幾種坐標(biāo)轉(zhuǎn)換計(jì)算方法的比較

宮曉春 呂志平 王宇譜 呂 浩 王 寧

1 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，鄭州市科學(xué)大道62號，450001

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換廣泛應(yīng)用于大地坐標(biāo)基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換、攝影測量解析空間坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換以及工程測量獨(dú)立坐標(biāo)系換算等領(lǐng)域［1－2］。文獻(xiàn)［3－7］研究了非線性坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的解法，文獻(xiàn)［8］將最小二乘配置應(yīng)用于二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，文獻(xiàn)［9］通過最小二乘迭代計(jì)算解決任意角度三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的問題，文獻(xiàn)［10－11］將改進(jìn)的布爾莎模型應(yīng)用于三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，文獻(xiàn)［12］將多元總體最小二乘方法引入坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，文獻(xiàn)［13－17］也對總體最小二乘、多元總體最小二乘的解法進(jìn)行了研究。目前關(guān)于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的研究主要是新的算法，或是對一些算法進(jìn)行改進(jìn)以及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法的具體應(yīng)用，缺少對較常用方法的比較與分析。同時(shí)，對于尺度因子和旋轉(zhuǎn)角度對坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的影響缺少相關(guān)研究。

本文首先將最小二乘配置推廣到三維小角度（秒級）［18］坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，并分析公共點(diǎn)數(shù)目較少時(shí)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法。同時(shí)運(yùn)用改進(jìn)的布爾莎模型、最小二乘迭代以及多元總體最小二乘，對任意旋轉(zhuǎn)角度的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換進(jìn)行解算并比較，分析尺度因子和旋轉(zhuǎn)角度對轉(zhuǎn)換精度的影響。

1 小角度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的最小二乘配置模型

三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型為：

R可表示為［2］：

其中，［XB，YB，ZB］T為新坐標(biāo)系統(tǒng)中的坐標(biāo)，［XA，YA，ZA］T為舊坐標(biāo)系統(tǒng)中的坐標(biāo)，［TX，TY，TZ］T為平移量，ωX、ωY、ωZ為歐拉角。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度較小時(shí)，，故式（1）可轉(zhuǎn)化為：

其對應(yīng)的矩陣表達(dá)式為：

按最小二乘原理，可求得：

式（5）即為小角度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的最小二乘解法。考慮未模型化部分的影響，在式（4）加入改正項(xiàng)S，即只對鄰近點(diǎn)有系統(tǒng)影響的信號，可得：

式（6）即為三維空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的最小二乘配置模型（LSC）。式中，

其中，m為新舊坐標(biāo)系中公共點(diǎn)個(gè)數(shù)。由文獻(xiàn)［8］可推得m個(gè)公共點(diǎn)的協(xié)方差陣：

ΣS中的元素采用高斯正定函數(shù)求得：

其中，d為兩坐標(biāo)點(diǎn)之間的距離。擬合式（8）：

σ（di）、di（i＝1，2…，n）的求法見文獻(xiàn)［8］。由式（9）按最小二乘解得、k2，然后代入式（8），可求得ΣS中各元素的值。由于噪聲向量Δ各分量隨機(jī)獨(dú)立，且各分量的方差相等，可知：

根據(jù)最小二乘原理，對式（6）進(jìn)行求解，可得：

實(shí)際中經(jīng)常遇到兩坐標(biāo)系統(tǒng)公共點(diǎn)較少的情況，上述解法便不再適用。文獻(xiàn)［8，19］提出直接確定的方法，即假設(shè)信號占主要地位，不考慮噪聲方差，直接用殘差的方差代替信號方差［19］。

應(yīng)用文獻(xiàn)［20］中的某地公共點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系下的空間直角坐標(biāo)真值（表1），分別應(yīng)用上述方法和最小二乘方法對轉(zhuǎn)換參數(shù)及轉(zhuǎn)換精度σ進(jìn)行求解。當(dāng)時(shí)，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中誤差σ穩(wěn)定在0.026 2（表2）。

表1 公共點(diǎn)坐標(biāo)Tab.1 Common point coordinates

表2 不同R 下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中誤差Tab.2 Mean square error of coordination transformation under different R

由此說明，上述方法并未改進(jìn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度。因此，對表1中坐標(biāo)計(jì)算的殘差向量，可不考慮信號的影響，直接利用方法較簡單的最小二乘解算。

2 任意旋轉(zhuǎn)角度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法比較

在近似值X0（dX0，dY0，dZ0，u0，ωX0，φY0，κZ0）處對式（1）Taylor展開，u＝m＋1。根據(jù)文獻(xiàn)［9］求取七參數(shù)改正值，然后進(jìn)行迭代計(jì)算，直至參數(shù)改正值滿足某一限差時(shí)停止迭代，從而求出任意旋轉(zhuǎn)角度的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)。迭代初值X0可由式（5）求得。

