Cantor集的結構及應用

阮世華

(莆田學院 數學學院，福建 莆田 351100)

Cantor集的結構及應用

阮世華

(莆田學院 數學學院，福建 莆田 351100)

Cantor集是實函數論中一類重要的集合.本文從Cantor集的構造過程以及構造拓展中得到相關的應用.目的是幫助初學者對Cantor集有一個較全面的認識.

Cantor集；結構；完備集

Cantor三分集是Cantor在解三角級數問題時做出來的，它具有若干重要特征，常是我們構造重要特例的基礎.

1 Cantor三分集[1]

2 Cantor集構造法的拓展

在[0,1]中做出總長度為δ(0<δ<1是任意給定的數)的稠密開集.為此，取p=(1+2δ)/δ，并采用類似于Cantor集的構造過程：第一步，我們移去長度為1/p的同心開區間；第二步，在留存的兩個閉區間的每一個中，又移去長度為1/p2的同心開區間；第三步，在留存的四個閉區間中再移去長度為1/p3的同心開區間；…….繼續此過程，可得一列移去的開區間，記其并集為G(開集)，則G的總長度為δ.我們稱Cp=[0,1]G為類Cantor集[2](當p=3時，Cp就是Cantor三分集)Cp也是非空完備集，且沒有內點.

更一般的，已有文獻[3]對[0,1]做相關的構造，所得到的點集也具有Cantor三分集完全相同的奇特性質，這里我們就不詳述.

3 Cantor集構造拓展后的應用

例1 證明：用十進制小數表示[0,1]中的數時，其用不著數字6和7的一切數也是完備集.

例2 證明：用十進制小數表示[0,1]中的數時，其用不著數字5和7的一切數成一完備集.

一般的，用十進制小數表示(0,1)中的數時，其用不著數字a1和a2的一切數成一完備集，其中a1，a2是1,2…9中的數字.

例3[2]設

an=2或7},

我們有

證：①若有{xm}?E:xm→x(m→∞)，則

如果|xm-x|<10-p，那么在xm∈E時bn=2或7(n=1,2,…，p-1)，從而E是閉集.

③由于E∩(0.28,0.7)=φ，故E在[0,1]中不稠密.

例4[2]試作一個由無理數構成的完備集.

[1]程其襄，張奠宙，魏國強,等.實變函數與泛函分析基礎[M].3版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]周民強.實變函數論[M].2版.北京：北京大學出版社，2008.

[3]董大校.Cantor集的性質及其構造推廣[J].JournalofYunnanFinance&EconomicsUniversity,2008,23(5)：95-96.

[4]江澤堅，吳智泉，紀友清.實變函數論[M].3版.北京：高等教育出版社，2007.

[責任編輯：Z]

The Structure and Applications of Cantor Set

RUAN Shi-hua

(Department of Mathematics, Putian University, Putian Fujian 351100, China )

Cantor set is an important set in real functions theory. This paper studies the applications through the construction process and generalized structure of cantor set. The aim of this paper is to help the beginners to have a general understanding of it.

Cantor set; structure; complete set

2015-03-10

阮世華(1977-)，女，福建莆田人，講師，主要從事研究方向為多復變函數研究。

O

A

1671-5330(2015)05-0141-02