知，利用組合模型擬合時，擬合結(jié)果比較好。對于非線性組合方法，方案2的擬合結(jié)果均優(yōu)于方案1，最大殘差為0.014 9m，最小殘差為－0.002 0 m；對于線性組合方法，方案4的擬合結(jié)果均優(yōu)于方案3，殘差最大僅為0.008 9 m，最小僅為－0.000 3m。從兩種組合方式對比分析，加權(quán)最小二乘支持向量機組合基本優(yōu)于最優(yōu)加權(quán)組合，而最優(yōu)非負變權(quán)組合均優(yōu)于非線性組合法。由圖2進一步看出，組合方法擬合的殘差曲線變化遠優(yōu)于各單一模型，而方案4和方案2的殘差曲線變化優(yōu)于方案1和方案3，方案4的殘差波動幅度較小。可見，方案2和方案4均能保證較好的局部擬合值，方案4的擬合結(jié)果較穩(wěn)定。

對表2和表3 數(shù)據(jù)進一步分析，3 種單一模型對同一高程異常值的擬合結(jié)果都不相同，而方案4正是根據(jù)3種單一模型對各測試樣本數(shù)據(jù)的擬合精度高低賦予不同的權(quán)值，故優(yōu)于只賦予均權(quán)的最優(yōu)加權(quán)組合。3種單一模型的最優(yōu)權(quán)值和最優(yōu)非負變權(quán)值見表4。

表2 單一模型的擬合結(jié)果與實測值的對比Tab.2 Comparisons of single model predicted results and the actual values

表3 組合模型的擬合值與實測值的對比Tab.3 Comparisons of portfolio model predicted results and the actual values

圖2 殘差序列Fig.2 Residual sequences

表4 最優(yōu)加權(quán)和非負變權(quán)模型權(quán)值Tab.4 Weights of combination models

由表4可知，最優(yōu)加權(quán)組合的權(quán)值是恒定的，而最優(yōu)非負變權(quán)組合的權(quán)值是變動的。在實際中，由于單一模型自身的局限性，使得對各高程異常的擬合結(jié)果都有所不同，而權(quán)值的比重直接影響線性組合的擬合精度。最優(yōu)非負變權(quán)組合正是充分考慮到單一模型對各高程異常擬合的不穩(wěn)定性，并根據(jù)單一模型對各高程異常擬合精度的高低賦予不同權(quán)值，故優(yōu)于最優(yōu)加權(quán)組合。同時，對方案2 進一步分析，WLSSVM 能以一種非線性方式組合3種單一組模型轉(zhuǎn)換的結(jié)果，不同于方案3的線性等權(quán)組合那樣機械化取均值，故其組合后的殘差序列整體趨勢趨于平緩，從而進一步體現(xiàn)該方法適合小樣本、泛化性能好的特點，克服了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在的缺陷。而且加權(quán)最小二乘支持向量機組合法的權(quán)重是按單個樣本誤差和總體誤差在滿足給定精度下由模型在自適應(yīng)動態(tài)學習中給出的，組合擬合結(jié)果與單一模型的擬合結(jié)果和權(quán)重有關(guān)，其權(quán)重包括各神經(jīng)元之間的連接權(quán)，是一種非線性的映射關(guān)系。而最優(yōu)非負變權(quán)組合擬合精度的高低與各單一模型擬合精度的高低有直接的關(guān)系，權(quán)值的確定取決于單項擬合方法擬合誤差的大小，通過以擬合誤差平方和最小為目標，采用規(guī)劃方法求解最優(yōu)非負變權(quán)系數(shù)。

為綜合評定各組合方法的精度，本文使用標準差進行對比分析。考慮到WLSSVM 是建立在統(tǒng)計學習理論基礎(chǔ)上的，與建模不相關(guān)的外符合精度是衡量其建模精度的重要指標，所以本文主要考慮模型的外符合精度。各種模型的殘差統(tǒng)計特征分析見表5（單位：m）。

表5 殘差序列的統(tǒng)計特征Tab.5 Statistics of residual sequences

由表5看出，組合方法均提高了轉(zhuǎn)換的精度，最優(yōu)非負變權(quán)組合和WLSSVM 組合明顯優(yōu)于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合、最優(yōu)加權(quán)組合，而最優(yōu)非負變權(quán)組合擬合精度最高，其標準差僅為0.003 8 m，說明該組合法的殘差序列更趨于平緩，逼近真值。從殘差最大值和最小值改善方面對比，WLSSVM 組合法和最優(yōu)加權(quán)組合法對殘差的改善差不多，而最優(yōu)非負變權(quán)組合對殘差極值改善最明顯，最大值減少了0.049 4m，最小值減少了0.000 5m。綜上可見，最優(yōu)非負變權(quán)組合充分考慮了GPS高程擬合中每一個高程異常的權(quán)重，綜合了各個單一模型的優(yōu)點，無論是擬合結(jié)果還是擬合精度都優(yōu)于其他組合方法和各單一擬合模型。

4 結(jié) 語

本文從非線性組合和線性組合選取出發(fā)，探討了RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合、WLSSVM 組合、最優(yōu)加權(quán)組合和最優(yōu)非負變權(quán)組合4 種組合方法對GPS高程擬合精度的影響。經(jīng)理論和算例分析，得出以下結(jié)論：組合方法均能提高轉(zhuǎn)換精度，優(yōu)于單一擬合模型；WLSSVM 組合法和最優(yōu)非負變權(quán)組合法擬合結(jié)果較好，可靠性較強，而后者能較好地控制殘差極值，有效減小誤差區(qū)間，擬合精度較高；WLSSVM 組合屬于數(shù)學逼近方法，如要大幅度提高轉(zhuǎn)換精度還應(yīng)從轉(zhuǎn)換理論和似大地水準面的特性上作進一步研究；最優(yōu)非負變權(quán)組合利用變權(quán)對各點擬合誤差起到很好的調(diào)整作用，通過進一步提高單一模型擬合的準確性，適當增加模型個數(shù)和盡量選取能從不同角度反映信息的單一模型進行組合，模型擬合效果將會更好，可以在GPS高程擬合中加以推廣應(yīng)用。當對GPS高程擬合精度和可靠性要求較高，而單一擬合模型無法達到此要求時，可采用以上兩種組合方法。由于本文所采用的算例來自于平坦地區(qū)，因此所述方法在起伏地區(qū)的應(yīng)用效果需要進一步驗證。而且，本文僅考慮了擬合的方法，未考慮似大地水準面等物理方法，也未考慮19、23等外圍點的擬合精度，這些內(nèi)容需要進一步研究。

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