附加線性不等式約束的條件平差模型未知參數(shù)的解算

張松林 張 昆

1 同濟(jì)大學(xué)測(cè)量與地理信息學(xué)院，上海市四平路1239號(hào)，200092

2 華東師范大學(xué)地理信息科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海市東川路500號(hào)，200241

文獻(xiàn)中所討論的附加線性不等式約束的平差模型無(wú)一例外地都是基于間接平差模型的［1－10］，模型形式為：

雖然有文獻(xiàn)在論及附加不等式約束的模型時(shí)使用了附加參數(shù)的條件平差模型：

但是在處理中，運(yùn)用最小二乘準(zhǔn)則時(shí)，將附加參數(shù)的條件平差模型與間接平差模型同樣對(duì)待：

條件平差模型（Av＋w＝0）、間接平差模型和附有限制條件的間接平差模型是附有限制條件的條件平差模型的特例，分別對(duì)應(yīng)于B＝0，C＝0；A＝－I，C＝0以及A＝－I。本文在回顧附有參數(shù)的條件平差理論的基礎(chǔ)上，探求附加不等式約束的條件平差模型未知參數(shù)的求解。

1 條件平差模型回顧

附有參數(shù)的條件平差模型在最小二乘準(zhǔn)則下可表示為［11］：

其計(jì)算思路是根據(jù)求條件極值的理論組成目標(biāo)函數(shù)，分別對(duì)v和求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)榱悖玫疥P(guān)系式，進(jìn)而求得。令NA：＝AP－1AT，NB：，則未知參數(shù)的估值和改正數(shù)向量為：

2 附加不等式約束的條件平差

附加不等式約束的條件平差模型可表示為：

當(dāng)G＝0時(shí)，式（7）退化為附有參數(shù)的條件平差模型（5）。引入最小二乘準(zhǔn)則vTPv＝min，式（7）實(shí)質(zhì)上等價(jià)于：

由K－T 條件可知，當(dāng)不等式約束集中的某約束j以等式成立時(shí)，必有相應(yīng)的拉格朗日乘子λj＞0；當(dāng)不等式約束集中的某約束j以嚴(yán)格不等式成立時(shí)，必有相應(yīng)的拉格朗日乘子λj＝0。所以，由K－T 條件對(duì)拉格朗日函數(shù)中的λ進(jìn)行約束（對(duì)k無(wú)約束作用），來(lái)求取合適的λ。

目標(biāo)函數(shù)（10）分別對(duì)v和求一階偏導(dǎo)數(shù)并令其為零，整理可得法方程：

NA、NB和We的定義同前，用左乘式（11a）并減去式（11c）得：

即

由此得到：

將代入式（11b），可以得到＋h＝0。由式（5）可知，當(dāng)式（7）沒(méi)有不等式約束時(shí)，未知參數(shù)的解可由式（6）得到，記，有：

求解的關(guān)鍵是求出滿足條件的λ。令D＝，將式（15）表達(dá)為矩陣形式Dλ＝d，即

Di，j為矩陣D的第i行第j列的元素，通過(guò)在傳統(tǒng)高斯消去法的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)迭代來(lái)實(shí)現(xiàn)。將式（16）的第i行展開(kāi)，有：

所以有：

由式（18），可寫(xiě)出迭代的具體過(guò)程為：

4）如果λp＋1≠λp，則p＝p＋1，轉(zhuǎn)2），繼續(xù)迭代；否則得到；

5）把代入式（14），得到未知參數(shù)的估值

在以上迭代過(guò)程中，迭代的終止條件其實(shí)就是K－T 條件。

根據(jù)的結(jié)果，可以區(qū)分出有效約束和無(wú)效約束，值不為0的所對(duì)應(yīng)的約束為有效約束，記為，其余的為無(wú)效約束。其中G1為s1×u的矩陣，s1為值不為0的的個(gè)數(shù)。去掉無(wú)效約束，將有效約束的不等號(hào)改為等號(hào)，則式（8）變換成：

3 算 例

本文所使用的條件方程的A、B矩陣和w向量的數(shù)據(jù)見(jiàn)表1，c＝5，n＝9，u＝2，A和B分別是5×9和5×2的矩陣，w是一個(gè)5×1的向量。

表1 矩陣A、B 和向量wTab.1 Matrix A，matrix Band vector w

無(wú)約束的條件平差模型的未知參數(shù)的最小二乘解見(jiàn)表2第2列。附加以下不等式約束：

采用迭代乘子法，ε取10－12，解得乘子＝0.041 2，＝0.0000。第一個(gè)不等式約束為有效約束，未知參數(shù)的估值見(jiàn)表2第3列。將未知參數(shù)的估值和約束條件表示在由2個(gè)參數(shù)定義的坐標(biāo)系中，見(jiàn)圖1。由圖1也可看出，無(wú)約束的未知參數(shù)估值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一個(gè)約束形成的可行域外（實(shí)線暈線表示的區(qū)域），第一個(gè)約束是有效約束；無(wú)約束的未知參數(shù)估值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二個(gè)約束形成的可行域內(nèi)（虛線暈線表示的區(qū)域），第二個(gè)約束是無(wú)效約束。

由于所添加的第二個(gè)不等式約束為無(wú)效約束，舍棄；第一個(gè)不等式約束為有效約束，將其轉(zhuǎn)化為等式約束，按附加等式約束的條件平差模型，采用式（19）計(jì)算得未知參數(shù)的估值，見(jiàn)表2第4列，與迭代乘子法所得一致。

表2 未知參數(shù)的估值Tab.2 Estimated unknown parameters

圖1 約束與未知參數(shù)的估值Fig.1 Constraints and estimated unknown parameters

4 結(jié) 語(yǔ)

本文對(duì)附加不等式約束的條件平差問(wèn)題的解算思路進(jìn)行了推導(dǎo)，即根據(jù)K－T 定理，對(duì)拉格朗日乘子λ進(jìn)行約束，通過(guò)迭代算法求解滿足K－T條件的拉格朗日乘子，進(jìn)而求得未知參數(shù)的最佳估值。通過(guò)算例，驗(yàn)證了該方法的可行性，也驗(yàn)證了該方法所求得的參數(shù)與把有效約束當(dāng)作等式約束、按附加等式約束的條件平差模型的解算結(jié)果是一致的。

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