由式（1）可知，如果已知旋轉(zhuǎn)矩陣R和尺度因子m，就可求出平移參數(shù)。文獻(xiàn)［10－11］提出改進(jìn)的布爾莎模型，運(yùn)用羅德里格矩陣求出R的近似值，再進(jìn)行迭代計(jì)算，最終求出轉(zhuǎn)換參數(shù)。

為避免矩陣線性化引起的誤差，可根據(jù)多元線性回歸分析原理直接解算旋轉(zhuǎn)矩陣，并將兩套坐標(biāo)系統(tǒng)的坐標(biāo)重心化，建立多元總體最小二乘模型（MTLS），采用文獻(xiàn)［15］的方法解算轉(zhuǎn)換參數(shù)。

為比較上述方法的轉(zhuǎn)換精度，選取8個(gè)被轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系的坐標(biāo)點(diǎn)（表3），按照設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)換參數(shù)求解目標(biāo)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值。對兩坐標(biāo)系下的坐標(biāo)加入0.01 m 的隨機(jī)誤差，以模擬實(shí)際坐標(biāo)。運(yùn)用MATLAB 對各方案進(jìn)行轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解，并計(jì)算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中誤差σ。設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)換參數(shù)為：TX＝100m，TY＝120m，TZ＝210m，其他見表4。

表3 公共點(diǎn)坐標(biāo)Tab.3 Common point coordinates

表4 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)Tab.4 Coordination transformation parameter

表5中，從方案A－1到A－2，旋轉(zhuǎn)角度相同，尺度因子增大，LS 迭代的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中誤差σ增大，故其坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度降低；從方案A－1 到A－2再到A－3，旋轉(zhuǎn)角度相同，尺度因子增大，改進(jìn)Bursa以及MTLS的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度都降低。對于方案B－1、B－2、B－3以及方案C－1、C－2、C－3也可以得到相同的結(jié)論。從表5縱向看，從方案A－1到B－1再到C－1，尺度因子相同，旋轉(zhuǎn)角度減小，LS迭代、改進(jìn)Bursa以及MTLS的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中誤差σ減小，其坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度提高。對于方案A－2、B－2、C－2以及方案A－3、B－3、C－3也可以得到相同的結(jié)論。故平移參數(shù)固定時(shí)，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度隨尺度因子和旋轉(zhuǎn)角度的減小而提高。

在尺度因子較小時(shí)（尺度因子為0.001的方案），最小二乘迭代可達(dá)到與多元總體最小二乘幾乎相同的轉(zhuǎn)換參數(shù)。在尺度因子較大時(shí)（尺度因子為2.5），最小二乘迭代無法實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解，這是因?yàn)樽钚《说某跏贾蹬c真值的偏差隨著尺度因子的增加而增大。受此影響，解算結(jié)果不正確或不收斂。

由表5可知，多元總體最小二乘（MTLS）可以實(shí)現(xiàn)9種方案的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。對比各方案中每種算法的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中誤差σ，MTLS的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度比改進(jìn)Bursa及LS迭代更高，故多元總體最小二乘可以高精度地實(shí)現(xiàn)任意尺度因子、任意旋轉(zhuǎn)角度的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

表5 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換解算結(jié)果Tab.5 Calculated results of coordination transformation

3 結(jié) 語

1）在三維小角度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，最小二乘配置模型既考慮偶然誤差的影響，又考慮信號的影響，模型更加合理。對于存在似系統(tǒng)誤差的實(shí)際坐標(biāo)，理論上轉(zhuǎn)換精度更好。而一般的大地基準(zhǔn)變換多為小角度變換，故建議采用最小二乘配置模型。實(shí)際中，當(dāng)公共點(diǎn)數(shù)目較少時(shí)，難以對協(xié)方差函數(shù)進(jìn)行擬合。需要綜合分析信號和噪聲對殘差的影響效果，以便選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>

2）最小二乘迭代可以實(shí)現(xiàn)任意旋轉(zhuǎn)角度的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，迭代次數(shù)隨著旋轉(zhuǎn)角度的增加而增加。尺度因子較小時(shí)，最小二乘迭代可以實(shí)現(xiàn)高精度的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，但最小二乘迭代不能實(shí)現(xiàn)較大尺度因子的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

3）改進(jìn)的布爾莎模型可以實(shí)現(xiàn)任意尺度、任意旋轉(zhuǎn)角的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換精度與最小二乘迭代相差不大。

4）多元總體最小二乘也可以實(shí)現(xiàn)任意尺度、任意旋轉(zhuǎn)角的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換精度比改進(jìn)的布爾莎模型和最小二乘迭代更高，且轉(zhuǎn)換效率更好。該方法既考慮了控制點(diǎn)的兩套坐標(biāo)都有誤差的情況，又考慮了系數(shù)矩陣存在誤差的問題，模型合理，但計(jì)算過程較復(fù)雜。

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